2022-2023学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市通州区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二项式的展开式的第项为( )
A. B. C. D.
2. 名学生与名老师站成一排照相，学生请老师站在正中间，则不同的站法种数为( )
A. B. C. D.
3. 函数的导数是( )
A. B. C. D.
4. 已知函数，则的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
5. 已知离散型随机变量的分布列为，则( )
A. B. C. D.
6. 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，恰好出现次正面朝上的概率为( )
A. B. C. D.
7. 已知随机变量服从正态分布，且，则( )
A. B. C. D.
8. 篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得分，不命中得分已知某篮球运动员罚球命中的概率为，设其罚球一次的得分为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9. 已知函数的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论：在区间上单调递增
在区间上单调递减
在处取得最大值
在处取得极小值
其中结论一定正确的个数是( )
A. B. C. D.
10. 已知函数为其定义域上的单调函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
11. 在道代数题和道几何题中，每次从中随机抽出道题，抽出的题不再放回设“第一次抽到代数题”，“第二次抽到几何题”则 ______ ； ______ ．
12. 二项式的展开式中常数项为______ ．
13. 函数的零点是 ，极值点是 ．
14. 已知一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”的个数为______ 用数字作答
15. 已知函数给出下列四个结论：
函数存在个极值点；
；
若点，为函数图象上的两点，则；
若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知函数．
Ⅰ求的单调区间及极值；
Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．
17. 本小题分
袋中有个白球、个黑球，从中随机地连续抽取次，每次取个球．
Ⅰ若每次抽取后不放回，求连续抽取次至少取到个黑球的概率；
Ⅱ若每次抽取后放回，求连续抽取次恰好取到个黑球的概率．
18. 本小题分
某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试，现从男、女生中各随机抽取人作为样本，把他们的测试数据整理如表，规定：数据，体质健康为合格．
等级 数据范围 男生人数 女生人数
优秀
良好
及格
不及格 以下
Ⅰ估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率；
Ⅱ从样本等级为优秀的学生中随机抽取人进行再测试，设抽到的女生数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ从该校全体男生中随机抽取人，全体女生中随机抽取人，估计这人中恰有人健康等级是优秀的概率．
19. 本小题分
已知函数，．
Ⅰ若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
Ⅱ求的零点个数；
Ⅲ若，求证：对于任意，恒有．
20. 本小题分
已知函数，，．
Ⅰ当，时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当，时，求在区间上的最大值；
Ⅲ当时，设，判断在上是否存在极值若存在，指出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由．
21. 本小题分
为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生可答题若干次，答题赋分方法如下：第一次答题，答对得分，答错得分；从第二次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得分学生甲参加这次答题竞赛，每次答对的概率为，且每次答题结果互不影响．
Ⅰ求学生甲前三次答题得分之和为分的概率；
Ⅱ设学生甲第次答题所得分数的数学期望为
求，，；
写出与满足的等量关系式直接写出结果，不必证明；
若，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的第项为．
故选：．
由题意，利用二项式展开式的通项公式，求出二项式的展开式的第项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：名学生与名老师站成一排照相，老师站在正中间，
相当于名学生的全排列，有种不同的站法．
故选：．
根据题意，计算即可得出答案．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：函数，
则函数的导数，
故选：．
根据函数的导数公式进行求导即可．
本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，
，令，即，
解得，
所以的单调递减区间为
故选：．
对求导，令，即可求解单调递减区间．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，离散型随机变量的分布列为，
则．
故选：．
根据题意，由的分布列可得，进而计算可得答案．
本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：抛掷一枚硬币出现正面的概率为，
则将一枚质地均匀的硬币重复抛掷次，恰好出现次正面朝上的概率为：．
故选：．
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率公式，以及二项分布的概率公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：随机变量服从正态分布，且，
则，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由题意知，随机变量的可能取值为，，
因为，，
所以；
．
故选：．
先求得和时的概率，求得期望和方差，即可得答案．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差计算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由的图象可知，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在区间和上单调递减，故错误，正确；
当时，函数取得极大值，无法确定为最大值，故错误；
当时，函数取得极小值，故正确，
综上，结论正确的有．
故选：．
由题意，结合的图象，得到的符号和的单调性、极值，对结论进行逐一分析，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和数形结合．
10.【答案】
【解析】解：已知，函数定义域为，
可得，
若函数在定义域上为单调函数，
此时在上恒非正或恒非负，
因为函数是开口向上的二次函数，
所以在上恒成立，
需满足恒成立，
解得，
则实数的取值范围为．
故选：．
由题意，对函数进行求导，将函数在定义域上为单调函数转化成有关的信息，利用二次函数的性质得到在上恒成立，结合根的判别式进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，设“第一次抽到代数题”，“第二次抽到几何题”，
则，，
故．
故答案为：；．
根据题意，由古典概型公式求出和，进而由条件概率公式计算可得答案．
本题考查条件概率的计算，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：二项式的展开式的通项为，
令，解得，
则展开式的常数项为．
故答案为：．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
13.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值点，求函数的零点，属于中档题．
令即可求得零点；利用导数可求得的单调性，根据极值点定义可得结果．
【解答】
解：，
令，解得，的零点是；
由题意知：定义域为，
，令，解得，
则当时，；当时，；当时，，
在和上单调递减，在上单调递增，
的极值点为．
故答案为：；．

14.【答案】
【解析】解：从到这个数字人选个，则数字最小的放在十位，有种，
剩余个数字分别放在个位和百位，有，
则共有种不同的凹数．
故答案为：．
根据凹数的定义先确定十位数字的个数，剩余个数字分别排在个位和百位进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用组合和排列数公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，，求导得，
当或时，当时，，
当时，，求导得，当时，，当时，，
因此函数在，，上单调递增，在，上单调递减，
函数的极大值点为，，极小值点为，，共个，正确；
因为，即，错误；
函数在处取得极大值，而，
当时，恒有，则当时，，
函数在处取得极小值，因此当时，，
于是，正确；
由，得或，由解得，
因此关于的方程有两个不相等的实数根，当且仅当方程有一个非实根，
即直线与函数的图象有唯一公共点，在同一坐标系内作出直线与的图象，如图，
观察图象知，当或时，直线与函数的图象有一个公共点，
解得或，于是所求实数的取值范围是，正确，
所以所有正确结论的序号是．
故答案为：．
利用函数的单调性得函数的极大值点为，，极小值点为，，可判断；计算出，可判断；利用函数的极大值和极小值，可判断；数形结合可判断．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
16.【答案】解：Ⅰ，
则，
令，解得或，单调递增区间为和，
令，解得，单调递减区间为，
故的极大值为，极小值为；
Ⅱ当时，
的单调递增区间为，单调递减区间为，
，，
故的最大值为，最小值为．
【解析】Ⅰ根据已知条件，利用导数函数的单调性，即可求解；
Ⅱ结合Ⅰ的结论，以及区间两个端点的函数值，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：从个球中任意取出个球，取法总数为种，
个球都是白球的取法有种，
设事件表示“至少取到个黑球”，
则；
有放回的抽取次，取法总数为种，
设事件表示“恰好取到个黑球”，
事件包含有种，
所以．
【解析】利用古典概型的概率公式，结合对立事件的概率关系求解；
利用古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
18.【答案】解：Ⅰ样本中合格的学生数为：，样本总数为：，
所以估计该校高一年级学生体质健康等级为合格的概率为．
Ⅱ依题意的可能取值为，，，，
所以，，，，
所以的分布列为：


所以；
Ⅲ由样本可知男生健康等级是优秀的概率为，女生健康等级是优秀的概率为，
则这人中恰有人健康等级是优秀的概率为．
【解析】Ⅰ利用古典概型的概率公式计算可得；
Ⅱ依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可得到的分布列与数学期望；
Ⅲ首先求出样本中男、女生健康等级是优秀的概率，再利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得．
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
若在区间上恰有一个极值点，
此时，
解得，
则实数的取值范围为；
Ⅱ已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
当时，，
即，
此时函数在上无零点；
当时，
易知，，
所以函数在上存在唯一一个零点，
综上，有个零点；
Ⅲ证明：若，
此时，
若对于任意，恒有，
此时在上恒成立，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
则，，
故对于任意，恒有．
【解析】Ⅰ由题意，对函数进行求导，利用导数即可得到函数的单调性；
Ⅱ对函数进行求导，利用导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可；
Ⅲ将代入函数的解析式中，将求证对于任意，恒有，转化成求证恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求证．
本题考查利用导数研究函数单调性和极值以及函数零点问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
20.【答案】解：Ⅰ当，时，，函数定义域为，
可得，
此时，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
Ⅱ当，时，，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当，即时，函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值；
当，即时，
函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，最大值；
当，即时，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最大值，最大值，
综上，当时，在区间上的最大值为；
当时，在区间上的最大值为；
当时，在区间上的最大值为；
Ⅲ当时，函数，
此时，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，
所以在区间单调递减，
当时，，
又，
当，即时，
可得，在区间单调递增，
此时在区间上无极值；
当，即时，
可得在区间上存在唯一一个零点，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在区间上有一个极大值，无极小值，
综上，当时，函数有一个极大值，无极小值；
当时，函数无极值．
【解析】Ⅰ由题意，将，代入函数解析式中，对进行求导，得到和，代入切线方程中即可求解；
Ⅱ将代入函数解析式中，对进行求导，利用导数得到函数的单调性，分别对，和这三种情况进行分析，结合函数单调性即可求出最值；
Ⅲ将代入函数解析式中，得到函数的解析式，对函数进行二次求导，研究函数在的单调性，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值以及函数零点问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力．
21.【答案】解：Ⅰ学生甲前三次答题得分之和为分的概率，即为学生甲前三次答题中仅只答对一次的概率，
设“学生甲前三次答题得分之和为分”为事件，
所以；
Ⅱ学生甲第次答题得分、分的概率分别为，
所以，
甲第次答题得分、分、分的概率分别为，
所以，
甲第次答题得分，分、分、分的概率分别为．
所以；
与满足的等量关系式是：；
由知，由知，
所以，
所以数列以为首项，公比为的等比数列，
所以，即，
由，得，
所以，
因为，
所以的最小值是．
【解析】Ⅰ由题意得学生甲前三次答题中仅只答对一次，设“学生甲前三次答题得分之和为分”为事件，利用独立重复试验概率公式即可求解；
Ⅱ由题意得到学生甲第次答题得分、分的概率，甲第次答题得分、分、分的概率，甲第次答题得分，分、分、分的概率，利用期望公式即可求解；
由的结论即可求解；
由知，由知，得到数列以为首项，公比为的等比数列，代入不等式即可求解．
本题考查了离散型随机变量的期望计算，属于中档题．
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