2022-2023学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 设函数，则是( )
A. 奇函数，且在单调递增 B. 奇函数，且在单调递减
C. 偶函数，且在单调递增 D. 偶函数，且在单调递减
3. 某一批花生种子，如果每粒发芽的概率为，那么播下粒种子恰有粒发芽的概率是
A. B. C. D.
4. 若，则( )
A. B. C. D.
5. 设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 某班级要从名男生、名女生中选派人参加某社区服务，如果要求至少有名女生，那么不同的选派方案种数为( )
A. B. C. D.
7. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
8. 设是等差数列，下列结论中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
9. 设，若为函数的极大值点，则( )
A. B. C. D.
10. 若集合，且下列四个关系：；；；有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知，，则等于______ ．
12. 设函数，则使成立的的取值范围是______．
13. 若随机变量的分布列为
则 ______ ，为随机变量的方差，则 ______ 用数字作答
14. 二项式的展开式中存在常数项，则可以为______ 只需写出一个符合条件的值即可
15. 已知数列的各项均为正数，其前项和满足给出下列四个结论：
的第项小于；
为等比数列；
为递减数列；
中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知函数．
判断函数的单调性，并求出的极值；
在给定的直角坐标系中画出函数的大致图像；
讨论关于的方程的实根个数．
17. 本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
18. 本小题分
某同学参加甲、乙、丙门课程的考试，设该同学在这门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．
求该同学这门课程均未取得优秀成绩的概率；
求该同学取得优秀成绩的课程数的分布列和期望．
19. 本小题分
设，，．
分别求函数，在点处的切线方程；
判断与的大小关系，并加以证明．
20. 本小题分
某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动以下简称活动该校合唱团共有名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
求合唱团学生参加活动的人均次数；
从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，则是奇函数，
当时，和是增函数，则在上也是增函数，
故选：．
根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断即可．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，掌握函数奇偶性和单调性的定义和性质是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，播下粒种子恰有粒发芽即次独立重复事件恰好发生次，
由次独立重复事件恰好发生次的概率的公式可得，
故选：．
根据题意，播下粒种子恰有粒发芽即次独立重复事件恰好发生次，由次独立重复事件恰好发生次的概率的公式可得答案．
本题考查次独立重复事件恰好发生次的概率，注意该公式与二项展开式的通项的区别，所以要强化公式的记忆．
4.【答案】
【解析】解：，
令，
则，
令，
则，
．
故选：．
利用赋值法，令和，分别求出和的值，即得的值．
本题考查了二项式定理的应用问题，解题时应利用赋值法，容易求出正确的结果
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由“”得，
由得或，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选A．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．
法一：用直接法，人中至少有名女生包括女男及女男两种情况，计算各种情况下的选派方案种数，由加法原理，计算可得答案；法二：用排除法，首先计算从男女中选人的选派方案种数，再计算名都是男生的选派方案种数，由排除法，计算可得答案．
【解答】
解：法一：人中至少有名女生包括女男及女男两种情况，
故不同的选派方案种数为；
法二：从男女中选人共有种选法，名都是男生的选法有种，
故至少有名女生的选派方案种数为．
故选A．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
求导数，确定函数的单调性与最大值，即可得到函数的图象．
【解答】
解：，
，
，，，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，
对照选项可得函数的图象为．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：对于，，，的正负无法判断，正负无法判断，故A错误；
对于，，，正负无法判断，故B错误；
对于，，故C错误；
对于，，，则，即，故D正确．
故选：．
利用等差数列的通项公式及性质逐一核对四个选项得答案．
本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值、极值点，考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想，属于较难题．
根据，且为函数的极大值点，利用导数来判断，该满足的条件，为此需要判断函数在左右的单调性，本题需要分，并且，，并且，，并且，，并且共种情况讨论，由此可以推出：并且或并且，然后可判断选项的正确性．
【解答】
解：因为，
Ⅰ所以当时，函数在单调，无极值，不合条件；
Ⅱ当时，因为，
所以，若并且时，，
由，得：或，
由，得：，
所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；
若，并且时，，
由，得：或，
由，得：，
所以这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；
若，并且时，，
由，得：，
由，得：或，
这时在上单调递减，在上单调递增，是函数的极小值点，不符合条件；
若，并且时，，
由，得：，
由，得：或，
所以这时在上单调递增，在上单调递减，是函数的极大值点，符合条件；
因此，若为函数的极大值点，则，必须满足条件：
并且或并且．
由此可见，，均错误；
又总有成立，所以C错误，D正确．
故选D．

10.【答案】
【解析】解：由题意，时，，，；，，；
时，，，；，，；，，；
时，，，；
符合条件的有序数组的个数是个．
故选：．
利用集合的相等关系，结合；；；有且只有一个是正确的，即可得出结论．
本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
11.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故答案为：．
直接根据条件概率公式求解可得结果．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数，
当时，即为，解得，即为；
当时，即为，解得，即为．
则有的取值范围是，．
故答案为：．
由分段函数可得当时，即为，当时，即为，运用指数函数和幂函数的单调性，解出不等式，最后求并集即可．
本题考查分段函数的运用：解不等式，主要考查指数函数和幂函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，得．
，
．
故答案为：；．
根据分布列的性质求出，根据方差公式求出．
本题主要考查离散型随机变量分布列，离散型随机变量的期望和方差，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，，，，，
令，得，
因为为整数，为正整数，所以为偶数，为的倍数的正整数．
故答案为：答案不唯一，为的倍数的正整数均可．
在通项公式中，令的指数为，可求出结果．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：对于时，可得，当时，由，可得，可得，故正确；
对于，当时，由得，于是可得，即，
若为等比数列，则时，，即从第二项起为常数，可检验不成立，故错误；
对于，因为，，，
当时，，
所以，
所以，
所以为递减数列，故正确；
对于，假设所有项均大于等于，取，则，则与已知矛盾，故正确；
故答案为：．
对于，求出即可得出结论；对于，假设为等比数列，推出矛盾即可得出结论；对于，容易推得；对于，假设所有项均大于等于，推出矛盾即可判断．
本题考查命题的真假判断，考查数列的递推关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于较难题目．
16.【答案】解：，
，，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
极小值为，无极大值．
当时，；当时，，且，
结合单调性，可画出函数的大致图像，如下图所示：
画出函数与函数的简图，如下图所示：
由图可知，当时，方程没有实数根；
当或时，方程只有一个实数根；
当时，方程有两个不相等的实数根．
【解析】由导数得出其单调性以及极值；
由单调性画出函数的大致图像；
画出函数与函数的简图，由图像得出方程根的个数．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，利用导数研究函数的图像，数形结合的数学思想等知识，属于中等题．
17.【答案】解：设公差不为的等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
所以解得：，
所以；
由得：，
所以，
故．
【解析】直接利用等差数列的性质的应用求出数列的通项公式；
利用裂项相消法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意可得，该同学这门课程均未取得优秀成绩的概率为
；
由题意知，的可能取值，，，；
计算，
，
，
；
所以的分布列为：
数学期望为．
【解析】根据独立事件的概率公式，计算所求的概率值；
由题意知的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及分布列和数学期望的计算问题，是中档题．
19.【答案】解：因为，，，，，
所以点处的切线方程为，即．
因为，，，，，
所以在点处的切线方程为，即．
，证明如下：
设，
，
当时，；当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以，
所以．
【解析】根据导数的几何意义可求出结果；
作差构造函数，利用导数可证结论成立．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：由图可知，参加活动次、次和次的学生人数分别为、和．
该合唱团学生参加活动的人均次数为
．
从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
．
从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加次活动，另一人参加次活动”为事件，“这两人中一人参加次活动，另一人参加次活动”为事件，“这两人中一人参加次活动，另一人参加次活动”为事件易知
；
；
的分布列：
的数学期望：．
【解析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，属于中档题．
由图可知，参加活动次、次和次的学生人数分别为、和，根据平均数的求法，计算可得答案．
欲求他们参加活动次数恰好相等的概率，频数分布直方图，清楚显示在各个不同区间内取值，各组频数分布情况，利用公式即可；
可能取值是：，，分别计算出取这此值时的概率即得分布列，再根据数学期望即可计算出结果．
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