人教版2023年九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测卷（含解析）

人教版2023年九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列关于x的方程是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝3（x﹣2） B．+x2＝0 C．a2x+c＝0 D．x2﹣2x＝0
2．关于x的一元二次方程x2＝5x﹣1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．1，﹣5，﹣1 B．﹣1，﹣5，﹣1 C．1，﹣5，1 D．1，5，1
3．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x﹣4）2＝3 B．（x﹣4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x+4）2＝17
4．已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m的值为（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．4
5．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（　　）
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1
C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1
6．用公式法解方程3x2+4＝12x，下列代入公式正确的是（　　）
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝
7．一元二次方程x2+2x+1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
8．某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．80（1﹣x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．100（1﹣2x）2＝80 D．80（1﹣2x）2＝100
9．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知（a2+b2）（a2+b2﹣2）＝3，则a2+b2的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3或﹣1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若方程（m+3）+mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m等于　 　．
12．已知关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0的一个根是1，则k的值是 　 　．
13．方程x2﹣x＝0解为 　 　．
14．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，设航空公司共有x个飞机场，列方程　 　．
15．若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则该菱形的面积为 　 　．
16．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|＝6，那么实数m的取值是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）解方程：
（1）x（x+1）＝x+1；
（2）2x2﹣4x+1＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）当m＝﹣1时，请求出方程的解；
（2）试说明方程总有两个实数根．
19．（8分）手工课上，小明同学准备用铁丝围成一个长方形，长方形的长与宽的比是3：2，长方形的面积是30dm2．
（1）求长方形的长和宽分别是多少；
（2）小明现有一根长为23dm的铁丝，能否围成符合上述要求的长方形？请说明理由．
20．（9分）阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，
则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．
解得y1＝6，y2＝4．
∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．
∴．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
（1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0；
（2）x4﹣x2﹣6＝0．
21．（9分）某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价3元时，平均每天可多卖出6件．
（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫 　 　件，每件的利润是 　 　元．（用x的代数式表示）
（2）若商场要求该服装部每天盈利1400元，问每件要降价多少元？
（3）若商场要求该服装部每天盈利1600元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．
（1）当x为何值时，点P、N重合；
（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A．方程是一元一次方程，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程是分式方程，不是整式方程，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．当a≠0时，方程是一元一次方程，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：由原方程得到：x2﹣5x+1＝0，则该方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，﹣5，1．
故选：C．
3．【解答】解：x2﹣8x﹣1＝0变形为：x2﹣8x＝1，
配方得：x2﹣8x+16＝17，
即（x﹣4）2＝17；
故选：C．
4．【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣1＝0，
∴m2﹣3m＝1，
∴2m2﹣6m＝2（m2﹣3m）＝2×1＝2，
故选：B．
5．【解答】解：x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝3，x2＝1．
故选：A．
6．【解答】解：3x2+4＝12x，
3x2﹣12x+4＝0，
这里a＝3，b＝﹣12，c＝4，
b2﹣4ac＝（﹣12）2﹣4×3×4，
x＝＝＝，
故选：D．
7．【解答】解：由题意可知：Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．
8．【解答】解：由题意得：100（1﹣x）2＝80，
故选：B．
9．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
根据题意，得1+x+（x+1）x＝16，
x＝3或x＝﹣5（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了3个人．
故选：B．
10．【解答】解：设a2+b2＝m，
则原式为m（m﹣2）＝3，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，
因式分解得：（m﹣3）（m+1）＝0，
∴m＝3或m＝﹣1，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2的值为3，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．【解答】解：∵方程（m+3）+mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，
∴，
解得m＝3．
故答案为：3．
12．【解答】解：由题意得：把x＝1代入方程x2+x﹣k＝0中得：
12+1﹣k＝0，
解得：k＝2，
故答案为：2．
13．【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
14．【解答】解：设共有x个飞机场．
x（x﹣1）＝10．
故答案为：x（x﹣1）＝10．
15．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得到x＝4或5，
∴菱形的对角线长分别为4和5，
∴菱形的面积＝×4×5＝10，
故答案为：10．
16．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m+1＝0的两个实数根分别为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣m+1，
∵|α|+|β|＝6，
∴α，β为异号，
即αβ＜0，
由α+β＝2得α2+β2＝4﹣2αβ，
由|α|+|β|＝6得α2+β2＝36﹣2|αβ|，
∴4﹣2αβ＝36﹣2|αβ|＝36+2αβ，
∴αβ＝﹣8，
∴﹣m+1＝﹣8，
∴m＝9，
故答案为：9．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．【解答】解：（1）x（x+1）＝x+1，
x（x+1）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣1）＝0，
x+1＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝1；
（2）2x2﹣4x+1＝0，
x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
18．【解答】（1）解：当m＝﹣1时，原方程化为x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3；
（2）证明：∵x2﹣4mx+3m2＝0中，a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1×3m2＝4m2，
∵4m2≥0，即Δ≥0，
∴原方程总有两个实数根．
19．【解答】解：（1）设长方形的长为3xdm，则宽为2xdm，
根据题意得：3x 2x＝30，
解得：x1＝，x2＝﹣（不符合题意，舍去），
∴3x＝3×＝3，2x＝2×＝2．
答：长方形的长为3dm，宽为2dm；
（2）能否围成符合上述要求的长方形，理由如下：
（3+2）×2
＝5×2
＝10（dm），
∵10≈22.36＜23，
∴能围成符合上述要求的长方形．
20．【解答】解：（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0，
整理，得（y+3）（y+1）＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝﹣1．
当y＝﹣3时，即3x﹣5＝﹣3，
解得x1＝，
当y＝﹣1时，即3x﹣5＝﹣1，
解得x2＝．
综上所述，原方程的解为x1＝，x2＝；
（2）设x2＝y，则原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，
整理，得（y﹣3）（y+2）＝0，
解得y1＝3，y2＝﹣2．
当y＝3时，即x2＝3，
∴x＝±，
当y＝﹣2时，x2＝﹣2无解．
∴原方程的解为x1＝，x2＝﹣．
21．【解答】解：（1）设降价x元，则现在每天可销售衬衫（30+2x）件，每件的利润是（40﹣x）元；
（2）由题意，得（40﹣x）（30+2x）＝1400，
即：（x﹣5）（x﹣20）＝0，
解得x1＝5，x2＝20，
为了扩大销售量，减少库存，所以x的值应为20，
所以，若商场要求该服装部每天盈利1400元，每件要降价20元；
（3）假设能达到，由题意，得（40﹣x）（30+2x）＝1600，
整理，得x2﹣25x+200＝0，
△＝252﹣4×1×200＝625﹣800＝﹣175＜0，
即：该方程无解，
所以，商场要求该服装部每天盈利1600元，这个要求不能实现．
故答案为：（30+2x），（40﹣x）．
22．【解答】解：（1）∵P，N重合，
∴2x+x2＝20，
∴，（舍去），
∴当时，P，N重合；
（2）因为当N点到达A点时，x＝2，此时M点和Q点还未相遇，
所以点Q只能在点M的左侧，
①当点P在点N的左侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝20﹣（2x+x2），
解得x1＝0（舍去），x2＝2，
当x＝2时四边形PQMN是平行四边形；
②当点P在点N的右侧时，依题意得
20﹣（x+3x）＝（2x+x2）﹣20，
解得x1＝﹣10（舍去），x2＝4，
当x＝4时四边形NQMP是平行四边形，
所以当x＝2或x＝4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．