甘肃省兰州市2023年中考数学试卷
1．（2023·兰州）－5的相反数是（ ）
A． B． C．5 D．-5
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-5的相反数是5
故答案为：C
【分析】根据相反数的定义解答即可.
2．（2023·兰州）如图，直线与相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由量角器得∠AOC=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
故答案为：B
【分析】根据量角器读出∠AOC的度数，进而根据对顶角即可求解。
3．（2023·兰州）计算：（ ）
A． B． C．5 D．a
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：D
【分析】根据题意对分式进行化简即可求解。
4．（2023·兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵其轮廓是一个正八边形，
∴，
故答案为：A
【分析】根据多边形的外角结合题意即可求解。
5．（2023·兰州）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
经检验，x=1为原方程的解，
故答案为：A
【分析】根据题意解分式方程即可。
6．（2023·兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据弧长的计算公式即可求解。
7．（2023·兰州）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
A、对称轴为，A不符合题意；
B、顶点坐标为，B不符合题意；
CD、函数的最大值是－3，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象和性质结合题意即可求解。
8．（2023·兰州）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2-4c=0，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到b2-4c=0，进而代入即可求解。
9．（2023·兰州）2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：
A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，原说法合理，A不符合题意；
B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，原说法合理，B不符合题意；
C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，原说法合理，C不符合题意；
D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法不合理，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据折线统计图即可对选项逐一判断。
10．（2023·兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，OM=ON，
∴∠ONM=∠OMN=35°，
∴∠AOB=70°，
∵，
∴∠AOC=35°，
故答案为：A
【分析】先根据题意结合等腰三角形的性质即可得到∠ONM=∠OMN=35°，进而根据圆周角定理即可得到∠AOB=70°，进而结合，即可求解。
11．（2023·兰州）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴函数经过第二、三、四象限，
∵b=-1，
∴当时，y的值可以是-2，
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的性质即可得到函数经过第二、三、四象限，进而根据一次函数b的值，结合题意即可得到当时，y的值小于-1，进而即可求解。
12．（2023·兰州）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CAB=∠CBA=90°，
∵，F为的中点，
∴FB=BG=5，
由勾股定理得，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质得到∠CAB=∠CBA=90°，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到FB=BG=5，再结合勾股定理即可求出AG。
13．（2023·兰州）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求解。
14．（2023·兰州）如图，在中，，于点E，若，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠DBC=∠C=70°，
∴∠EDC=40°，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴AB∥CD，∠AEB=90°，
∴∠ABD=∠BDC=40°，
∴∠BAE=90°-40°=50°，
故答案为：50
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得到∠EDC=40°，进而根据平行四边形的性质结合垂直得到AB∥CD，∠AEB=90°，再根据平行线的性质即可得到∠ABD=∠BDC=40°，最后根据三角形内角和定理即可求解。
15．（2023·兰州）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据正方形的性质即可得到，进而即可求解。
16．（2023·兰州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
【答案】①③
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：①观察上面的实验可以发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，①正确；
②由于实验具有随机性，故第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，②错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，③正确．
故答案为：①③
【分析】根据表格的数据结合频率估计概率即可求解。
17．（2023·兰州）计算：．
【答案】解：原式＝＝．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】运用二次根式的混合运算即可求解。
18．（2023·兰州）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式结合单项式乘多项式即可求解。
19．（2023·兰州）解不等式组：．
【答案】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
20．（2023·兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先将点A代入即可得到反比例函数的解析式，进而将点A代入一次函数即可求出m，进而即可求解；
（2）先根据题意得到点D的坐标，进而得到直线的表达式为，再结合一次函数和反比例函数的交点问题即可求出点B和点C，进而即可求出BC。
21．（2023·兰州）综合与实践
（1）问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据： ；
（2）类比迁移：
小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
（3）拓展实践：
小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）解：如图，点即为所求作的点；
．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵DE=DE，CE=DE，CO=DO，
∴△EDO≌△ECO（SSS），
∴∠EOB=∠EOA，
∴就是的平分线，
故答案为：SSS
【分析】（1）根据三角形全等的判定（SSS）结合三角形全等的性质即可求解；
（2）先证明，进而即可得到，再根据角平分线的判定即可求解；
（3）根据题意画出∠CAB的角平分线，进而截取AE=AD即可求解。
22．（2023·兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）
【答案】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
答：“龙”字雕塑的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先根据题意结合解直角三角形的知识即可得到BC，进而得到DB和CD。
23．（2023·兰州）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
【答案】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）令求出x即可求解。
24．（2023·兰州）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：先根据矩形的性质即可得到，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，即是等边三角形，从而根据等边三角形的性质即可得到，，再证明是等边三角形即可得到，最后运用菱形的判定即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质结合题意即可得到，，进而根据菱形的性质得到，再运用解直角三角形的知识即可得到FG，进而根据即可求解。
25．（2023·兰州）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）．
信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是：
20，20，21，21，21，22，22，23，24，24
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：
分组
人数 2 m 10 9 6 2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：
学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6
排球垫球 26 25 23 22 22 15
掷实心球 ▲ 7.8 7.8 ▲ 8.8 9.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ；
（2）下列结论正确的是 ；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
【答案】（1）
（2）②③
（3）解：排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为（人）．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意得m=40-2-10-9-6-2=11，
故答案为：11；
（2）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为，①不符合题意；
②∵掷实心球成绩排在第20个和第21个数据落在，
∴掷实心球成绩的中位数记为n，则，②符合题意；
③∵排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，
又∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，
∴学生1和学生4不可能同时优秀，学生3和学生2为两项成绩均为优秀，
∴学生3掷实心球的成绩是优秀，③符合题意；
故答案为：②③
【分析】（1）直接运用总人数减去其他人数即可得到m；
（2）根据中位数的定义结合题目信息即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
26．（2023·兰州）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵，是的直径，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）解：∵，，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理即可得到，再结合题意得到，从而得到，再根据切线的判定即可求解；
（2）是等腰三角形，理由如下：先根据题意结合圆周角定理即可得到，，进而得到，再根据平行线的性质结合题意证明，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（3）设，则，进而得到等腰三角形的性质即可得到，进而即可得到。
27．（2023·兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”．
例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．
（1）如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标；
（2）如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的伴随点．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长；
（3）如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的伴随点．请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，，则，点是直线的“伴随点”时，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当到轴的距离最小时，
∴点在线段上，
设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，
则的纵坐标为，即，
∵是等边三角形，且轴，设交于点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）
∴等边三角形的边长为
（3）-1≤b≤1或3≤b≤5．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；一次函数中的动态几何问题；定义新运算；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（3） 由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为，
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l1，l1与EF平行，且两直线间的距离为，
所以P既在l1上，又在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点．
当b≤1时，l1为y=-x+b+2，
当l1过A时，b=-1，
当l1过C时，b=1，
即-1≤b≤1；
当b＞1时，l1为y=-x+b-2，
当l1过A时，b=3，
当l1过C时，b=5，
即3≤b≤5；
综上所述，当-1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y=-x+b的“伴随点”．
【分析】（1）过点作于点，根据题意即可得到PQ，进而即可根据，即可得到，再根据锐角三角函数的定义结合特殊角的三角函数值即可得到，进而得到GP，再结合题意即可得到点P的坐标；
（2）先根据题意得到当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，根据等边三角形的性质结合题意即可得到，进而根据勾股定理结合题意即可求出a；
（3）由已知点的坐标，求出正方形的边长为1，即可求出P到EF的距离为， 从而可得P既在正方形的边上，也在到EF距离为的直线上，当b≤1时，EF向上平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值；当b＞1时，EF向下平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值，即可求出b的取值范围．
28．（2023·兰州）综合与实践
（1）【思考尝试】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
（2）【实践探究】
小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
（3）【拓展迁移】
小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，，进而根据矩形的性质得到，从而得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而根据正方形的判定即可求解；
（2）先根据垂直得到，进而根据矩形的性质得到，同理可得：，根据正方形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而得到
四边形是正方形，进而得到，再结合题意即可求解；
（3）连接，先根据正方形的性质结合题意即可得到，，，进而根据相似三角形的判定与性质证明，即可得到，，进而得到，再相似三角形的判定与性质证明得到即可求解。
1 / 1甘肃省兰州市2023年中考数学试卷
1．（2023·兰州）－5的相反数是（ ）
A． B． C．5 D．-5
2．（2023·兰州）如图，直线与相交于点O，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·兰州）计算：（ ）
A． B． C．5 D．a
4．（2023·兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·兰州）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·兰州）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧，圆弧的半径，圆心角，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·兰州）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为
C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3
8．（2023·兰州）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
9．（2023·兰州）2022年我国新能源汽车销量持续增长，全年销量约为572.6万辆，同比增长91.7%，连续8年位居全球第一．下面的统计图反映了2021年、2022年新能源汽车月度销量及同比增长速度的情况．（2022年同比增长速度）根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ）
A．2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆
B．2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个
C．相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%
D．相对于2021年，2022年从5月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低
10．（2023·兰州）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·兰州）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
12．（2023·兰州）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
13．（2023·兰州）因式分解： ．
14．（2023·兰州）如图，在中，，于点E，若，则 ．
15．（2023·兰州）如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．
16．（2023·兰州）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如下表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
盖面朝上频率
下面有三个推断：
①通过上述实验的结果，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的；
②第2000次实验的结果一定是“盖面朝上”；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53．
其中正确的是 ．（填序号）
17．（2023·兰州）计算：．
18．（2023·兰州）计算：．
19．（2023·兰州）解不等式组：．
20．（2023·兰州）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求线段的长．
21．（2023·兰州）综合与实践
（1）问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边三角形，则就是的平分线．
请写出平分的依据： ；
（2）类比迁移：
小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理由；
（3）拓展实践：
小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
22．（2023·兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）
23．（2023·兰州）一名运动员在高的跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动轨迹是一条抛物线，运动员离水面的高度与离起跳点A的水平距离之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为时离水面的距离为．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）求运动员从起跳点到入水点的水平距离的长．
24．（2023·兰州）如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交于点F，G，连接．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当时，求的长．
25．（2023·兰州）某校八年级共有男生300人，为了解该年级男生排球垫球成绩和掷实心球成绩的情况，从中随机抽取40名男生进行测试，对数据进行整理、描述和分析，下面是给出的部分信息．
信息一：排球垫球成绩如下图所示（成绩用x表示，分成六组：A． ；B． ；C． ；D． ；E． ；F． ）．
信息二：排球垫球成绩在D． 这一组的是：
20，20，21，21，21，22，22，23，24，24
信息三：掷实心球成绩（成绩用y表示，单位：米）的人数（频数）分布表如下：
分组
人数 2 m 10 9 6 2
信息四：这次抽样测试中6名男生的两项成绩的部分数据如下：
学生 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6
排球垫球 26 25 23 22 22 15
掷实心球 ▲ 7.8 7.8 ▲ 8.8 9.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ；
（2）下列结论正确的是 ；（填序号）
①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比低于60%；
②掷实心球成绩的中位数记为n，则；
③若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀．如果信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，那么学生3掷实心球的成绩是优秀．
（3）若排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，请估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数．
26．（2023·兰州）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）当时，求的长．
27．（2023·兰州）在平面直角坐标系中，给出如下定义：为图形上任意一点，如果点到直线的距离等于图形上任意两点距离的最大值时，那么点称为直线的“伴随点”．
例如：如图1，已知点，，在线段上，则点是直线：轴的“伴随点”．
（1）如图2，已知点，，是线段上一点，直线过，两点，当点是直线的“伴随点”时，求点的坐标；
（2）如图3，轴上方有一等边三角形，轴，顶点在轴上且在上方，，点是上一点，且点是直线：轴的伴随点．当点到轴的距离最小时，求等边三角形的边长；
（3）如图4，以，，为顶点的正方形上始终存在点，使得点是直线：的伴随点．请直接写出的取值范围．
28．（2023·兰州）综合与实践
（1）【思考尝试】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
（2）【实践探究】
小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；
（3）【拓展迁移】
小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-5的相反数是5
故答案为：C
【分析】根据相反数的定义解答即可.
2．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由量角器得∠AOC=50°，
∴∠BOD=∠AOC=50°，
故答案为：B
【分析】根据量角器读出∠AOC的度数，进而根据对顶角即可求解。
3．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：D
【分析】根据题意对分式进行化简即可求解。
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵其轮廓是一个正八边形，
∴，
故答案为：A
【分析】根据多边形的外角结合题意即可求解。
5．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x=1，
经检验，x=1为原方程的解，
故答案为：A
【分析】根据题意解分式方程即可。
6．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：B
【分析】根据弧长的计算公式即可求解。
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：
A、对称轴为，A不符合题意；
B、顶点坐标为，B不符合题意；
CD、函数的最大值是－3，C符合题意，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据二次函数的图象和性质结合题意即可求解。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴b2-4c=0，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意得到b2-4c=0，进而代入即可求解。
9．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：
A、2021年新能源汽车月度销量最高是12月份，超过40万辆，原说法合理，A不符合题意；
B、2022年新能源汽车月度销量超过50万辆的月份有6个，原说法合理，B不符合题意；
C、相对于2021年，2022年新能源汽车同比增长速度最快的是2月份，达到了181.1%，原说法合理，C不符合题意；
D、相对于2021年，2022年从6月份开始新能源汽车同比增长速度持续降低，原说法不合理，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据折线统计图即可对选项逐一判断。
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，OM=ON，
∴∠ONM=∠OMN=35°，
∴∠AOB=70°，
∵，
∴∠AOC=35°，
故答案为：A
【分析】先根据题意结合等腰三角形的性质即可得到∠ONM=∠OMN=35°，进而根据圆周角定理即可得到∠AOB=70°，进而结合，即可求解。
11．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴函数经过第二、三、四象限，
∵b=-1，
∴当时，y的值可以是-2，
故答案为：D
【分析】先根据一次函数的性质即可得到函数经过第二、三、四象限，进而根据一次函数b的值，结合题意即可得到当时，y的值小于-1，进而即可求解。
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CAB=∠CBA=90°，
∵，F为的中点，
∴FB=BG=5，
由勾股定理得，
故答案为：C
【分析】先根据矩形的性质得到∠CAB=∠CBA=90°，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到FB=BG=5，再结合勾股定理即可求出AG。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求解。
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠DBC=∠C=70°，
∴∠EDC=40°，
∵四边形ABCD为平行四边形，，
∴AB∥CD，∠AEB=90°，
∴∠ABD=∠BDC=40°，
∴∠BAE=90°-40°=50°，
故答案为：50
【分析】先根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得到∠EDC=40°，进而根据平行四边形的性质结合垂直得到AB∥CD，∠AEB=90°，再根据平行线的性质即可得到∠ABD=∠BDC=40°，最后根据三角形内角和定理即可求解。
15．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：∵面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据正方形的性质即可得到，进而即可求解。
16．【答案】①③
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：①观察上面的实验可以发现盖面朝上的次数多与累计次数的一半，可以推断这枚瓶盖有很大的可能性不是质地均匀的，①正确；
②由于实验具有随机性，故第2000次实验的结果不一定是“盖面朝上”，②错误；
③随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，③正确．
故答案为：①③
【分析】根据表格的数据结合频率估计概率即可求解。
17．【答案】解：原式＝＝．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】运用二次根式的混合运算即可求解。
18．【答案】解：
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式结合单项式乘多项式即可求解。
19．【答案】解：，
由①得：，
解得：，
由②得：，
解得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式①和②，进而即可得到不等式组的解集。
20．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
∵一次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴，
∴直线的表达式为，
∵时，，
解得，则，
∵时，，
解得，则，
∴．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）先将点A代入即可得到反比例函数的解析式，进而将点A代入一次函数即可求出m，进而即可求解；
（2）先根据题意得到点D的坐标，进而得到直线的表达式为，再结合一次函数和反比例函数的交点问题即可求出点B和点C，进而即可求出BC。
21．【答案】（1）
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线；
（3）解：如图，点即为所求作的点；
．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：（1）∵DE=DE，CE=DE，CO=DO，
∴△EDO≌△ECO（SSS），
∴∠EOB=∠EOA，
∴就是的平分线，
故答案为：SSS
【分析】（1）根据三角形全等的判定（SSS）结合三角形全等的性质即可求解；
（2）先证明，进而即可得到，再根据角平分线的判定即可求解；
（3）根据题意画出∠CAB的角平分线，进而截取AE=AD即可求解。
22．【答案】解：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
答：“龙”字雕塑的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先根据题意结合解直角三角形的知识即可得到BC，进而得到DB和CD。
23．【答案】（1）解：由题意得抛物线的对称轴为，经过点，，
设抛物线的表达式为，
∴，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：令，则，
解得（负值舍去），
∴运动员从起跳点到入水点的水平距离的长为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到解析式；
（2）令求出x即可求解。
24．【答案】（1）证明：四边形是菱形，理由如下，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵直线是线段的垂直平分线，且，
∴，，
由（1）得四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）四边形是菱形，理由如下：先根据矩形的性质即可得到，再根据垂直平分线的性质得到，，进而得到，即是等边三角形，从而根据等边三角形的性质即可得到，，再证明是等边三角形即可得到，最后运用菱形的判定即可求解；
（2）先根据垂直平分线的性质结合题意即可得到，，进而根据菱形的性质得到，再运用解直角三角形的知识即可得到FG，进而根据即可求解。
25．【答案】（1）
（2）②③
（3）解：排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，估计全年级男生排球垫球成绩达到优秀的人数为（人）．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数
【解析】【解答】解：（1）由题意得m=40-2-10-9-6-2=11，
故答案为：11；
（2）①排球垫球成绩超过10个的人数占抽取人数的百分比为，①不符合题意；
②∵掷实心球成绩排在第20个和第21个数据落在，
∴掷实心球成绩的中位数记为n，则，②符合题意；
③∵排球垫球成绩达到22个及以上时，成绩记为优秀，
又∵信息四中6名男生的两项成绩恰好为优秀的有4名，
∴学生1和学生4不可能同时优秀，学生3和学生2为两项成绩均为优秀，
∴学生3掷实心球的成绩是优秀，③符合题意；
故答案为：②③
【分析】（1）直接运用总人数减去其他人数即可得到m；
（2）根据中位数的定义结合题目信息即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识结合题意即可求解。
26．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直径，
∴是的切线；
（2）解：∵，是的直径，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）解：∵，，
设，则，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，先根据圆周角定理即可得到，再结合题意得到，从而得到，再根据切线的判定即可求解；
（2）是等腰三角形，理由如下：先根据题意结合圆周角定理即可得到，，进而得到，再根据平行线的性质结合题意证明，从而根据等腰三角形的判定即可求解；
（3）设，则，进而得到等腰三角形的性质即可得到，进而即可得到。
27．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，，则，点是直线的“伴随点”时，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当到轴的距离最小时，
∴点在线段上，
设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，
则的纵坐标为，即，
∵是等边三角形，且轴，设交于点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去）
∴等边三角形的边长为
（3）-1≤b≤1或3≤b≤5．
【知识点】等边三角形的性质；正方形的判定与性质；切线的性质；一次函数中的动态几何问题；定义新运算；坐标系中的两点距离公式；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】（3） 由题意知，正方形ABCD的边长为1，
所以正方形ABCD上任意两点距离的最大值为，
则EF向上或者向下平移2个单位长度得到直线l1，l1与EF平行，且两直线间的距离为，
所以P既在l1上，又在正方形ABCD的边上，即l1与正方形ABCD有交点．
当b≤1时，l1为y=-x+b+2，
当l1过A时，b=-1，
当l1过C时，b=1，
即-1≤b≤1；
当b＞1时，l1为y=-x+b-2，
当l1过A时，b=3，
当l1过C时，b=5，
即3≤b≤5；
综上所述，当-1≤b≤1或3≤b≤5时，正方形ABCD上始终存在点P，使得点P是直线EF：y=-x+b的“伴随点”．
【分析】（1）过点作于点，根据题意即可得到PQ，进而即可根据，即可得到，再根据锐角三角函数的定义结合特殊角的三角函数值即可得到，进而得到GP，再结合题意即可得到点P的坐标；
（2）先根据题意得到当到轴的距离最小时，点在线段上，设的边长为，以为圆心为半径作圆，当与轴相切时，如图所示，切点为，此时点是直线：轴的伴随点．且点到轴的距离最小，则的纵坐标为，即，根据等边三角形的性质结合题意即可得到，进而根据勾股定理结合题意即可求出a；
（3）由已知点的坐标，求出正方形的边长为1，即可求出P到EF的距离为， 从而可得P既在正方形的边上，也在到EF距离为的直线上，当b≤1时，EF向上平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值；当b＞1时，EF向下平移2个单位长度得l1，分别求出l1过A，C时b的值，即可求出b的取值范围．
28．【答案】（1）解：∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）解：∵，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）解：如图，连接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，，进而根据矩形的性质得到，从而得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而根据正方形的判定即可求解；
（2）先根据垂直得到，进而根据矩形的性质得到，同理可得：，根据正方形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而得到
四边形是正方形，进而得到，再结合题意即可求解；
（3）连接，先根据正方形的性质结合题意即可得到，，，进而根据相似三角形的判定与性质证明，即可得到，，进而得到，再相似三角形的判定与性质证明得到即可求解。
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