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2.3 分数混合运算（三） 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：会用方程表达分数混合运算问题中的等量关系，并解决相应的实际问题，发展分析和解决问题的能力。
2.学习内容分析：本课是在学生学习了《分数混合运算（一）（二）》的基础上开始学习的，学生已经基本上掌握了较复杂的分数问题的解决方法，能利用线段图来分析两个数量之间的关系基础上进行学习的。教材首先用淘气家的用水量作为导入，一方面使学生体会到数学与生活的联系，另一方面也有利于激发学生的学习兴趣。其次解决问题前让学生理解题意，是八月份用水多？还是九月份用水多？再通过画一画、想一想等环节使学生明白等量关系，最后列出方程进行解答。因此利用等量关系图和方程来解决实际问题就成了本课的重点。
3.学科核心素养分析：通过解决日常生活中的实际问题，构建数学模型，教育学生节约用水，培养勤俭节约的好习惯。同时使学生感受到数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，提高学生学习兴趣。
二、教学重难点
1.重点：利用等量关系和方程解决与分数运算有关的实际问题。
2.难点：能画图分析数量关系， 会利用图找出等量关系。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 1.复习旧知。（1）看图列式。果园里有90棵桃树，梨树的棵数比桃树多，梨树有多少棵？2.导入新课师：大家知道世界水日吗？学生：3月22日。师：为什么要设立这样的一个节日呢？学生根据自己的知识积累自由说说。师：水是人们赖以生存的最宝贵的资源，如果我们不珍惜水资源，那么地球上的最后一滴眼泪将是我们人类的眼泪。所以，节约用水，从我做起，从身边的小事做起。这节课我们就一起来研究节约用水中的数学问题。板书课题：分数混合运算（三） 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识奠定基础。借助水引入新课，不仅可以让学生知道水对人类的重要性，同时还对学生进行了节约用水方面的思想教育。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
获取新知 任务一：交流思考方法师：淘气家的水表的单子被墨水不小心给弄模糊了。课件出示：师：请认真观察上图，说说你知道了什么数学信息？学生自由说说。师：根据知道的数学信息，你能提出一个数学问题吗？学生独自思考，然后回答：八月用水多少吨？师：估一估，哪个月份用水少？哪个月份用水多？学生：八月的用水量多，九月的少。师：你是根据哪句话判断的？学生：九月比八月节约了。师：那么要求八月用水多少吨？你是如何思考的？谁来说一说。学生：节约了，就是节约了八月份的，把八月份的用水量看作单位“1”。师：八月份的用水量不知道，能不能找一下等量关系，用方程来解决这个问题？学生：能。 通过说一说，培养学生的审题意识和问题意识，为后面分析问题做准备。学生通过充分的交流，理解“节约了”表示的具体意义，提高了学生分析问题的能力。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务二：画图分析师：你能找到等量关系吗？画一画，想一想。学生独自画一画，师巡视指导。师：谁来说说你们是怎么画图的？学生边展示边反馈：九月比八月节约了，把八月份的用水量看作单位“1”，平均分成7份，其中的一份就是九月份比八月份节约的水。 师强调：少的部分要用虚线表示，在线段图中标出已知数量，用“？”标出要求的数量。师：你找到等量关系了吗？学生1：九月份的用水量=八月份的用水量－八月份的用水量×。学生2：九月份的用水量是八月份的（1－），所以等量关系还可以是九月份的用水量=八月份的用水量×（1－）。 规范学生作图，不仅有利于帮助学生理解题意，还培养了学生的数学严谨态度。 通过学生的活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时的鼓励与指导。
任务三：列式解决问题师：根据大家的发现和等量关系，你能列出方程，解决问题吗？别忘了检验。学生在练习本上列方程解答，然后展示：解：设把八月份用水x吨。x－x=12 x=12 x=14检验：14－×14=12，x=14是方程的解。解：设把八月份用水x吨。（1－）x=12 x=12 x=14检验：14×（1－）=12，x=14是方程的解。师：已知比一个数多几分之几或少几分之几是多少，求这个数，可以用什么方法解答？学生：可以用方程解答。 学生已经具备了一定的知识经验，所以本环节完全放手交给学生自主完成，让学生获得成功的体验，提高学习的积极性。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
试一试 任务四：运用知识解决问题师：刚才大家通过自己的努力解决了问题，现在老师把题目稍微改一下，你们有办法解决吗？课件出示：淘气家八月用水14吨，比九月多用了，九月用水多少吨？师：读一读，说说你知道了什么？学生独自阅读，然后自由说说。师：九月用水多少吨呢？淘气是这样理解的。课件出示：八月用水比九月多了，就是相当于九月比八月少了，用14×（1－）。师：大家有什么看法？学生1：不对吧！单位“1”的量怎么变了。学生2：我们还是画图找找等量关系吧！师：这个提议好！请大家在练习本上画一画。学生独自画线段图，然后展示：师：你能找出等量关系，并列式解答吗？学生独自完成，然后集体交流反馈。师：利用方程解决与分数运算有关的实际问题，根据我们的分析和数量关系式，已知比一个数多（或少）几分之几，求这个数，我们一般可以用方程来解决。 借助学生已有的知识经验，通过画图分析问题、解决问题，让学生获得成功的体验，提高学生学习数学的积极性。 通过学生的观察、交流活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时的鼓励与指导。
任务五：用方程解决求单位“1”的量课件出示：书店运来一批文艺书，售出后，还剩下1260本。这批文艺书共有多少本？师：读一读，说说你知道了什么？学生独自阅读，然后自由说说。师：找出题中的等量关系，画一画、说一说。学生独自画图，然后展示反馈：师：找出等量关系，并列式解答吗？学生独自完成，然后集体交流反馈。 通过学生的自主探究，让学生通过分析、交流的方式经历知识的发生与发展过程，同时也培养了学生的分析能力与解决问题的能力。 通过学生活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时地鼓励与指导。
迁移运用 任务六：课堂练习基础题：1.解方程。x－x=15 x－x=18 ÷x=2.同学们收集废电池，五年级收集了140个，比四年级多，四年级收集了多少个？ 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.明明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了全书的，还剩40页，这本书有多少页？
拓展题：4.国庆节促销活动时，一台冰箱先降价 后，又降价，现在卖3600元，这台冰箱原来售价多少元？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.看图例式。 2.根据条件，问题和算式，分别在括号里补上分率句。书店运来科技书420本，__________________，运来文艺书多少本？（1）420÷（1－）_________________________________（2）420×（1－）_________________________________（3）420÷（1+）_________________________________（4）420×（1+）_________________________________选做题：1.判断。（1）甲数比乙数多，也就是乙数比甲数少。 （ ）（2）一段路走了，还剩米。 （ ）（3）降价，也就是说现价是原价的（1－）。 （ ）2.修路队修一段公路，第一周修了全长的，第二周修了全长的，两周一共修了170米，这条公路长多少米？【综合实践类作业】找找生活中用分数混合运算解决的问题，与大家分享。
板书设计 分数混合运算（三）解：设八月用水x吨。x－x=12 （1－）x=12 x=12 x=12 x=14 x=14
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分数混合运算（三）
北师大版六年级上册
教学目标
1.用方程表达分数混合运算问题中的等量关系。
2.解决相应的实际问题，发展分析和解决问题的能力。
3.构建数学模型，教育学生节约用水，培养勤俭节约的好习惯。
复习旧知
1.看图列式。
5
6
x=50
5
6
解：x=50÷
x=60
已知一个数的几分之几是多少，求这个数，可以用方程或除法计算。
解：设这本书共有x页。
复习旧知
列方程解应用题的一般步骤：
审题，找等量关系
设未知数，列方程
解方程
检验并作答
复习旧知
2.果园里有90棵桃树，梨树的棵数比桃树多 ，梨树有多少棵？
1
5
90×（1 + ）
1
5
=108( 棵）
=90 ×
6
5
答：梨树有108棵。
梨树的棵数=桃树的棵数×（1+ ）
1
5
新知导入
水是人们赖以生存的最宝贵的资源，如果我们不珍惜水资源，那么地球上的最后一滴眼泪将是我们人类的眼泪。
新知讲解
说说你知道了什么数学信息？
八月用水多少吨？
新知讲解
思考：
估一估，哪个月份用水少？哪个月份用水多？
九月比八月节约了 。
1
7
八月的用水量多，九月的少。
新知讲解
说一说：
要求八月用水多少吨？你是如何思考的？
节约了
1
7
节约了 ，就是节约了八月份的 ，把八月份的用水量看作单位“1”。
1
7
1
7
新知讲解
思考：
八月份的用水量不知道，能不能找一下等量关系，用方程来解决这个问题？
新知讲解
八月用水多少吨？
八月
九月
吨
比八月节约了
1
7
12吨
新知讲解
八月用水多少吨？
八月
九月
12吨
吨
比八月节约
1
7
新知讲解
八月的用水量－八月用水量的 =九月的用水量
1
7
八月份的用水量×（1－ ）=九月份的用水量
1
7
你找到等量关系了吗？
新知讲解
学习任务：
根据自己的发现和等量关系，列出方程，解决问题。别忘了检验。
新知讲解
解：设八月用水x吨。
x－ x=12
1
7
x=12
6
7
x=14
14－ ×14=12，x=14是方程的解。
1
7
答：八月用水14吨。
新知讲解
解：设八月用水x吨。
（1－ )x=12
1
7
x=12
6
7
x=14
14×（1－ ）=12，x=14是方程的解。
1
7
答：八月用水14吨。
新知讲解
已知比一个数多几分之几或少几分之几是多少，求这个数，用方程解答。
新知讲解
淘气家八月用水14吨，
比九月多用了 ，九月用水多少吨？
1
6
八月用水比九月多了 ，就是相当于九月比八月少了 ，用14×（1－ ）。
1
6
1
6
1
6
不对吧！单位“1”的量怎么变了。
我们还是画图找找等量关系吧！
新知讲解
淘气家八月用水14吨，
比九月多用了 ，九月用水多少吨？
1
6
八月
14吨
九月
？吨
比九月多用
1
6
九月的用水量+九月× =八月的用水量
1
6
解：设九月用水x吨。
x+ x=14
1
6
x=14
7
6
x=12
新知讲解
淘气家八月用水14吨，
比九月多用了 ，九月用水多少吨？
1
6
九月的用水量×（1+ ）=八月的用水量
1
6
解：设九月用水x吨。
（1+ )x=14
1
6
x=14
7
6
x=12
答：九月用水12吨。
新知讲解
利用方程解决与分数运算有关的实际问题，根据我们的分析和数量关系式，已知比一个数多（或少）几分之几，求这个数，我们一般可以用方程来解决。
新知讲解
书店运来一批文艺书，售出 后，还剩下1260本。这批文艺书共有多少本？
5
8
学习任务：
找出题中的等量关系，画一画、说一说。
？本
还剩1260本
售出了
5
8
新知讲解
书店运来一批文艺书，售出 后，还剩下1260本。这批文艺书共有多少本？
5
8
？本
还剩1260本
售出了
5
8
总本数－售出的本数=剩下的本数
解：设九月用水x吨。
x－ x=1260
5
8
x=1260
3
8
x=3360
答：这批文艺书共有3360本。
新知讲解
书店运来一批文艺书，售出 后，还剩下1260本。这批文艺书共有多少本？
5
8
？本
还剩1260本
售出了
5
8
还剩的占（1－ ）
5
8
总本数×（1－ ）=剩下的本数
5
8
解：设九月用水x吨。
（1－ )x=1260
5
8
x=1260
3
6
x=3360
答：这批文艺书共有3360本。
课堂练习
基础题：
1.解方程。
x+ x=15 x－ x=18 ÷x=
2
3
1
3
1
2
5
8
解： x=15
5
3
x=9
解： x=18
2
3
x=27
5
8
解： x= ÷
1
2
x=
4
5
课堂练习
基础题：
2.同学们收集废电池，五年级收集了140个，比四年级多 ，四年级收集了多少个？
1
6
解：设四年级收集了x个。
（1+ )x=140
1
6
x=140
7
6
x=120
答：四年级收集了140个。
课堂练习
提高题：
3.明明看一本书，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，还剩40页，这本书有多少页？
1
3
1
4
解：设这本书有x页。
x=40
5
12
x=96
（1－ － )x=40
1
3
1
4
答：这本书有96页。
课堂练习
拓展题：
4.国庆节促销活动时，一台冰箱先降价 后，又降价 ，现在卖3600元，这台冰箱原来售价多少元？
1
8
1
7
3600÷（1－ ）
1
7
=4200（元）
4200÷（1－ ）
1
8
=4800（元）
答：这台冰箱原来售价4800元。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道已知比一个数多（或少）几分之几，求这个数，用方程。
我还会利用画图找等量关系。
板书设计
分数混合运算（三）
解：设八月用水x吨。
x－ x=12
1
7
x=12
6
7
x=14
（1－ )x=12
1
7
x=12
6
7
x=14
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.看图列式。
解：设这本书共有x页。
（1－ )x=36
3
5
x=36
2
5
x=90
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.看图列式。
解：设甲木条长x米。
（1+ )x=28
1
6
x=28
7
6
x=24
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.根据条件，问题和算式，分别在括号里补上分率句。
书店运来科技书420本，__________________，运来文艺书多少本？
（1）420÷（1－ ）_________________________________
（2）420×（1－ ）_________________________________
（3）420÷（1+ ）_________________________________
（4）420×（1+ ）_________________________________
1
6
1
6
1
6
1
6
科技书比文艺书少
1
6
文艺书比科技书多
1
6
科技书比文艺书多
1
6
文艺书比科技书少
1
6
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.判断。
（1）甲数比乙数多 ，也就是乙数比甲数少 。 （ ）
（2）一段路走了 ，还剩 米。 （ ）
（3）降价 ，也就是说现价是原价的（1－ ）。 （ ）
3
4
3
4
3
5
2
5
1
10
1
10
×
×
√
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.修路队修一段公路，第一周修了全长的 ，第二周修了全长的 ，两周一共修了170米，这条公路长多少米？
2
7
1
5
解：设这条公路长x米。
x=170
17
35
x=350
2
7
（ + )x=170
1
5
答：这条公路长350米。
作业布置
找找生活中用分数混合运算解决的问题，与大家分享。
【综合实践类作业】
谢谢
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《分数混合运算》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《分数混合运算》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”中的重要内容。《数学课程标准》要求：“结合具体情境理解整数除法与分数的关系，能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。”
（二）单元教材内容分析
本单元的内容是在学生已经掌握整数、小数混合运算和分数四则运算的基础上进行教学的。在解决实际问题的过程中应抓住教材特点，使学生掌握分数混合运算的方法，提高应用能力和计算能力。本单元学习的主要内容有：分数混合运算的运算顺序及运算律；应用分数混合运算解决实际问题；利用方程解决有关的分数混合运算问题。
单元学习内容的前后联系：
在传统教学中，分数的应用问题是高年级教学的“重头戏”。教学中，教师形成了一套方法：从带有分率的那个条件中判断谁是单位“1”，找准已知量和对应分率。如果单位“1”已知，就用乘法计算；如果求单位“1”，就用除法计算。但是遇到联系生活实际的问题学生往往束手无策。可见这种程式化的教学，对提高学生解决问题的能力不能起到积极的促进作用。如果让那些解此类应用题的套路在学生脑子里根深蒂固，势必会封闭学生创造意识的生长空间。
所以，本套教科书将分数的运算安排为两个阶段：五年级下册学生学习分数四则运算，本册教科书安排有关分数混合运算的问题。这样的安排，分散了教学难点，突出了经历探索和解决分数混合运算实际问题的过程，使学生会用画图的方法分析并解决问题，掌握分数混合运算的顺序，积累解决问题的经验。
（三）学生认知情况
学生已经学习了分数加、减、乘、除法的计算，也具备了解决简单分数实际问题的相关经验和分析相关问题的能力。对于四则混合运算，学生不仅掌握了整数、小数四则混合运算顺序及相关的运算律，还经历了将四则混合运算的相关知识迁移到小数四则混合运算的过程。为进一步将整数四则混合运算的相关知识迁移至分数混合四则运算打下基础。本单元内容是六年级教学的分数知识的综合、提高和总结，对掌握和应用分数知识有很大的影响。运用运算律或运算性质进行分数四则混合运算的简便计算，隐蔽性更强，而且易混淆，需要不断增强思维的灵活性。
二、单元目标拟定
1.经历探索和解决分数混合运算实际问题的过程，会用画图的方法分析并解决问题，积累解决问题的经验。
2.掌握分数混合运算的顺序，能够正确进行分数混合运算。
3.体会整数乘法的运算律在分数运算中同样适用，会应用运算律进行计算，发展运算能力。
4.在解决问题和交流减少错误的好方法的过程中，养成认真勤奋、独立思考、勇于质疑与合作交流的学习习惯。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.正确计算分数混合运算。
2.掌握分数应用题的基本数量关系。
3.能体会整数运算律在分数运算中同样适用，正确地运用运算律计算。
4.利用方程解决与分数运算有关的实际问题。
（二）教学重难点
1.掌握分数混合运算的计算方法和技巧。
2.运用方程解决有关的分数混合运算的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。在本单元的数学学习过程中，应当注重发展学生的数感、几何直观、运算能力和应用意识、创新意识等。特别是发展几何直观，旨在培养学生利用图形描述和分析问题，把复杂的数学问题变得简明、形象。
组织本单元学习内容的思路如下：
学生已掌握整数、小数混合运算的运算顺序及运算律，分数加减、乘、除法的计算方法，能尝试用画图的方法解决相关的实际问题这些都为本单元知识的学习奠定了基础。
本单元教材的具体编排结构如下：
（一）在解决分数混合运算的相关问题中，鼓励学生主动思考和探究
由于六年级的学生已经具有一定的独立思考能力，因此教科书注重给学生更多思考和表达的机会。在本单元的各节内容中，第一个问题都是通过学生间的对话，展现读题、审题的一般思考过程，并尝试提出解决问题的基本思路。这样编写强调了让学生根据问题情境进行独立思考，经历探索性的数学学习的过程，加强了数学知识和学生生活经验的联系，使得学生的学习具有更大的开放性。
（二）在分数混合运算中注重发展学生对分数乘法和除法意义的理解
本单元有关分数混合运算是整数混合运算的拓展，不同之处在于对分数乘、除法意义的理解。教科书注重呈现直观图发展学生对分数乘.除法意义的理解，例如，“分数混合运算(一)”呈现的两个图示中的圆圈图：首先用圆圈图表示出12人的是4人，再表示4人的，使学生体会分数乘法的意义。
（三）用不同的直观图表示数量关系，有利于学生分析和解决问题
在“分数混合运算(一)”中教科书呈现了两种图示，第一种是圆片图，第二种是线段图：在“分数混合运算(二)”中教科书也呈现了两种图示，第一种是方格图，第二种是线段图。这样的呈现方式反映了从低到高的抽象程度，引导学生在解决问题中逐步发展数学抽象能力。教科书用直观图分析数量关系，有利于发展学生分析和解决问题的能力，有利于发展他们的数学思维。
（四）结合解决实际问题，帮助学生理解分数混合运算的运算顺序和运算律
本单元将解决实际问题与分数混合运算的学习结合起来。在分数混合运算 (一)、(二)、(三)中都安排了与之对应的实际问题，目的是让学生在解决实际问题的过程中逐步归纳计算方法，经历得出结论的过程。例如，在“分数混合运算(一)”中，教科书呈现了综合算式,从而引入了分数混合运算的方法，并得出分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的顺序相同的结论。又如在“分数混合运算(二)”中，教科书借助一个具体的问题情境，给出了两种解决问题的方法，让学生讨论这两种方法之间的联系，体会整数运算律在分数运算中也是同样适用的。通过学生独立尝试、观察对比，利用知识的迁移，达到对分数混合运算顺序及运算律的理解和掌握。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 □统计与概率 □综合与实践
单元数量 2
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与运算 分数混合运算 分数混合运算（一） 2
分数混合运算（二） 2
分数混合运算（三） 2
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 对应 演绎 归纳 □类比 转化 □数形结合 □极限 模型 方程 □函数 □统计 分析 综合 □比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
2.1《分数混合运算（一）》 目标： 会用画图的策略直观呈现数量关系；结合具体情境体会分数混合运算的顺序与整数混合运算一样，会正确计算分数混合运算。 任务一：交流思考方法 → 任务二：画图分析 → 任务三：列式解决问题 → 任务四：分数混合运算的顺序 → 1.借助已有知识和经验进行思考，用不同方法解决问题。 2.利用画图辅助，解答复杂问题。 3.结合几何直观，分析数量关系，利用运算意义理解并列式解答问题。 4.体会分数混合运算的顺序和整数是相同的。并能发现并修改例题中的错误。
2.2《分数混合运算（二）》 目标： 会画图表示“增加几分之几”或“减少几分之几”的意义，会用分数混合运算解决实际问题，体会整数中的乘法运算律在分数运算中同样适用。 任务一：交流思考方法 → 任务二：画图分析 → 任务三：列式解决问题 → 任务四：结合男、女生人数解决有关整体和部分之间的问题 → 任务五：整数运算律的应用 → 1.思考、交流例题，并能大声说出自己的思路和想法。 2.能利用不同的直观图去描述和分析问题。 3.在任务二的基础上，尝试用多种方法列式解决问题，知道整数乘法运算中的分配律在分数混合运算中仍然适用。 4.借助图示找出等量关系，并能用不同的方法解答，知道运算律在分数运算中同样适用。 5.通过对比计算，学会用运算律提高分数四则运算的计算效率。
2.3《分数混合运算（三）》 目标： 会用方程表达分数混合运算问题中的等量关系，并解决相应的实际问题，发展分析和解决问题的能力。 任务一：交流思考方法 → 任务二：画图分析 → 任务三：列式解决问题→ 任务四：运用知识解决问题 → 1.思考、交流九月和八月用水量之间的数量关系。 2.通过独立画图寻找问题中的等量关系，然后结合所画直观图，交流、解释其中体现的等量关系。 3.在任务三的基础上，直接根据等量关系列出方程并解答。求出方程后，对方程进行检验。 4.借助图示自主探索题目中的等量关系，并能正确的列方程求解、检验。
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