2022-2023学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省中山市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度支持与不支持的关系，运用列联表进行独立性检验经计算，则所得到的统计学结论是：有的把握认为“学生性别与支持该活动有系”( )
A. B. C. D.
2. 要判断成对数据的线性相关程度的强弱，可以通过比较它们的样本相关系数的大小，以下是四组数据的相关系数的值，则线性相关最强的是( )
A. B. C. D.
3. 名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4. 下列求导数计算错误的是( )
A. B.
C. D.
5. 一个盒子里装有大小相同的个黑球和个白球，从中不放回地取出个球，则白球个数的数学期望是( )
A. B. C. D.
6. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：
甲：；
乙：；
丙：；
丁：，
若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 设，分别为等比数列，的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
8. 下列关于数列的判断中正确的是( )
A. 对一切都有
B. 对一切都有
C. 对一切都有，且存在使
D. 对一切都有，且存在使
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 函数的导函数的图像如图所示，则( )
A. 为函数的零点 B. 为函数的极小值点
C. 函数在上单调递减 D. 是函数的最小值
10. 已知，则( )
A. B. C. D.
11. 已知等差数列的前项和为，公差，则下列数列一定递增的是( )
A. B. C. D.
12. 设，下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 在，，，中，最大
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的方差为______ ．
14. 某人投篮命中的概率为，投篮次，最有可能命中______次．
15. 若函数在区间上最大值为，最小值为，则实数 ______ ．
16. 杨辉三角在我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“菜布尼茨三角形”，菜布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第行第个数是______ ；若，则 ______ 用含的代数式作答．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于．
求的值；
若展开式中的常数项为，求的值．
18. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
证明：．
19. 本小题分
已知各项均为正数的等比数列满足，．
求的通项公式；
令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前项的和．
20. 本小题分
“业务技能测试”是量化考核员工绩效等级的一项重要参考依据．某公司为量化考核员工绩效等级设计了，两套测试方案，现各抽取名员工参加，两套测试方案的预测试，统计成绩满分分，得到如频率分布表．
成绩
频率
方案
方案
从预测试成绩在，的员工中随机抽取人，记参加方案的人数为，求的最有可能的取值；
由于方案的预测试成绩更接近正态分布，该公司选择方案进行业务技能测试．测试后，公司统计了若干部门测试的平均成绩与绩效等级优秀率，如表所示：
根据数据绘制散点图，初步判断，选用作为回归方程．令，经计算得，，．
(ⅰ)若某部门测试的平均成绩为，则其绩效等级优秀率的预报值为多少？
(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求某个部门绩效等级优秀率不低于的概率为多少？
参考公式与数据：，，．
线性回归方程中，，．
若随机变量，则，，．
21. 本小题分
根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
概率
其中，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．
若，求和；
为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等．
若希望增大，如何调控的值？
是否存在的值使得，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
当时，证明：存在唯一极值点，且．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
对照表格：，
因为，
所以有把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．
故选：．
根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
本题主要考查独立性检验的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关；，且越接近于，相关程度越大；越接近于，相关程度越小，因此线性相关最强的是．
故选：．
利用相关系数的含义，判断每个选项里的相关系数的绝对值的大小即可．
本题考查相关系数的概念，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：分两步，
先排甲、乙、丙三人看作整体，不同排法共有种，
将甲、乙、丙三人这个整体与其余三人排列，不同排法共有种，
不同排法共有种．
故选：．
分步：将甲乙丙三人看成一个整体，将剩下的人与这个整体全排列即可．
本题考查排列、组合的应用，注意相邻问题的处理方法，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对于，，A正确；
对于，，B错误；
对于，，C正确；
对于，，D正确．
故选：．
利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：依题意，取出球中白球个数为随机变量，，
服从超几何分布，
所以白球个数的数学期望是．
故选：．
根据给定条件，白球个数服从超几何分布，再借助超几何分布的期望公式计算作答．
本题主要考查随机变量均值的计算，超几何分布的数学期望等知识，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：显然甲乙可同时成立：即为对称轴，据此作出草图：
对于丙：比离对称轴更近一些，
故成立，
对于丁：不等式左右两边都包含之间的部分，
而之间的面积显然比之间的面积大，
故，故丁为假命题．
故选：．
根据正态分布的性质，作出草图，逐项判断即可．
本题考查正态分布的性质，以及学生运用正态曲线解题的能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：设，分别为等比数列，的前项和，若，
设，，
则，
，
．
故选：．
设，，则，，由此能求出的值．
本题考查两个等比数列的比值的求法及应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：我们先证明一个不等式：．
证明：要证，即证，
即证：，
由均值不等式可得．
故不等式成立．
我们再证明一个不等式：．
证明：由二项式定理可得，
而当时，，
故，
故故A正确，BCD错误．
故选：．
利用均值不等式可得，结合二项式定理和裂项相消法可得．
本题主要考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由的导函数的图像可知，在，单调递减，在单调递增，
故当或时，取得极小值，但与的大小关系不确定，
故BC正确，AD错误，
故选：．
由的图像可知，在，单调递减，在单调递增，从而可得答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查识图能力与逻辑思维能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：选项：，，故B正确；
选项：，故C正确；
选项：由全概率公式，
得，，，故A错误；
选项：，故D正确；
故选：．
根据条件概率公式、全概率公式、和事件公式可以判断答案．
本题主要考查条件概率、全概率公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于，，，
，则数列是递增数列，A正确；
对于，，
，不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，B错误；
对于，，
，不一定是正实数，即数列不一定是递增数列，C错误；
对于，，
故数列是递增数列，D正确．
故选：．
根据等差数列的通项公式及前项和公式，利用数列单调性的概念，结合作差法即可判断．
本题主要考查了等差数列的前项和公式，考查了数列的函数特征，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，令，则，
令，则，
，A正确，
，，
其展开式的通项公式为，
，，，B正确，
，，
令，则，C错误，
，，，，为负数，最大项在，，，中，
，，，，
最大项为，D正确，
故选：．
采用赋值法判断，变形可得，写出其展开式的通项公式判断，求导数再赋值判断，根据选项B中的通项公式，分别求得，，和的值判断．
本题考查二项式定理的应用，熟练掌握二项展开式的通项公式，赋值法是解题的关键，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为离散型随机变量服从两点分布，设，则，
，则，
解得：，，
又离散型随机变量服从两点分布，则．
故答案为：．
由题意得离散型随机变量服从两点分布，设，则，由题意可求出，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：投篮命中次数，，
设最有可能命中次，即命中次的概率最大，则，
解得，，．
故答案为：．
由题意利用二项分布，次独立重复试验中恰好发生的概率计算公式，计算求得结果．
本题主要考查二项分布，次独立重复试验中恰好发生的概率计算公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：的定义域为，
，
当时，原函数递增，当时，原函数递减，
故在区间上先递减，再递增，
又，，，
且，
最大值，最小值．
．
故答案为：．
由题意，求导，从而确定函数的单调性，从而求函数的最值．
本题考查了导数的综合应用，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意知，将杨辉三角从第行开始的每一个数都换成分数，
得到的三角形为“菜布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第行第个数，所以，，
所以第行第个数为，
由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，
，，，，，，
将上述各式相加，得，
，．
故答案为：；．
类比杨辉三角，根据“莱布尼茨三角形”的特点求解即可．
本题主要考查归纳推理，考查转化能力，属于基础题．
17.【答案】解：由题意得，
整理得，
解得或舍，
故；
，
令，则，
由题意得，
解得．
【解析】由题意得，从而可求；
由已知先求出展开式的通项，结合已知常数项即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
18.【答案】解：，
，
，又，
所求切线方程为；
证明：设，则定义域为，
，
令，则，
在上单调递增，又，
当时，；
当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
即．
【解析】利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
设，，利用导数可求得单调性，结合可得单调性，得到，由此可证得结论．
本题考查利用导数几何意义求解切线方程，构造函数证明不等式问题，利用导数研究函数的单调性，化归转化思想，属中档题．
19.【答案】解：设等比数列的公比为，由题意得，
因为等比数列中，，所以，又，解得，
所以，即的通项公式为．
由知，
因为，，
所以的前项是由的前项与的前项组成，
记的前项的和为，
则
．
所以的前项的和为．
【解析】设等比数列的公比为，然后根据题意列出等式，进行联立即可得到，，即可求解；
先得到的前项是由的前项与的前项组成，然后利用分组求和法即可求解．
本题主要考查等比数列的通项公式，分组求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：预测试成绩在，的员工中，接受方案测试的有人；
接受方案测试的有人．
依题意，随机变量服从超几何分布，记这人中接受方案预测试的人数为，
则，其中．
．
得，即的可能性最大，
故的最有可能的取值是；
依题意，两边取对数，得，即．
其中，由提供的参考数据，可知，
又，，得．
故，当时，；
(ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知，，．
，即，可得，即．
又，，
由正态分布的性质，得．
记“绩效等级优秀率不低于”为事件，
则．
绩效等级优秀率不低于的概率等于．
【解析】求出预测试成绩在，的员工中，接受方案测试与接受方案测试的人数，记这人中接受方案预测试的人数为，由超几何分布可得，其中，通过计算可得，即的可能性最大；
依题意，两边取对数，得，即，由已知求得与的值，可得，取求得值即可；
(ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知，，，求解不等式，可得结合，即可求得“绩效等级优秀率不低于”的概率．
本题主要考查超几何分布、不等式、回归分析、正态分布等知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力和推理论证能力，考查统计与概率思想、化归与转化思想，是中档题．
21.【答案】解：由题意得：，，，
由全概率公式，得，
又，由，得，则；
由，得，
记，，则，
记，则，
故在单调递减．
，，，在单调递减．
因此增加的取值，会减小，增大，即增大．
假设存在使，又，
将上述两式相乘，得，
化简得，，
设，则，
则在单调递减，在单调递增，的最小值为，
不存在使得，即不存在的值使得．
【解析】根据条件概率计算方法求出，再根据即可计算求值；
根据分布列的概率和为得到与的关系，构造函数，利用导数判断其单调性，求出其单调性，从而可判断 的单调性，从而得到结果；
根据分布列概率和为及列出关于的方程，判断方程是否有解即可．
本题考查离散型随机变量的期望，与导数相结合，是难题．
22.【答案】解：当时，，
又在上单调递增，且，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又，
所以的极小值为，无极大值．
证明：的定义域为，，
当时，由知，则，
当时，单调递增且，，
设，则，
令得，
所以在上，单调递减，则，
所以，
根据零点的存在性定理，知存在唯一的零点，
此时，
因为，
所以，
设，
，
所以在上单调递增，即，
所以，
当时，单调递增，且，
，
设，，
当时，，在上单调递减，
所以，即，
所以，
又零点的存在定理可得，存在唯一的零点，
此时有，
由，
可得，
所以当时，，
综上所述，当时，存在唯一极值点，是极小值点，且．
【解析】当时，，求导分析单调性，进而可得答案．
的定义域为，，分三种情况：当时，当时，当时，分析单调性和极值点，进而可得答案．
本题考查函数的极值和零点的存在定理，解题关键是利用导数分析单调性和极值，属于中档题．
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