人教版高中数学选择性必修第一册1.2第一课时空间向量基本定理（35张PPT）

(共35张PPT)
1．2　空间向量基本定理
第一课时　空间向量基本定理
[学习目标]　1.了解空间向量基本定理及其意义．　2.掌握空间向量的分解．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　类比平面向量基本定理，可推广得到空间向量基本定理是什么？
问题2　空间基底的构成条件是什么？单位正交基底的构成条件是什么？
问题3　类比平面向量的分解，如何分解空间向量？　　　
C
A．a＋b＋c
B．－a＋b＋c
C．a－b＋c
D．－a－b＋c
B
0
空间向量基本定理
1．定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在_________有序实数组(x，y，z)，使得p＝ .
唯一的
xa＋yb＋zc
2．基底与基向量
如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把 叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做 ．
空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底．
{a，b，c}
基向量
不共面
[例1]　已知下列说法：
①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
④若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底；
⑤若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底．
其中正确说法的个数是(　　)
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
D
[解析]　①根据空间基底的定义，三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面，故正确．
②由空间基底的定义，若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线，故正确．
⑤利用反证法：若{a＋b，b＋c，c＋a}不能构成空间的一个基底，则存在实数x，y，使得a＋b＝x(b＋c)＋y(c＋a)，整理得(1－y)·a＝(x－1)b＋(x＋y)c，则a，b，c共面，由于{a，b，c}为空间的一个基底，得出矛盾，所以{a＋b，b＋c，c＋a}能构成空间的一个基底，故正确．
判断基底的基本思路及方法
(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
1.若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量可以构成基底的是(　　)
A．b－c，b＋c，a
B．b＋c，b－2c,3c
C．b＋c,2a，a＋b＋c
D．b＋c，b－c,2b
A
给定基底分解空间向量
1．空间向量的分解
由空间向量基本定理可知，若给定空间的一个基底{a，b，c}，对空间中任意的向量p，存在唯一确定的实数组(x，y，z)，使p＝ ，这叫做空间向量的分解．
xa＋yb＋zc
2．空间向量的正交分解
(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都为 ，那么这个基底叫做 ，常用{i，j，k}表示．
(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行 ．
两两垂直
单位正交基底
1
两两垂直
正交分解
给定基底{a，b，c}分解空间向量的步骤
(1)观察图形寻找待求向量与a，b，c的关系．
(2)充分利用向量加法，减法运算的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行分解．
(3)用a，b，c表示各向量．
选择基底进行空间向量的分解
在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底．在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选取从 出发的三条棱所对应的向量作为基底．
同一顶点
在空间几何体中选择基底的原则
(1)尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量．
(2)基向量的模及其夹角已知或易求．
3.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点， 计算：
1．知识清单：(1)空间向量基本定理．
(2)空间向量的分解．
2．方法归纳：类比的思想、数形结合、转化的思想．
3．常见误区：在空间中，基底并不是唯一的，同一向量在不同的基底下的表示是不同的．而当基底确定时，向量的表示则是唯一的．另外，对向量p＝xa＋yb＋zc而言，当x＝0时，p＝yb＋zc，则说明共面向量基本定理是空间向量基本定理的特殊情况．
课时作业 巩固提升