2022-2023学年福建省福州重点高中高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州重点高中高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，则( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
4. 已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为( )
A. B. C. D.
5. 已知某地区中小学生人数如图所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了的学生进行调查，调查数据如图所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为( )
A. B. C. D.
6. 函数在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7. 某单位为了方便员工，在某固定地点设置了两辆班车接员工上班，每一辆班车发车时刻和发车概率如下：第一辆车：在：、：、：发车的概率分别为，第二辆车：在：、：、：发车的概率分别为；两班车发车时刻是相互独立的，一位员工：到达乘车点，则该员工候车时间超过分钟的概率是( )
A. B. C. D.
8. 已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则向量在上的投影向量为
D. 若，则向量与的夹角为锐角
10. 已知，，且，则( )
A. B. C. D.
11. 已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A. 函数的最小正周期是
B. 函数在区间上是减函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
12. 定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则( )
A. 函数图像关于直线对称
B. 函数的周期为
C.
D. 和的图像所有交点横坐标之和等于
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 ______ ．
14. 在等差数列中，，其前项和为，则 ______ ．
15. 已知圆：，点是圆上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是______．
16. 若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为______ ，此时切线方程为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数．
求的值和的最小正周期；
设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，，求的取值范围．
18. 本小题分
已知等差数列，满足，．
求数列的通项公式以及前项和；
若从数列中依次取出第，，，，，项，按原来的顺序构成一个新数列，试求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点．
证明：平面；
若，，，求二面角的平面角的余弦值．
20. 本小题分
某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有名工人参加，他们的成绩都分布在内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在分及分以上的为优秀．
Ⅰ求图中的值；
Ⅱ估计这次比赛成绩的平均数同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表；
Ⅲ某工厂车间有名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于分的概率．
21. 本小题分
设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点．
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于，证明：直线经过定点．
22. 本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，
则或
．
故选：．
由指数不等式的解法化简集合，再由补集和交集的定义，即可得到所求集合．
本题考查集合的混合运算，同时考查指数不等式的解法，运用定义法解题是关键，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：，
故复数对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小．
本题考查三个数的大小的判断，考查幂函数、指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，
易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为，则大圆半径为，
所以面积．
故选：．
可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出．
本题考查了圆台的特征，侧面展开图面积的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，抽取的样本容量为，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为：，，，
根据图知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为：，，，
所以该地区学生的平均近视率为．
故选：．
先利用扇形统计图求出抽取的样本容量及小学生、初中生、高中生的人数，再利用条形统计图求出样本容量中近视的学生人数，从而求出平均近视率，得出结果．
本题主要考查了统计图的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出的值，利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】
解：由，得，
，
又，
函数在处的切线方程为，即．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：该员工候车时间超过分钟的情况有两种：乘坐：和：，
故第一辆车在：出发，概率为．
故选：．
该员工候车时间超过分钟的情况有乘坐：和：两种情况，计算得到答案．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
8.【答案】
【解析】解：根据双曲线的定义，可得，
是等边三角形，即
又，
，
中，，，
即，
解得，
，
双曲线的渐近线的斜率为．
故选：．
根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线渐近线方程即可得结论．
本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识，根据条件求出，的关系是解决本题的关键，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，若，则，解得，选项A正确；
对于，若，则，解得，选项B正确；
对于，当时，，则向量在上的投影向量为，选项C错误；
对于，当向量与的夹角为锐角时，且，
解得且，则选项D错误．
故选：．
由两向量平行的条件可判断选项A；由两向量垂直的条件可判断选项B；由投影向量公式可判断选项C；由向量的夹角公式可判断选项D．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，，，，，当且仅当时取等号，A正确，
，，，，当且仅当时取等号，B错误，
，，当且仅当时取等号，C正确，
，，当且仅当，时取等号，D正确，
故选：．
由基本不等式判断，由重要不等式判断．
本题主要考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：函数，
故函数的最小正周期为，故A错误；
由于，所以，所以函数在该区间上单调递减，故B正确；
对于：当时，，故函数的图象关于直线对称，故C正确；
对于：函数，
函数的图象向左平移个单位得到，故D错误；
故选：．
直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由定义域为，可得，，
即，则函数图象关于直线对称，A正确；
由以及为偶函数可得，
则，即函数的周期为，B错误；
由周期性知，，又，
即，则，C错误；
函数的定义域为，，
可得函数图象关于直线对称，分别画出和的图象如图所示：
由图可得和的图象有四个交点，且关于直线对称，则所有交点横坐标之和等于，D正确．
故选：．
由题设得即可判断选项；由对称性结合奇偶性得即可判断选项；利用周期性及解析式求出函数值即可判断选项；先求得函数图象关于直线对称，画出和的图象得到有四个交点，且关于直线对称，即可判断选项．
本题考查函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为函数是幂函数，
所以，所以或，
时，，是偶函数，
时，，是奇函数，不符合题意，
所以．
故答案为：．
由幂函数的定义及奇偶性可解得的值．
本题主要考查幂函数的概念，解析式，奇偶性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题知为等差数列，记数列，
所以，由，可知，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，所以．
故答案为：．
构造，可知是以为首项，为公差的等差数列，求出的通项公式，即可求得，进而求得．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前项和公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，圆心，半径为，所以，，
设，所以，
当且仅当时取等号，
即当时，最大，此时，即，
因为，所以，
所以所在的直线方程为，
即，
故答案为．
利用得到当取时角最大，进而得到，从而可求出所在直线方程．
本题考查直线与圆形成角的取值范围，涉及余弦定理的应用，属于中档题．
16.【答案】或 或
【解析】解：设切点坐标为，
由，得，
所以切线方程为，
将点的坐标代入，得，
整理，得，
由题意可知，方程有两个相等的实数根，则，
解得或，
当时，，此时切线方程为，即，
当时，，此时切线方程为，即．
故答案为：或；或 ．
本题考查导数的几何意义，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．
本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题．
17.【答案】解：函数．
所以．
所以，
所以函数的最小正周期为；
设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，
所以，
，
所以，解得．
利用正弦定理，
解得，，
所以
，
由于，解得，
所以，
所以．
【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
利用的结论和函数的关系式的变换及正弦定理的应用求出结果．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，
因为，，所以，解得，
所以，．
由知，，
所以，
所以．
【解析】根据等差数列的通项公式与前项和公式，求得公差和首项，进而得解；
根据中所得写出，再由分组求和法，结合等比数列的前项和公式，得解．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与前项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：证明：连接，设，连接，
是的中点，为的中点，，
又平面，平面，
平面；
以为坐标原点，分别以，，所在直线
为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，
设为平面的一个法向量，
则，取，则，
又平面的一个法向量为．
．
二面角为锐二面角，则二面角的平面角的余弦值为．
【解析】连接，设，连接，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面平行的判定可得平面；
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
20.【答案】解：由频率分布直方图得，解得．
由知各分组的频率分别为，，，，，．
平均数的估计值为．
由题意可知，该工厂车间参赛的人中，成绩在分及分以上的三个分组的频率分别为，所以成绩优秀的有人，其中成绩低于分的有人，分别记为，，，，另一人记为．
从人中任选两人，所有的情况有，，，，，，，，，，共种情况．
设“这两人成绩均低于分”为事件，则事件包含的情况有种．
所以．
【解析】由频率分布直方图的性质，即可解出；
利用频率分布直方图的性质，即可解出；
分别计算出总的基本事件数，以及满足条件的基本事件数，即可解出．
本题考查了频率分布直方图，学生的数学运算能力，属于基础题．
21.【答案】解：由已知可得，解得，
又椭圆过点，所以，解得，
故椭圆的方程为；
证明：由可得点，设，，
当直线的斜率不存在时，设其方程为，有，
所以，
解得，此时直线的方程为，
当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立可得：
，
则，
又，
所以，即，
所以，
整理可得，
因为直线不过点，所以，则，即，
所以直线的方程为，即，所以直线恒过定点，
此点也在直线上，
所以直线恒过定点
【解析】由已知建立关于，，的方程，即可求解；设，，当直线的斜率不存在时，设其方程为，有，根据两点的斜率公式有以，由此求出的值，当直线的斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率公式求出与的关系，由此求出直线过的定点，进而可以证明．
本题考查了求解椭圆以及直线与椭圆的位置关系的问题，涉及到韦达定理以及斜率公式的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：，
当时，，单调递增，
当时，令，得，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减．
对任意的，都有恒成立，
即任意的，都有恒成立，
所以任意的，都有恒成立，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
由，得，
设，，，
所以在上为增函数，
所以由，得，
所以，即，所以，
所以，
所以，所以，
所以的取值范围为．
【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的综合应用以及函数恒成立问题，属难题．
，当时，，单调递增，当时，令，得，利用导数性质讨论函数的单调性．
推导出对于任意的，都有恒成立，令，则，令，则，，，存在，使得，即，由，得，再构造函数，研究单调性，进而可求的最小值，求出的范围．
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