2022-2023学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省遂宁市高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知是虚数单位，则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2. 命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. “”是”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6. “燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱已知某一单车爱好者的骑行速度单位：随时间单位：变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为( )
A. B. C. D.
7. 短道速滑队组织名队员含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内进行冬奥会选拔，记“甲得第一名”为，“乙得第二名”为，“丙得第三名”为，若是真命题，是假命题，是真命题，则选拔赛的结果为( )
A. 甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B. 甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C. 甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D. 甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
8. 要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术堂课的课程表，要求数学排在上午前节，体育课排在下午后节，不同排法种数是( )
A. B. C. D.
9. 已知圆：，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则( )
A. B. C. D.
10. 若函数的最小值是，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 已，，，，则( )
A. B. C. D.
12. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点是椭圆上任意一点，且的取值范围为当点不在轴上时，设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 的展开式中的系数为______ 用数字作答
14. 已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是______ ．
15. 设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，则的大小为______ ．
16. 已知函数在处的切线斜率为，，若在上恒成立，则能取到的最大正整数为______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
分别求适合下列条件的方程：
长轴长为，焦距为的椭圆标准方程；
经过点的抛物线的标准方程．
18. 本小题分
已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线垂直．
求函数的解析式；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
19. 本小题分
党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力、人才是第一资源、创新是第一动力，深入实施科教兴国战略、人才强国战略、创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力现对年的研发人数作了相关统计年份代码分别对应年如折线图：
根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
试求出关于的线性回归方程，并预测年该公司的研发人数结果取整数．
参考数据：当认为两个变量间的相关性较强
参考公式：相关系数，
回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．
20. 本小题分
为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占．
根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
若感兴趣的女生中恰有名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
21. 本小题分
已知椭圆：与双曲线有相同的焦点，，为椭圆上一点，面积最大值为．
求椭圆的方程；
直线与椭圆相交于，两点，若轴，垂足为求证：直线的斜率；
为椭圆的右顶点，若过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，为坐标原点问：轴上是否存在定点，使得恒成立若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数是自然对数的底数．
讨论函数的单调性；
若有两个零点分别为，．
求实数的取值范围；
求证：
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
【解答】
解：复数的共轭复数为，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：根据全称命题的否定可得，命题“，”的否定为：
“，”
故选：．
根据全称命题的否定为特称命题判断即可．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，可得，
由不能够推出，故“”是“”的不充分条件，
由，可推出成立，故“””是”的必要条件，
综上“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
利用充要条件的定义即可判断．
本题主要考查了充要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，
即有导数小于，可排除，；
再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，
函数递减，再递增，后递减，
即有导数先小于，再大于，最后小于，
可排除；
则B正确．
故选：．
由的图象可得在轴的左侧，图象下降，递减，轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有轴左侧导数小于，右侧导数先小于，再大于，最后小于，对照选项即可判断．
本题考查导数的概念和应用，考查函数的单调性与其导数符号的关系，以及数形结合的思想方法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：设抛物线的准线为，作于，由抛物线的定义知，
所以，当，，三点共线时，有最小值，最小值为．
故选：．
根据抛物线的定义转化为到抛物线准线的距离求解即可．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
故选：．
求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的最小值，即可得解．
本题主要考查了利用导数研究函数的最值，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：记“甲得第一名”为，“乙得第二名”为，“丙得第三名”为，
是真命题，为真命题，说明丙为第三名，为假命题说明乙不为第二名，
若是真命题，是假命题，说明真假，说明甲为第一名．
故选：．
直接利用推理来进行判定结论．
本题考查的知识要点：复合命题的判定的应用，推理问题的应用．
8.【答案】
【解析】解：由题意，要求数学课排在上午前节，体育课排在下午后节，有种
再排其余节，有种，
根据乘法原理，共有种方法，
故选：．
先排数学、体育，再排其余节，利用乘法原理，即可得到结论．
本题考查排列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据直线与圆的位置关系求参，双曲线的渐近线，属中档题．
求出圆心和半径，及双曲线的渐近线，由相切关系列出方程，求出答案．
【解答】
解：：变形为，
故圆心为，半径为，
又的渐近线方程为，
不妨取，由点到直线距离公式可得，
解得，负值舍去．
故选：．

10.【答案】
【解析】解：当时，，，
，，单调递减，
，，单调递增，，
因为的最小值为，所以当时，，
当时，．
若，在上单调递减，
，，得；
若，在上单调递减，在上单调递增，，舍去．
综上，实数的取值范围是．
故选：．
先求时函数的最小值，再根据函数的最小值，得时，，求出的取值范围．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：已知，
此时，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减，
所以，
可得，
即，
又，
不妨设，函数定义域为，
可得，单调递减，
所以，
可得，
即，
综上，．
故选：．
由题意，利用作差法可得，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性，得到和的大小关系；同理得，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性，得到和的大小关系，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性以及函数值的大小比较，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
12.【答案】
【解析】解：，
，，
，解得：，，，
设，，，
由正弦定理可得：，
，
可得：，
又，
设内切圆的圆心为，
，
，，
又当在短轴的端点时，最大，此时，，
，
故当时，取得最大值为．
故选：．
由的取值范围为可求出，，，由正弦定理可得，再由焦点三角形的等面积法可得，所以，求出，即可得出答案．
本题主要考查脱衣的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由于的展开式的通项公式为，
故令，可得的系数为．
故答案为：．
由题意，根据二项式展开式的通项公式，求出的展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由方程表示椭圆，则，可得且，
故实数的取值范围是．
故答案为：．
根据方程表示椭圆有，即可得范围．
本题主要考查椭圆的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：双曲线的左、右焦点分别为，，
设，则，
由双曲线的定义可得：，可得，
，，又，
，的大小为．
故答案为：．
由已知双曲线方程求得焦点坐标，可得，，的值，再由余弦定理求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线定义及余弦定理的应用，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
因为在处切线斜率为，
所以，即，
解得，
所以，
若在上恒成立，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，，则，
，
因为，
所以，
令，，
，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在，使得，即，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，
对两边取对数可得，即，
由得，
所以，
令，，
，
所以在上单调递减，
又，，
所以，
所以，
所以的最大正整数为，
故答案为：．
求导得，由在处切线斜率为，得，解得，问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，，则只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：设椭圆的长轴长为，焦距为，
由条件可得，，
所以，，
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为．
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为．
综上所述，所求抛物线的标准方程为或．
【解析】根据长轴和焦距的定义求出、，进而求出，即可求解；
设抛物线方程为或，将点坐标代入，即可求解．
本题主要考查椭圆、抛物线标准方程的求解，属于基础题．
18.【答案】解：过点，且在点处的切线恰好与直线垂直，
，，
．
由题意得：，
解得或．
故的单调递增区间为和．
即或，
故或．
【解析】将的坐标代入的解析式，得到关于，的一个等式；求出导函数，求出即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为，列出关于，的另一个等式，解方程组，求出，的值，即可求函数的解析式；
求出，令，求出函数的单调递增区间，据题意知，，，列出端点的大小，求出的范围．
注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为．
19.【答案】解：由题知，
，
，
，
认为相关变量，有较强的相关性；
由得，
回归方程为，
当时，即年该公司投入研发人数约人．
【解析】将数据代入公式计算即可求解；
结合和题中的数据，代入公式计算即可求解．
本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．
20.【答案】解：列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
，
所以没有的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关；
由题意可知的取值可能为，，，，
则，
，
，
，
故的分布列为：
数学期望．
【解析】由题可得列联表，根据列联表可得进而即得；
由题可得的取值，然后利用古典概型概率公式求概率，进而可得分布列，再利用期望公式即得．
本题主要考查独立性检验，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为双曲线的焦点坐标为，，
所以椭圆的焦点坐标为，，
又椭圆中，面积最大值，
所以，
所以椭圆的方程为：．
证明：设，
由于直线过原点，则，，
所以直线的斜率．
设直线为且，
联立，整理得，
则，
所以，即且，
所以，，
若存在使恒成立，则，
由椭圆对称性，不妨令，在轴上方且，显然，
所以，即，
所以，
即，
综上所述，，
所以存在，使恒成立．
【解析】由双曲线焦点坐标可得椭圆的焦点坐标为，，又面积最大值，解得，又，解得，即可得出答案．
设，进而可得，，即可得出直线的斜率．
设直线为且，联立椭圆的方程，则由，解得的取值范围，由韦达定理可得，，若存在使恒成立，则，解得，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：已知函数，函数定义域为，
可得，
当时，恒成立，
所以函数在上单调递增；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上递减，在上递增；
已知，函数定义域为，
若有两个零点分别为，，
不妨设，函数定义域为，
此时函数有两个零点，
不妨设，函数定义域为，
可得恒成立，
所以函数在上单调递增，
此时有两个零点，
因为，
当时，，单调递增，不满足条件；
当时，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
若，此时，
解得，
可得恒成立，没有零点，不满足条件；
若，此时，
解得，
此时有且仅有一个零点，不满足条件；
若，此时此时，
解得，
又，，，
此时在，上各存在一个零点，满足条件，
综上，的取值范围为；
证明：要证，
即证，
由知，，
此时需证，
因为，，
所以，，
此时，
需证，
不妨设，
令，，
即证，
要证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
所以在定义域上单调递增，
此时，
所以当时， 成立，
则，
故
【解析】由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义即可得到函数的单调性；
得到函数的解析式，构造函数，将有两个零点分别为，，转化成函数有两个零点，设，求导，得到在上单调递增，可得有两个零点，对进行求导，别讨论当和这两种情况，结合导数的几何意义得到函数的单调性和最小值，对最小值的大小进行讨论，进而即可求解；
要证，即证，结合中信息，需证，易知，此时要证，设，利用换元法，令，，即证，构造函数，对进行求导，利用导数得到的单调性和最值，进而即可求解．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力．
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