八年级数学下册试题6.4 多边形的内角和与外角和同步练习-北师大版（含答案）

6.4 多边形的内角和与外角和
一、单选题
1．若多边形的边数由5增加到n（n为大于5的正整数），则其外角和的度数（ ）
A．增加 B．减少 C．不变 D．不能确定
2．下列多边形中，内角和为360°的图形是（ ）
A． B． C． D．
3．三角形的外角和度数是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．720°
4．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（ ）
A．5边形 B．6边形 C．7边形 D．8边形
5．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是，这个多边形的边数是（　　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
6．正八边形一个内角是（　　　）度
A．45 B．135 C．112.5 D．108
7．一个多边形的每个内角都相等，已知它的一个外角为20°，那么这个多边形是一个（　　）
A．正十八边形 B．正十六边形 C．正十四边形 D．正十二边形
8．如图，将两块大小相同的三角板（∠B=∠C=30°的直角三角形）按图中所示的位置摆放．若BE交CF于点D交AC于点M，AB交CF于点N，则下列结论：①∠EAM=∠FAN；②△ACN≌△ABM；③∠EAF+∠BAC=120°；④EM=FN；⑤CF⊥BE中，正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．内角和为720°的多边形是（ ）．
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
10．一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则它是（ ）边形．
A．六 B．七 C．八 D．九
11．如果一个多边形的内角和为，那么从这个多边形的一个顶点可以作（　　　）条对角线．
A． B． C． D．
12．一个多边形的每个外角都等于相邻内角的，这个多边形为（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形
13．如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图1所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数是（　　　）
A．90° B．108° C．120° D．135°
14．一个多边形的内角和外角和之比为4：1，则这个多边形的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
15．在△ABC中，高BD和CE所在的直线相交于点O，且点O与点B、C不重合，∠A=50°，则∠BOC的度数为（ ）．
A．50°或130° B．40°或130° C．50°或65 D．40°或65°
16．如图，在中，，沿图中虚线截去，则（ ）
A．288 B．252 C．180 D．144
17．五边形ABCDE中，、、、对应的邻补角和等于215°，则的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
18．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．10或11
19．若过边形的一个顶点的所有对角线正好将该边形分成个三角形，则的值是( )
A． B． C． D．
二、填空题
20．五边形的内角和与外角和之比是______．
21．若某多边形的内角和比外角和大900°，则这个多边形的边数为________．
22．如图，五边形的外角和为______度．
23．五边形的内角和是______度．
24．如图，则x的值为_____．
25．如图，为正五边形的一条对角线，则__________．
26．如图所示，小梦发现将正六边形的边向两端延长后，可以构成 “六边星角形”，则图中的度数是_________．
27．如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则等于______度．
28．若一个多边形的内角和是，则该多边形的边数是_____．
29．已知正多边形的一个外角等于则这个正多边形的内角和的度数为_______．
30．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为____米．
31．如图，已知点，过点作轴于点，点是轴正半轴上一个动点，连接，以为斜边，在的上方构造等腰，连接．在点运动的过程中，与的数量关系是____．
32．如图，线段，的垂直平分线，相交于点．若，则的度数为______．
33．多边形每一个内角都等于108°，多边形一个顶点可引的对角线的条数是________条．
34．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果，，那么 __________．
35．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．
36．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则________．
37．如图，在一个四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．
38．如图，六边形ABCDEF中，AB∥DC，∠1、∠2、∠3、∠4分别是∠BAF、∠AFE、∠FED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3+∠4＝_____．
三、解答题
39．如图，为内部一点，、分别为点关于直线、对称的点．
（1）若，求的度数；
（2）试猜想当的值最大时，与需要满足什么数量关系，并说明理由．
40．（1）一个多边形的内角和比它的外角和多，求该多边形的边数；
（2）如图，已知是的角平分线，是的高，与相交于点F，，，求和的度数．
41．（1）如图1，在△ABC中，已知OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，的外角∠DBC，∠ECB．
①若∠A=50 ，则∠O=______，∠P=______；
②若∠A=α，则∠O=______，∠P=______．（用含α的式子表示）
（2）如图2，在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，请探究∠P与∠A，∠D的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在六边形ABCDEF中，CP，DP分别平分外角∠GCD，∠HDC，请直接写出∠P与∠A，∠B，∠E，∠F的数量关系______．
42．如图，在中．是边上一点，平分是上一点，是边上一点．且．
（1）若，直接写出的度数（用含的式子表示）．
（2）求证：．
43．在平面中，我们把大于且小于的角称为优角．如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若，互为组角，且，则______．
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图，在镖形ABCD中，优角与钝角互为组角，试探索内角，∠B，与钝角之间的数量关系，并至少用两种以上的方法说明理由．
44．已知在四边形ABCD中，．
（1）如图1，若BE平分，DF平分的邻补角，请写出BE与DF的位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分、的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（3）如图3，若BE、DE分别五等分、的邻补角（即），求度数．
答案
一、单选题
C．B.C．D．D．B.A．B．D．C．C.B．B．D．A.B．B．B.D
二、填空题
20．3：2
21．9
22．360
23．540
24．75
25．36°
26．60°
27．60
28．5
29．1260°．
30．64
31．
32．35°
33．2
34．35°
35．360°
36．10°
37．75°．
38．180°
三、解答题
39．（1）如图，连接OP、OR、PR，分别交AB、BC与点E、F，
、分别为点关于直线、对称的点，
，
，
，
；
（2）如图1，连接PB、BR、PR，易知，
如图2，当P、B、R三点共线时，PR有最大值=PB+BR，
P、B、R三点共线，
P、O、R构成三角形，
、分别为点关于直线、对称的点，
OB=BP，OB=BR，，
，，
，
，
，
，
，
，
当的值最大时，与需要满足．
40．
解：（1）设该多边形的边数为n，由已知，得
，
解得，
∴该多边形的边数为8；
（2）∵是的角平分线，且，
∴，，
又∵，
∴，
∵是的高，
∴，
∴．
41．
解：（1）①连结AO并延长到Q，连结PA
∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠ABO=；∠ACO=，
∴∠BOQ=∠ABO+∠BAO，∠QOC=∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BOQ+∠QOC=∠ABO+∠BAO+∠OCA+∠OAC，
∴∠BOC=∠BAC++，
=∠A++，
=∠A+180°- ，
=90°+，
=115°，
BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB，
∴∠DBP=；∠ECP=，
∠DBP=∠BAP+∠BPA，∠ECP=∠CAP+∠CPA，
∴∠DBP+∠ECP=∠BAP+∠BPA+∠CAP+∠CPA=∠A+∠P，
∴，
∴，
∴90 +，
∴，
故答案为：115 ；65 ；
②由①得∠O=90°+， ，
∵∠A=α，
∴∠O=90°+，，
故答案为：∠O=90°+，，
解：，
理由如下：
在四边形ABCD中，BP，CP分别平分外角∠EBC，∠FCB，
∴∠CBP=；∠BCP=，
，
，
，
，
；
（3）延长CB，DE交直线AF与M、N如图，
由（2）得，
∴∠M=∠FAB+∠CBA-180 ，∠N=∠EFA+∠DEF-180 ，
∴∠M+∠N=∠FAB+∠CBA-180 +∠EFA+∠DEF-180 =∠FAB+∠CBA+∠EFA+∠DEF-360 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
42．解：（1）在四边形ABPQ中，
∴
∵
∴
（2）连接PC
∵AB=AC，平分
∴AD垂直平分BC
∵P是AD上一点
∴PB=PC
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP（SSS）
∴∠ABP=∠ACP
又由（1）已证
∴
∴PQ=PC
∴PB=PQ
43．
解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1=135°，
∴∠2=360°-∠1=225°，
故答案为：225°；
（2）钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D．
理由如下：
理由①：∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D=360°，
又∵优角∠BCD+钝角∠BCD=360° ，
∴钝角∠BCD=∠A+∠B+∠D；
理由②：如下图，连接AC并延长，
∵∠BAC+∠B=∠BCE，∠DAC+∠D=∠DCE（三角形外角的性质），
∴钝角∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D=∠A+∠B+∠D．
44．（1）．
证明：延长BE、FD交于G．在四边形ABCD中，
，，
．
，．
平分，DF平分，
，，
，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB=∠DEG，∠FDN=∠EDG，
∴∠DEG+∠EDG=90°，
∴∠EGD=90°，即BE⊥DF．
（2）．
证明：连接DB．
，．
又，．
、DF平分、的邻补角，
，，
．
在中，
，
，
，．
（3）延长DC交BE于H．由（1）得：
．
、DE分别五等分、的邻补角，
，
由三角形的外角性质得，
，，
，
．