山东省威海市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·威海）面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根 B．9的算术平方根
C．9的立方根 D．5的算术平方根
【答案】B
【知识点】算术平方根；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9，
∴其边长等于3，
∴3为9的算术平方根，
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质结合算术平方根的定义即可求解。
2．（2023·威海）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．（2023·威海）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法进行运算即可求解。
4．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
5．（2023·威海）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解①得x＞-4，
解②得x≥1，
∴不等式①②的解集在同一条数轴上表示为，
故答案为：B
【分析】分别解不等式①和②，再将其表示在数轴上即可求解。
6．（2023·威海）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同，
∴画出树状图如下：
∴共有20种等可能的结果，其中两人都摸到红球的有2种，
∴两人都摸到红球的概率是，
故答案为：A
【分析】先根据题意画出树状图，进而根据等可能事件的概率进行计算即可求解。
7．（2023·威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠后的图行如图：
∴与顶点K距离最远的顶点是D点，
故答案为：D
【分析】先根据折叠画出正方体，进而即可求解。
8．（2023·威海）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，由题意得，
解得a=，
∴顶角为的等腰三角形底边长为727.2千米，
故答案为：D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，进而根据相似三角形的判定与性质即可列出方程，从而即可求出a，进而即可求解。
9．（2023·威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由折叠得AD=DH，GC=CB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=1，
∴DH=GC=1，
设DC=a，则GH=2-a，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵四边形为矩形，
∴EH=1，
∴解得a=，
∴的长为，
故答案为：C
【分析】先根据折叠即可得到AD=DH，GC=CB，再根据矩形的性质即可得到CB=DA=1，EH=1，进而得到DH=GC=1，设DC=a，则GH=2-a，根据相似多边形的性质结合题意即可求出a，进而即可求解。
10．（2023·威海）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
A、由题意得，A不符合题意；
B、当CA⊥CB时，，
当CB为底时，高h小于AC=4，故，B不符合题意；
C、设△ABC的内切圆的半径为r，由题意得，
∴，
∵，
∴，C符合题意；
D、当时，，
∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可判断A；根据三角形的面积分类讨论即可判断B；设△ABC的内切圆的半径为r，根据三角形内切圆的性质结合题意即可得到，进而即可判断C；根据勾股定理的逆定理结合题意即可判断D。
二、填空题
11．（2023·威海）计算： ．
【答案】
【知识点】立方根及开立方；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：8
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、立方根进行运算，进而即可求解。
12．（2023·威海）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，QP∥DB，
∴∠BOP=90°，
∴∠POA=60°，
∵CA∥QP，
∴∠OAC=60°，
故答案为：60
【分析】先根据题意结合平行线的性质即可得到∠BOP=90°，进而得到∠POA=60°，再根据平行线的性质即可求解。
13．（2023·威海）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，该物品价值y元，由题意得，
故答案为：
【分析】设有x人，该物品价值y元，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
14．（2023·威海）如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则 ．
【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接EB，EA，如图所示：
由题意得AE=EB=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠EAB=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，DA=AB=AE，
∴∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=15°，
故答案为：15
【分析】连接EB，EA，先根据等边三角形的判定与性质即可得到∠EAB=60°，进而根据正方形的性质即可得到∠DAB=∠ADC=90°，DA=AB=AE，进而得到∠DAE=30°，再根据等腰三角形的性质即可得到∠ADE=∠AED=75°，进而结合题意即可求解。
15．（2023·威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当时，当x=0.5时，y=30，
当时，设与之间的函数表达式为y=kx+b，
将点（0.5，30），（2，150）代入得，
解得，
∴，
故答案为：
【分析】运用待定系数法求一次函数结合题意即可求解。
16．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，如图所示：
∴∠ODC=∠C=90°，
∵点的坐标为，
∴OD=2，DA=m，
∵，
∴∠OAD=∠ABC，
∴△ABC≌△OAD，
∴CA=DO=2，BC=DA=m，
∴B（m+2，2-m），
∵点在反比例函数的图象上，
∴2m=（2-m）（2+m），
解得，
∴k=，
故答案为：
【分析】过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，进而得到∠ODC=∠C=90°，根据点A的坐标即可得到OD=2，DA=m，再根据题意得到∠OAD=∠ABC，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到CA=DO=2，BC=DA=m，进而得到B（m+2，2-m），再根据反比例函数的性质即可得到2m=（2-m）（2+m），进而解出m即可求解。
三、解答题
17．（2023·威海）先化简，再从的范围内选择一个合适的数代入求值．
【答案】解：
，
∵且，
∴当时，原式．
【知识点】分式有意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，再结合分式有意义的调节结合题意代入数值即可求解。
18．（2023·威海）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
【答案】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，
根据题意得
，
解得：，
经检验，是原方程的根.
故大型客车的速度为.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设慢车的速度为，则快车的速度为，根据“纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
19．（2023·威海）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离．
参考数据：，，，，，．
【答案】解：如图，过点D作于F，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：(米)，
∴(米)，
∴(米)，
∵
∴矩形，
∴米，米．
答：遮阳蓬的宽为7.5米，到地面的距离为4.2米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点D作于F，根据解直角三角形的知识即可得到，，进而得到AF的长，进而得到(米)，(米)，再根据矩形的判定与性质即可得到米，米。
20．（2023·威海）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．
表1
分数/分 人数/人
2 4
5 6
6 8
7 8
8 12
9 2
设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表2
平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率
第一次 6.4 a 7 35%
第二次 b 8 9 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
（3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
【答案】（1）第二次测试得8分的人数为：（人），
第二次测试得7分的人数为：（人），
补全图2中的统计图如图：
故答案为：，，
（2）解：（人），
答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；
（3）解：第二次测试的平均数、中位数以及合格率较第一次均有大幅提升，
故本次专项安全教育活动的效果非常显著．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）先根据题意求出第二次测试得8分的人数，进而运用总人数减去其他人数即可得到第二次测试得7分的人数，从而即可补全条形统计图，再根据众数、平均数的定义结合题意即可求解；
（2）直接运用样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）从平均数、中位数以及合格率进行考虑即可求解。
21．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．
（1）求点的坐标；
（2）求的值．
【答案】（1）解：如图，连接，，过点P作，垂足为D，则
∵点，
∴，
∵与轴相切于点
∴，
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
中，
∴点的坐标
（2）解：如图，，
∴
而
∴
中，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接，，过点P作，垂足为D，则，先根据点A和点B的坐标即可得到， ，再根据切线的性质得到，，进而根据矩形的判定与性质证明四边形是矩形即可得到，从而得到，运用勾股定理即可求出PD，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而得到，再运用锐角三角形函数的定义结合题意即可求解。
22．（2023·威海）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：
【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知：，，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，根据题意设抛物线的解析式为，再将点A代入即可得到抛物线的解析式，进而令即可求出x，从而得到，再根据即可求解；
23．（2023·威海）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．
（1）如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
过点A作于F，于G，如图1，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴四边形是菱形．
（2）证明：连接，过点A作于H，作于G，如图2，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：过点A作于F，于G，先根据角平分线的性质即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而即可得到，再根据角平分线的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到，根据菱形的判定即可求解；
（2）连接，过点A作于H，作于G，先根据角平分线的性质即可得到，进而证明即可得到，从而结合题意即可得到，，再证明即可得到，从而得到，进而得到，再证明即可得到，最后根据平行线等分线段定理即可求解。
24．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点坐标为．抛物线交轴于点，顶点坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．比较大小： ；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可得：，，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴点P离对称轴更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
（2）解：由题意得：设抛物线 ： ，抛物线 ： ，
由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入抛物线 得： ，
把 代入抛物线 得： ，
∵ ，
∴ ；
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设抛物线 ： ，抛物线 ： ，由（1）得： ， ，进而得到 ，再把 代入抛物线 ， 代入抛物线 结合题意进行比较即可求解；
（3）先根据题意结合二次函数的性质即可得到点P离对称轴更近，进而得到，从而得到；再分类讨论列出不等式组，进而即可求解。
1 / 1山东省威海市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·威海）面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根 B．9的算术平方根
C．9的立方根 D．5的算术平方根
2．（2023·威海）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·威海）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．用计算器求的长，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·威海）解不等式组时，不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·威海）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·威海）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
8．（2023·威海）常言道：失之毫厘，谬以千里．当人们向太空发射火箭或者描述星际位置时，需要非常准确的数据．的角真的很小．把整个圆等分成360份，每份这样的弧所对的圆心角的度数是．．若一个等腰三角形的腰长为1千米，底边长为4.848毫米，则其顶角的度数就是．太阳到地球的平均距离大约为千米．若以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为（ ）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
9．（2023·威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·威海）在中，，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形
二、填空题
11．（2023·威海）计算： ．
12．（2023·威海）某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则 ．
13．（2023·威海）《九章算术》中有一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”题目大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？该物品价值多少元？设有x人，该物品价值y元，根据题意列方程组： ．
14．（2023·威海）如图，在正方形中，分别以点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，则 ．
15．（2023·威海）一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示．当时，与之间的函数表达式为；当时，与之间的函数表达式为 ．
16．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接．若，则的值为 ．
三、解答题
17．（2023·威海）先化简，再从的范围内选择一个合适的数代入求值．
18．（2023·威海）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的倍，求大型客车的速度．
19．（2023·威海）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离．
参考数据：，，，，，．
20．（2023·威海）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．
表1
分数/分 人数/人
2 4
5 6
6 8
7 8
8 12
9 2
设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2．
表2
平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率
第一次 6.4 a 7 35%
第二次 b 8 9 c
请根据图表中的信息，解答下列问题：
（1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值；
（2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数；
（3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果．
21．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点，．连接，．
（1）求点的坐标；
（2）求的值．
22．（2023·威海）城建部门计划修建一条喷泉步行通道．图1是项目俯视示意图．步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置，另一侧是方形水池．图2是主视示意图．喷水装置的高度是2米，水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内，当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B，此时距路面的最大高度为3.6米．为避免溅起的水雾影响通道上的行人，计划安装一个透明的倾斜防水罩，防水罩的一端固定在喷水装置上的点处，另一端与路面的垂直高度为1.8米，且与喷泉水流的水平距离为0.3米．点到水池外壁的水平距离米，求步行通道的宽．（结果精确到0.1米）参考数据：
23．（2023·威海）已知：射线平分为上一点，交射线于点，交射线于点，连接．
（1）如图1，若，试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点作，交于点；过点作，交于点．求证：．
24．（2023·威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，顶点坐标为．抛物线交轴于点，顶点坐标为．
（1）连接，求线段的长；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．比较大小： ；
（3）若点在抛物线上，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为9，
∴其边长等于3，
∴3为9的算术平方根，
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质结合算术平方根的定义即可求解。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法进行运算即可求解。
4．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由题意得，
∴AB=7÷sin28°，
∴按键顺序为，
故答案为：B
【分析】根据锐角三角形函数的定义结合计算器即可求解。
5．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解①得x＞-4，
解②得x≥1，
∴不等式①②的解集在同一条数轴上表示为，
故答案为：B
【分析】分别解不等式①和②，再将其表示在数轴上即可求解。
6．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同，
∴画出树状图如下：
∴共有20种等可能的结果，其中两人都摸到红球的有2种，
∴两人都摸到红球的概率是，
故答案为：A
【分析】先根据题意画出树状图，进而根据等可能事件的概率进行计算即可求解。
7．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：折叠后的图行如图：
∴与顶点K距离最远的顶点是D点，
故答案为：D
【分析】先根据折叠画出正方体，进而即可求解。
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，由题意得，
解得a=，
∴顶角为的等腰三角形底边长为727.2千米，
故答案为：D
【分析】设以太阳到地球的平均距离为腰长，则顶角为的等腰三角形底边长为amm，进而根据相似三角形的判定与性质即可列出方程，从而即可求出a，进而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：由折叠得AD=DH，GC=CB，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CB=DA=1，
∴DH=GC=1，
设DC=a，则GH=2-a，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∵四边形为矩形，
∴EH=1，
∴解得a=，
∴的长为，
故答案为：C
【分析】先根据折叠即可得到AD=DH，GC=CB，再根据矩形的性质即可得到CB=DA=1，EH=1，进而得到DH=GC=1，设DC=a，则GH=2-a，根据相似多边形的性质结合题意即可求出a，进而即可求解。
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；勾股定理的逆定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：
A、由题意得，A不符合题意；
B、当CA⊥CB时，，
当CB为底时，高h小于AC=4，故，B不符合题意；
C、设△ABC的内切圆的半径为r，由题意得，
∴，
∵，
∴，C符合题意；
D、当时，，
∴是直角三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系即可判断A；根据三角形的面积分类讨论即可判断B；设△ABC的内切圆的半径为r，根据三角形内切圆的性质结合题意即可得到，进而即可判断C；根据勾股定理的逆定理结合题意即可判断D。
11．【答案】
【知识点】立方根及开立方；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：8
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、立方根进行运算，进而即可求解。
12．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，QP∥DB，
∴∠BOP=90°，
∴∠POA=60°，
∵CA∥QP，
∴∠OAC=60°，
故答案为：60
【分析】先根据题意结合平行线的性质即可得到∠BOP=90°，进而得到∠POA=60°，再根据平行线的性质即可求解。
13．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x人，该物品价值y元，由题意得，
故答案为：
【分析】设有x人，该物品价值y元，根据“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”即可列出二元一次方程组，进而即可求解。
14．【答案】15
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接EB，EA，如图所示：
由题意得AE=EB=AB，
∴△ABE为等边三角形，
∴∠EAB=60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB=∠ADC=90°，DA=AB=AE，
∴∠DAE=30°，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=15°，
故答案为：15
【分析】连接EB，EA，先根据等边三角形的判定与性质即可得到∠EAB=60°，进而根据正方形的性质即可得到∠DAB=∠ADC=90°，DA=AB=AE，进而得到∠DAE=30°，再根据等腰三角形的性质即可得到∠ADE=∠AED=75°，进而结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用
【解析】【解答】解：当时，当x=0.5时，y=30，
当时，设与之间的函数表达式为y=kx+b，
将点（0.5，30），（2，150）代入得，
解得，
∴，
故答案为：
【分析】运用待定系数法求一次函数结合题意即可求解。
16．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，如图所示：
∴∠ODC=∠C=90°，
∵点的坐标为，
∴OD=2，DA=m，
∵，
∴∠OAD=∠ABC，
∴△ABC≌△OAD，
∴CA=DO=2，BC=DA=m，
∴B（m+2，2-m），
∵点在反比例函数的图象上，
∴2m=（2-m）（2+m），
解得，
∴k=，
故答案为：
【分析】过点A作CD⊥y轴于点D，过点B作CB⊥AD交AD的延长线与点C，进而得到∠ODC=∠C=90°，根据点A的坐标即可得到OD=2，DA=m，再根据题意得到∠OAD=∠ABC，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到CA=DO=2，BC=DA=m，进而得到B（m+2，2-m），再根据反比例函数的性质即可得到2m=（2-m）（2+m），进而解出m即可求解。
17．【答案】解：
，
∵且，
∴当时，原式．
【知识点】分式有意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先运用分式的混合运算进行化简，再结合分式有意义的调节结合题意代入数值即可求解。
18．【答案】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，
根据题意得
，
解得：，
经检验，是原方程的根.
故大型客车的速度为.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设慢车的速度为，则快车的速度为，根据“纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达”即可列出分式方程，进而即可求解。
19．【答案】解：如图，过点D作于F，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：(米)，
∴(米)，
∴(米)，
∵
∴矩形，
∴米，米．
答：遮阳蓬的宽为7.5米，到地面的距离为4.2米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点D作于F，根据解直角三角形的知识即可得到，，进而得到AF的长，进而得到(米)，(米)，再根据矩形的判定与性质即可得到米，米。
20．【答案】（1）第二次测试得8分的人数为：（人），
第二次测试得7分的人数为：（人），
补全图2中的统计图如图：
故答案为：，，
（2）解：（人），
答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人；
（3）解：第二次测试的平均数、中位数以及合格率较第一次均有大幅提升，
故本次专项安全教育活动的效果非常显著．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】（1）先根据题意求出第二次测试得8分的人数，进而运用总人数减去其他人数即可得到第二次测试得7分的人数，从而即可补全条形统计图，再根据众数、平均数的定义结合题意即可求解；
（2）直接运用样本估计总体的知识结合题意即可求解；
（3）从平均数、中位数以及合格率进行考虑即可求解。
21．【答案】（1）解：如图，连接，，过点P作，垂足为D，则
∵点，
∴，
∵与轴相切于点
∴，
∵
∴四边形是矩形
∴
∴
中，
∴点的坐标
（2）解：如图，，
∴
而
∴
中，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接，，过点P作，垂足为D，则，先根据点A和点B的坐标即可得到， ，再根据切线的性质得到，，进而根据矩形的判定与性质证明四边形是矩形即可得到，从而得到，运用勾股定理即可求出PD，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而得到，再运用锐角三角形函数的定义结合题意即可求解。
22．【答案】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意知：，，
∵抛物线的最高点B，
∴设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴，
∴ (米)，
答：步行通道的宽的长约为3.2米．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，根据题意设抛物线的解析式为，再将点A代入即可得到抛物线的解析式，进而令即可求出x，从而得到，再根据即可求解；
23．【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
过点A作于F，于G，如图1，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴四边形是菱形．
（2）证明：连接，过点A作于H，作于G，如图2，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：过点A作于F，于G，先根据角平分线的性质即可得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而即可得到，再根据角平分线的性质结合平行线的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到，根据菱形的判定即可求解；
（2）连接，过点A作于H，作于G，先根据角平分线的性质即可得到，进而证明即可得到，从而结合题意即可得到，，再证明即可得到，从而得到，进而得到，再证明即可得到，最后根据平行线等分线段定理即可求解。
24．【答案】（1）解：由题意可得：，，
∴；
（2）
（3）解：∵，
∴点P离对称轴更近，
∴，
∴，
∴；
∴或
∴或．
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】
（2）解：由题意得：设抛物线 ： ，抛物线 ： ，
由（1）得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入抛物线 得： ，
把 代入抛物线 得： ，
∵ ，
∴ ；
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设抛物线 ： ，抛物线 ： ，由（1）得： ， ，进而得到 ，再把 代入抛物线 ， 代入抛物线 结合题意进行比较即可求解；
（3）先根据题意结合二次函数的性质即可得到点P离对称轴更近，进而得到，从而得到；再分类讨论列出不等式组，进而即可求解。
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