湖南省张家界市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·张家界）的相反数是（ ）
A． B． C．2023 D．
2．（2023·张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·张家界）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·张家界）下列说法正确的是（ ）
A．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖
D．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定
5．（2023·张家界）如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·张家界）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（2023·张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·张家界）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
9．（2023·张家界）“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约864000人次．将数据864000用科学记数法表示为 ．
10．（2020八上·昌平月考）因式分解： = ．
11．（2023·张家界）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
12．（2023·张家界）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88．则这8名选手决赛成绩的中位数是 ．
13．（2023·张家界）如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ．
14．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
三、解答题
15．（2023·张家界）计算：．
16．（2023·张家界）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
17．（2023·张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
18．（2023·张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若时，求证：四边形是菱形．
19．（2023·张家界）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 人，扇形统计图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
（4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
20．（2023·张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）
21．（2023·张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时， ， ；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
22．（2023·西安模拟）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若直径，求的长.
23．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是，
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义结合题意即可求解。
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得其主视图是，
故答案为：D
【分析】根据简单组合体的三视图即可求解。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项对选项逐一判断即可求解。
4．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；概率的意义；方差
【解析】【解答】解：
A、扇形统计图不可以能够清楚地反映事物的变化趋势，A不符合题意；
B、对某型号电子产品的使用寿命采用抽样调查的方式，B不符合题意；
C、有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏不一定会有一次中奖，C不符合题意；
D、甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定，D符合题意； 故答案为：D
【分析】根据扇形统计图的特点、全面调查及抽样调查、概率的意义和方差的依次对选项进行判断即可求解。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴∠FEB=140°，
∴∠FEG=70°，
∵，
∴∠1=∠EFG=40°，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质结合题意即可得到∠FEG=70°，进而根据平行线的性质得到∠1=∠EFG=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。
6．【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设元购买椽的数量为x株，由题意得，
故答案为：C
【分析】设元购买椽的数量为x株，根据“如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”即可列出分式方程，进而即可求解。
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长等于，
故答案为：B
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到AB=BC=AC=3，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，再根据弧长的计算公式即可得到，进而即可求解。
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，
∴OA=CB，AB=OC，
设点B的坐标为（m，n），
∵反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，
∴延长MO，且经过点B，如图所示：
∴M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
∴，
解得mn=16，
∴k=4，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质即可得到OA=CB，AB=OC，设点B的坐标为（m，n），进而根据题意延长MO，且经过点B，进而得到M，再结合题意得到点D的坐标，进而得到BD的长，从而根据三角形的面积得到，进而得到，再根据求出mn即可求解。
9．【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得将数据864000用科学记数法表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，在利用完全平方公式进行因式分解．
11．【答案】m＞-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得m＞-1，
故答案为：m＞-1
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
12．【答案】92.5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列得88，89，90，92，93，94，95，96，
∴这8名选手决赛成绩的中位数是，
故答案为：92.5
【分析】根据中位数的定义结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵为的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=25°，
由旋转得∠CAO=∠C'AO'=25°，
∵，
∴四边形旋转的角度是100°-25°=75°，
故答案为：75°
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠BAO=∠CAO=25°，进而根据旋转的性质得到∠CAO=∠C'AO'=25°，再根据题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，
∴每次顺时针旋转90°，
∴
∴An绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、......、n，每次半径增加1，
∴2023÷5=505...3，
∴点的坐标是，
故答案为：
【分析】先根据正方形的性质结合旋转的性质即可得到每次顺时针旋转90°，进而即可得到规律：An绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、......、n，每次半径增加1，再结合题意即可求解。
15．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
16．【答案】解：原式
，
∵，
当时
原式．
【知识点】分式有意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，再运用分式有意义的条件结合题意代入即求解。
17．【答案】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）解：∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据表格数据即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）根据题意即可得到租45座客车14辆，则租60座客车10辆，进而计算租金，比较大小即可求解。
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
即
在和中，
，
∴
∴，
∴
（2）证明：方法一：在和中，
，
∴
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形；
方法二：∵，
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再根据平行线的判定即可求解；
（2）方法一：先证明即可得到，又，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，再根据菱形的判定即可求解；
方法二：先根据三角形全等的性质即可得到，进而得到，再根据平行四边形的判定和菱形的判定即可求解。
19．【答案】（1）50；30
（2）解：C组人数为：50-10-15-5=20人，
补全统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有300人；
（4）解：方法一：列表法：
女1 女2 女3 男1 男2
女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男1） （女1，男2）
女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男1） （女2，男2）
女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男1） （女3，男2）
男1 （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） （男1，男2）
男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） （男2，男1）
共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，
故.
方法二：树状图法：如图，
共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，
故．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为人，
扇形统计图中m的值为，
故答案为：50；30；
【分析】（1）根据题意计算出总人数，进而根据B所占的百分比即可得到m；
（2）根据总人数减去其他组的人数即可得到C组人数，进而补全条形统计图即可求解；
（3）直接根据样本估计总体的知识进行计算即可求解；
（4）先列表或者画出树状图，进而得到共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，再运用等可能事件的概率进行计算即可求解。
20．【答案】解：延长，交的延长线于点C，
则
由题意得，，，
在中，，
则
∴，
在中，，
解得，
∴奇楼的高度约为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长，交的延长线于点C，则，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可得到，从而得到PC，进而得到，再运用即可求解。
21．【答案】（1）；
（2）解：猜想结论：
证明：
；
（3）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
，
∵，，
∴，，
故答案为：，，
【分析】（1）根据题意运用平方差公式即可得到，，进而代入数值即可求解；
（2）猜想结论：，进而根据题目例子，运用平方差公式即可求解；
（3）先根据题意得到，进而代入求值即可求解。
22．【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵在中，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
又∵，
即，
解得（取正值），
∴，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得∠ACD=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADC=∠OCD，由已知条件可得∠DCF=∠CAD，结合∠ADC+∠CAD=90°可得∠DCF+∠OCD=90°，推出OC⊥FC，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠B=∠ADC，则cosB=cos∠ADC，根据三角函数的概念可得AC的值，证明△FCD∽△FAC，设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，然后根据相似三角形的性质求解即可.
23．【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）解： 由已知点 ， ， ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 的表达式
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；正方形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的表达式为，进而代入即可求解；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，进而根据题意得到OB=OC=6，进而根据正方形的性质得到点E的坐标，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，进而跟进勾股定理求出AE，再根据的周长为结合题意即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式，同理可得：直线 的表达式为 ，再根据一次函数平行即可设直线 表达式为 ，由（1）设 ，代入直线 的表达式即可得到，进而联立解析式即可得到 ，再根据结合二次函数的最值即可求解。
1 / 1湖南省张家界市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·张家界）的相反数是（ ）
A． B． C．2023 D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：由题意得的相反数是，
故答案为：B
【分析】根据相反数的定义结合题意即可求解。
2．（2023·张家界）如图是由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得其主视图是，
故答案为：D
【分析】根据简单组合体的三视图即可求解。
3．（2023·张家界）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项对选项逐一判断即可求解。
4．（2023·张家界）下列说法正确的是（ ）
A．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势
B．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式
C．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖
D．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；概率的意义；方差
【解析】【解答】解：
A、扇形统计图不可以能够清楚地反映事物的变化趋势，A不符合题意；
B、对某型号电子产品的使用寿命采用抽样调查的方式，B不符合题意；
C、有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏不一定会有一次中奖，C不符合题意；
D、甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定，D符合题意； 故答案为：D
【分析】根据扇形统计图的特点、全面调查及抽样调查、概率的意义和方差的依次对选项进行判断即可求解。
5．（2023·张家界）如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，平分，
∴∠FEB=140°，
∴∠FEG=70°，
∵，
∴∠1=∠EFG=40°，
∴，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质结合题意即可得到∠FEG=70°，进而根据平行线的性质得到∠1=∠EFG=40°，再根据三角形内角和定理即可求解。
6．（2023·张家界）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设元购买椽的数量为x株，由题意得，
故答案为：C
【分析】设元购买椽的数量为x株，根据“如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”即可列出分式方程，进而即可求解。
7．（2023·张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，
∴，
∴该“莱洛三角形”的周长等于，
故答案为：B
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到AB=BC=AC=3，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，再根据弧长的计算公式即可得到，进而即可求解。
8．（2023·张家界）如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且，反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接．若的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形OABC为矩形，
∴OA=CB，AB=OC，
设点B的坐标为（m，n），
∵反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，
∴延长MO，且经过点B，如图所示：
∴M，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点D，
∴，
∴，
解得mn=16，
∴k=4，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质即可得到OA=CB，AB=OC，设点B的坐标为（m，n），进而根据题意延长MO，且经过点B，进而得到M，再结合题意得到点D的坐标，进而得到BD的长，从而根据三角形的面积得到，进而得到，再根据求出mn即可求解。
二、填空题
9．（2023·张家界）“仙境张家界，峰迷全世界”，据统计，2023年“五一”节假日期间，张家界市各大景区共接待游客约864000人次．将数据864000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得将数据864000用科学记数法表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
10．（2020八上·昌平月考）因式分解： = ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式，在利用完全平方公式进行因式分解．
11．（2023·张家界）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】m＞-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
解得m＞-1，
故答案为：m＞-1
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
12．（2023·张家界）2023年4月24日是我国第八个“中国航天日”，某校开展了一次航天知识竞赛，共选拔8名选手参加总决赛，他们的决赛成绩分别是95，92，93，89，94，90，96，88．则这8名选手决赛成绩的中位数是 ．
【答案】92.5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列得88，89，90，92，93，94，95，96，
∴这8名选手决赛成绩的中位数是，
故答案为：92.5
【分析】根据中位数的定义结合题意即可求解。
13．（2023·张家界）如图，为的平分线，且，将四边形绕点逆时针方向旋转后，得到四边形，且，则四边形旋转的角度是 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵为的平分线，
∴∠BAO=∠CAO=25°，
由旋转得∠CAO=∠C'AO'=25°，
∵，
∴四边形旋转的角度是100°-25°=75°，
故答案为：75°
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠BAO=∠CAO=25°，进而根据旋转的性质得到∠CAO=∠C'AO'=25°，再根据题意即可求解。
14．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，
∴每次顺时针旋转90°，
∴
∴An绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、......、n，每次半径增加1，
∴2023÷5=505...3，
∴点的坐标是，
故答案为：
【分析】先根据正方形的性质结合旋转的性质即可得到每次顺时针旋转90°，进而即可得到规律：An绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、......、n，每次半径增加1，再结合题意即可求解。
三、解答题
15．（2023·张家界）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
16．（2023·张家界）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】解：原式
，
∵，
当时
原式．
【知识点】分式有意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，再运用分式有意义的条件结合题意代入即求解。
17．（2023·张家界）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）解：∵要使每位师生都有座位，
∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据表格数据即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）根据题意即可得到租45座客车14辆，则租60座客车10辆，进而计算租金，比较大小即可求解。
18．（2023·张家界）如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且，，．
（1）求证：；
（2）若时，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即
在和中，
，
∴
∴，
∴
（2）证明：方法一：在和中，
，
∴
∴，又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形；
方法二：∵，
∴
∴，
又，
∴四边形是平行四边形
∵，
∴是菱形．
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再根据平行线的判定即可求解；
（2）方法一：先证明即可得到，又，进而根据平行四边形的判定与性质即可得到，再根据菱形的判定即可求解；
方法二：先根据三角形全等的性质即可得到，进而得到，再根据平行四边形的判定和菱形的判定即可求解。
19．（2023·张家界）2022年4月21日新版《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》正式颁布，优化了课程设置，其中将劳动教育从综合实践活动课程中独立出来．某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（A：；B：；C：；D：，单位：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为 人，扇形统计图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有多少人？
（4）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）50；30
（2）解：C组人数为：50-10-15-5=20人，
补全统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在80分钟（含80分钟）以上的学生有300人；
（4）解：方法一：列表法：
女1 女2 女3 男1 男2
女1 （女1，女2） （女1，女3） （女1，男1） （女1，男2）
女2 （女2，女1） （女2，女3） （女2，男1） （女2，男2）
女3 （女3，女1） （女3，女2） （女3，男1） （女3，男2）
男1 （男1，女1） （男1，女2） （男1，女3） （男1，男2）
男2 （男2，女1） （男2，女2） （男2，女3） （男2，男1）
共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，
故.
方法二：树状图法：如图，
共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，
故．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）本次抽取的学生人数为人，
扇形统计图中m的值为，
故答案为：50；30；
【分析】（1）根据题意计算出总人数，进而根据B所占的百分比即可得到m；
（2）根据总人数减去其他组的人数即可得到C组人数，进而补全条形统计图即可求解；
（3）直接根据样本估计总体的知识进行计算即可求解；
（4）先列表或者画出树状图，进而得到共有20种等可能结果，其中满足条件的有12种，再运用等可能事件的概率进行计算即可求解。
20．（2023·张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）
【答案】解：延长，交的延长线于点C，
则
由题意得，，，
在中，，
则
∴，
在中，，
解得，
∴奇楼的高度约为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长，交的延长线于点C，则，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可得到，从而得到PC，进而得到，再运用即可求解。
21．（2023·张家界）阅读下面材料：
将边长分别为a，，，的正方形面积分别记为，，，．
则
例如：当，时，
根据以上材料解答下列问题：
（1）当，时， ， ；
（2）当，时，把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想；
（3）当，时，令，，，…，，且，求T的值．
【答案】（1）；
（2）解：猜想结论：
证明：
；
（3）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
，
∵，，
∴，，
故答案为：，，
【分析】（1）根据题意运用平方差公式即可得到，，进而代入数值即可求解；
（2）猜想结论：，进而根据题目例子，运用平方差公式即可求解；
（3）先根据题意得到，进而代入求值即可求解。
22．（2023·西安模拟）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且.
（1）求证：是的切线；
（2）若直径，求的长.
【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵在中，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
又∵，
即，
解得（取正值），
∴，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OC，由圆周角定理可得∠ACD=90°，根据等腰三角形的性质可得∠ADC=∠OCD，由已知条件可得∠DCF=∠CAD，结合∠ADC+∠CAD=90°可得∠DCF+∠OCD=90°，推出OC⊥FC，据此证明；
（2）由圆周角定理可得∠B=∠ADC，则cosB=cos∠ADC，根据三角函数的概念可得AC的值，证明△FCD∽△FAC，设FD=3x，则FC=4x，AF=3x+10，然后根据相似三角形的性质求解即可.
23．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，求周长的最小值；
（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，
将代入上式得：，
所以抛物线的表达式为；
（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，
∵，，，
∴，
∵O、E关于直线对称，
∴四边形为正方形，
∴，
连接，交于点D，由对称性，
此时有最小值为的长，
∵的周长为，
，的最小值为10，
∴的周长的最小值为；
（3）解： 由已知点 ， ， ，
设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，
∴设直线 表达式为 ，
由（1）设 ，代入直线 的表达式
得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵P，D都在第一象限，
∴
，
∴当 时，此时P点为 .
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；正方形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的表达式为，进而代入即可求解；
（2）作点O关于直线的对称点E，连接，进而根据题意得到OB=OC=6，进而根据正方形的性质得到点E的坐标，连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长，进而跟进勾股定理求出AE，再根据的周长为结合题意即可求解；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的函数表达式，同理可得：直线 的表达式为 ，再根据一次函数平行即可设直线 表达式为 ，由（1）设 ，代入直线 的表达式即可得到，进而联立解析式即可得到 ，再根据结合二次函数的最值即可求解。
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