2022-2023学年河北省衡水市重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省衡水市重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，且，则( )
A. B. C. D.
2. 已知：，那么命题的一个必要非充分条件是( )
A. B. C. D.
3. 已知，则( )
A. B. C. D.
4. 设函数，则( )
A. B. C. D.
5. 函数在的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数的定义域，则函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数，且关于的方程有两个实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列四组函数中，不表示同一函数的一组是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10. 下列叙述中正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
11. 已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
12. 已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是( )
A. 当时， B.
C. 的图象关于点对称 D. 函数有个零点
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数是偶函数，则 ______ ．
14. 设，，若，则实数组成的集合 ．
15. 已知，则的解析式为______．
16. 已知函数，若函数恰有个不同的零点，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知指数函数且经过点．
求的解析式及的值
若，求的取值范围．
18. 本小题分
已知全集，集合，．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
19. 本小题分
已知：，：为常数，
Ⅰ若是的充要条件，求的值；
Ⅱ若是的必要不充分条件，求的范围．
20. 本小题分
已知是定义在上的偶函数，且时，．
求
求函数的解析式；
若，求实数的取值范围．
21. 本小题分
设函数是增函数，对于任意，都有．
求；
证明奇函数；
解不等式．
22. 本小题分
设函数且．
解不等式；
已知对任意的实数，恒成立，是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立，若存在，求出的范围，若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集运算，同时考查不等式的解法，考查方程思想和运算能力．
由二次不等式和一次不等式的解法，化简集合，，再由交集的定义，可得的方程，解方程可得．
【解答】
解：集合，
，
由，可得，
则．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，比较基础．
求出不等式的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由得，设，
设成立的一个必要不充分条件为，
则满足，
显然满足条件．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：，，，
．
故选：．
根据对数函数和指数函数的单调性即可得出，，，然后即可得出，，的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．
先求，再由对数恒等式，求得，进而得到所求和．
【解答】
解：函数，
即有，
，
则有．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：由在，知
，函数是上的奇函数，因此排除
又，因此排除，．
故选：．
由的解析式知该函数为奇函数可排除，然后计算时的函数值，根据其值即可排除、．
本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊值是判断函数图象的常用方法，是基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为求出函数的定义域即可．
本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
【解答】
解：由题意得：
，
解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选C．
7.【答案】
【解析】解：当时，，当时，．
所以，由图象可知当要使方程有两个实根，
即函数与直线有两个交点，所以，由图象可知，
故选：．
当时，，当时，，由题意可得，函数与直线有两个交点，数形结合求得实数的范围．
本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
，
令，
则在上是增函数，
又，
，
故，
故选：．
化简得，令，结合函数的单调性可得．
本题考查了指数函数与对数函数单调性的应用及整体思想的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于，因为，，两个函数的解析式相同，又两个函数的定义域相同都为，所以是同一函数；
对于，由得的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于，由得的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数．
故选：．
结合函数的基本概念，通过对函数的定义域和函数的解析式的判断逐一分析求解即可．
本题考查判断两个函数是否为同一函数，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：是自然数，，或，故A错误；
，又，，故B正确；
命题“，”的否定是“，”，故C错误；
，或，或，或，故D正确．
故选：．
根据集合的关系与运算性质、命题的否定方法以及条件的充分性、必要性的判断方法逐项判断即可．
本题主要考查了集合包含关系的判断，含有量词的命题否定，不等式的性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查基本不等式的应用，考查逻辑推理与运算求解能力．
利用指数函数的性质即可判断选项A；由基本不等式即可判断选项B，，．
【解答】
解：因为，，且，
所以，
所以，故A正确；
，
所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
，
当且仅当时取等号，故C错误；
已知，，且，
所以，则，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意判断函数的周期，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，当时，，则，又由是定义在上的偶函数，，A正确，
对于，满足，即，函数是周期为的周期函数，则，B正确，
对于，是定义在上的偶函数，且，则有，的图象关于直线对称，C错误，
对于，根据题意，的图象与的草图如图：分析可得两个函数有个交点，
即函数有个零点，D正确；
故选：．
13.【答案】
【解析】解：因为函数是偶函数，且定义域为，
所以，
恒成立，
所以．
故答案为：．
根据偶函数的性质进行判定求解．
本题主要考查了偶函数的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查集合关系中的参数取值问题，属于中档题 ．
解一元二次方程求出集合，根据可得是的子集，分与讨论求解即可．
【解答】
解：，
．
又，
当时，，显然；
当时，，
由于，或，
则或，
综上，．
故答案为．

15.【答案】
【解析】解：令，则且，
，
，
则
故答案为：
令，则且，然后根据已知解析式代入即可求解．
本题主要考查了利用换元法求解函数的解析式，属于基础试题．
16.【答案】
【解析】解：若函数恰有个零点，
则有四个根，
即与有四个交点，
当时，与图象如下：
两图象只有两个交点，不符合题意；
当时，与轴交于两点，，
图象如图所示：
当时，函数的函数值为，函数的函数值为，
两图象有个交点，符合题意；
当时，与轴交于两点，，在内两函数图象有两个交点，
则若有四个交点，只需与在内有两个交点即可，
即在还有两个根，也就是在内有两个根，
函数，当且仅当时，取等号，
，且，得，
综上所述，的取值范围为．
故答案为：．
问题转化为有四个根，即与有四个交点，再分，，讨论两个函数是否能有个交点，进而得出的取值范围．
本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．
17.【答案】解：因为经过点，
所以，所以，
所以 ，
所以；
因为，即，
又 在上为增函数，
所以，
的取值范围为：．
【解析】本题考查了指数函数的定义、指数函数的单调性以及不等式的解法，属于基础题
将点代入到，解得的值，即可求出解析式，由此可求出的值；
根据指数函数为增函数，转化不等式，解之即可．
18.【答案】解：Ⅰ若，则，
则或；
则；
Ⅱ若，则，
若，即，得，此时满足条件；
当，则满足，得，
综上，
故的取值范围是．
【解析】本题主要考查集合的基本运算，根据集合的基本关系以及基本运算是解决本题的关键，属于拔高题．
Ⅰ根据集合的基本运算进行求解即可；
Ⅱ根据，得，讨论是否是空集，根据集合的关系进行转化求解即可．
19.【答案】解：解不等式，
即，
得：，
解不等式为常数，
得：，
若是的充要条件，则．
：，：或，
若是的必要不充分条件，
则或
解得或，
即的范围或．
【解析】Ⅰ求出两个不等式的等价条件，根据若是的充要条件，建立方程关系即可求的值；
Ⅱ求出，根据是的必要不充分条件，建立不等式关系即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用和判断，比较基础．
20.【答案】解：是定义在上的偶函数，
时，，
；
令，则，
时，，
则
在上为增函数，
在上为减函数，
，所以，
，
解得或．
【解析】本题考查函数解析式的求解以及不等式的求解，同时考查的函数奇偶性及单调性，考查分析与计算能力，属于中档题．
利用函数奇偶性的性质即可求；
根据函数奇偶性的性质即可求函数的解析式；
若，利用函数的单调性，将不等式进行转化即可求实数的取值范围．
21.【答案】解：由题设，令，
恒等式可变为，解得；
证明：令，
则由得，
即，
故是奇函数；
，
，
即，
又由已知得：，
，
由函数是增函数，不等式转化为，即，
不等式的解集或．
【解析】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．
利用已知条件通过，直接求；
通过函数的奇偶性的定义，直接证明是奇函数；
利用已知条件转化不等式．通过函数的单调性直接求解不等式的解集即可．
22.【答案】解：当时，函数在递减，
即为，解得，即有；
当时，有，解得，即有，
综上可知，；
由于，且，
可知为增函数，
即，
则有恒成立，
即，令，恒成立，
由，
得到；
又由于时，恒成立，
由，
解得；
综上可得，这样的实数不存在．
【解析】讨论，，结合对数函数的单调性和对数的定义，解不等式可得所求解集；
由题意可得，为增函数，原不等式化为，则有恒成立，即，令，恒成立，由二次函数的值域求法和不等式恒成立思想，解得的范围，即可判断存在性．
本题考查对数函数的单调性和不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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