(共10张PPT)
华师版八年级数学上册
人
易错点一混淆法则
1.下列计算正确的是
(B)
A.a2+a3=a5
B.(-a)2·(-a)3=-a5
C.(-a2)3=-a5
D.a3÷a2=a5
2.下列计算结果正确的是
(C)
A.al0÷a2=a5
B.a3·a4=al2
C.(a2)4=a8
D.(-2a2)3=8a6
3.计算：
(1)a2·(a2)2÷a3;
解：原式=a·a4÷a3
=a6÷3
=a3;
(2)a·a2·a3+(a3)2-(2a2)3.
解：原式=a°+a-8a6
=-6a.
4.已知am=2,a”=3,求a3m-2m的值.
解：a3m-2m=a3m÷a2m
=(am)3÷(a")2
=23÷32
8
99
易错点二符号错误
5.计算(-2a)°的结果是
(D)
A.
B.
C.-
D.-gal
6.计算：
(1)(-y)4·(-y)3=-y7;
(2)(a2)4·(-a)3=-a11
(3)(-a)4÷(-a)=-a
(4)-a8÷(-a)2=
-a6
(2)(m-)6÷(n-m)3;
解：原式=(n-m)6÷(n-m)3
=(n-m)3;
(3)(-a)5·(-a)2;
解：原式=-a25·a2
=-a2”;
(4)(-a)2·(a2)2÷(-a)3.
解：原式=a2·a4÷(-3)
=-a3.
易错点三运算顺序出错
8.计算：
(1)a2-a2·a4÷a3;
解：原式=a2-a6÷a3
=a2-a3;
(2)a÷a3·a2;
解：原式=a2·a2
=a4;
(3)(-a)2·a2十a2÷(-a);
解：原式=a2·a2十a2÷(-a)
=a4-a;
(4)(a3)2·(-a)2÷[(a2)3÷a3].
解：原式=a·a2÷(a÷a3)
=a8÷a3
=a5.
易错点四不能灵活运用整体思想出错
9.(1)若3x十2y一3=0，求27x·9'的值；
(2)已知3m=6,9m=2,求32m-4m+1的值.
解：(1)27·9=(33)r·(32)=33r·32=33x+2w,
.3x+2y-3=0,.∴.3x+2y=3,∴.原式=33=
27.
(2)32m-4m+1=32m÷34m×3=(3m)2÷(32m)2×3=
(3m)2÷(9”)2×3=36÷4×3=27.(共9张PPT)
华师版八年级数学上册
人
类型一先化简再代入求值
1.先化简，再求值：2x2-2(x一3)(3x-5)
3(x-2)(x+1),其中x=1.
解：原式=-7x2+31x-24,当x=1时，原式=
-7X12+31×1-24=0.
2.先化简，再求值：(x十2y)2一(x一2y)2一(x十
20x-20-4,其中x=-2y=2
解：原式=-x2+8xy.
当x=-2,y=2时，原式=-（-2)2+
8×(-2)×5=-12.
3.先化简，再求值：(2a十3b)(3a一2b)一
5a(6+1)-6a2,其中a=-26=2
解：原式=6a2+5ab-6b2-5ab-5a-6a2=
-66-5a,当a=-2,b=2时，原式=-6×
2-5×(-2=-24+8=-212
类型二先求字母函数值，再代入求值
4.已知x,y满足方程组
x-2y=-5,
求代
2x+y=0,
数式(x-y)2-(x十2y)(x-2y)的值.
解：解方程组
x-2y=-5,
得
2x+y=0
x=1,.(x-y)2-(x+2y(x-2y）=-
y=2,
2xy+y2-x2+4y2=-2xy+5y2,当x=-1,
y=2时，原式=-2×(-1)×2+5×22=4+
20=24.
5.先化简：再求值：(x十y)2+(x+y)(x一
3y)-(2x+y)(2x-y),其中x,y满足
(y+1)2+x-2|=0.
解：原式=x2+2xy+y2+(x2-2xy-3y2)-
(4x2-y2)=x2+2xy+y2+x2-2xy-3y2-
4x2+y2=-2x2-y2,由(y+1)2+|x-2|=0,
得x=2,y=-1,.∴.原式=-2×22-(-1)2=
-8-1=-9.
类型三整体代入求值
6.先化简后求值：(2+a)(2-a)+a(a一5b)十
3x÷(-ab,其中a6=
2
解：原式=4-a2+a2-5ab+3ab=4-2ab,当
ab=-2时，原式=4+1=5.
7.（北京中考)先化简，后求值：3a(2a十1)一
(2a十1)(2a-1),其中a满足2a2+3a一
6=0.
解：原式=6a2+3a-4a2+1=2a2+3a+1,
.2a2+3a-6=0,即2a2+3a=6,.∴.原式=6+
1=7.
8.已知多项式A=(3-2x)(1十x)十(3x5y2十
4x5y2-xy2)÷(x2y)2.
(1)化简多项式A;
(2)若(x十1)2=6，求A的值.
解：(1)A=(3+3x-2x-2x2)+(3x5y2+
4x6y2-x4y2)÷x4y2=3+x-2x2+3x+4x2-
1=2x2+4x+2;
(2)原方程变形得x2+2x=5,则A=2x2+4x+
2=2(x2+2x)+2=2×5+2=12.(共9张PPT)
华师版八年级数学上册
人
类型一作平行线构造等腰三角形
1.如图，AB,CD相交于点E,∠A十∠B=
180°，且AC=BD.求证：CE=DE.
证明：过点C作
CF∥BD交AB
于
点F,∴∠1=∠B,
E
B
又.∠A
·∠B=
180°，∠1+∠2
180°，∴…∠2
∠A,∴.CF=CA,
而AC=BD,∴.CF=DB,又.∠CEF=∠DEB,
.∴.△CE≌△DEB(AAS.),.∴.CE=DE.
2.如图，△ABC是等边三角形，D是AC的
中点，点E在BC的延长线上，点F在AB
上，∠EDF=120°.
(1)求证：DE=DF;
(2)若AB=4,求BE十BF的值.
(1)证明：过点D作DG∥
BC交AB于G,.·△ABC
为等边三角形，∠B=∠A=
∠ACB=60°，.∴.∠DCE
三
120°，.DG∥BC,.∠ADG=
B
∠ACB=60°，∠AGD
∠B=60°=∠A,.△AGD为等边三角形，
..GD=AD,而AD=DC,.∴.DG=CD,由
∠AGD=60°得∠DGF=120°，.∠DGF
三
∠DCE,又.∠EDF=120°，∠B=60°，.∴.在四边
形BFDE中，∠E+∠BFD=180°，而∠BFD
十
∠DFG=180°，∴.∠DFG=∠E,.∴·△DFG≌
△DEC(A.A.S.),.∴.DE=DF;
(2)解：.·△DFG≌△DEC,.∴.FG=CE,
.D是AC的中点，DG∥BC,.∴.G是AB的中
点BF+FG=2AB=2×4=2,△ABC为
2
等边三角形，.BC=AB=4,.∴.BE+BF=BC+
CE+BF=BC+(FG+BF)=BC+BG=4+2=6.
类型二角平分线十垂线构造等腰三角形
3.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=
90°，BE是∠ABC的平分线，CD⊥BE交
BE的延长线于点D,求证：BE=2CD.
证明：延长BA,CD相交于
Q
点Q..'∠CAQ=∠BAE=
A
∠BDC=90°，∴.∠ACQ
十
∠Q=90°，∠ABE+∠Q=
E
90°.∴.∠ACQ=∠ABE.在
△ABE和△ACQ中，
B
∠ABE=∠ACQ,
AB=AC,
∠BAE=∠CAQ,
.∴.△ABE≌△ACQ(A.S.A.),.∴.BE=C0..BD
平分∠ABC,.∠QBD=∠CBD..·∠BDC=
90°，.∠BDC=∠BDQ=90°.在△QDB
和
∠QBD=∠CBD,
△CDB中，BD=BD,
.∴.△gDB≌
∠BDQ=∠BDC,
△CDB(A.S.A.),..CD=DQ.·.BE=CQ=
2CD.(共9张PPT)
华师版八年级数学上册
人
类型一待定系数法
1.若x(x2-a)+3x-2b=x3-6x十4成立，
试求a,b的值.
解：由x(x2-a)+3x-2b=x3-6x+4,得x3+
3-a)x=2b=8=6r+4,∴.326=46，
a=9,
1b=-2
2.已知(x3十mx+n)(x2-3x十4)展开式中
不含x3和x2项.
(1)求m,n的值；
(2)当m,n取第(1)小题的值时，求（十
n)(m2-mm十n2)的值.
解：(1)原式=x5-34+4x3+m3-3m2+4mx+
n2-3x+4n=x5-3x4+(4+m)x3+(-3m+
n)x2+(4m-3n)x+4n,.不含x3和x2项，
.∴.4+m=0,-3m+n=0,解得m=-4,n=
-12;
(2)当m=-4,n=-12时，(+n)(m2-mn+
n2)=(-4-12)×(16-48+144)=-16×
112=-1792.
类型二数形结合思想
3.如图①，在边长为3a十2b的大正方形纸
片中，剪掉边长为2a十b的小正方形，得
到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③
拼成一个长方形纸片.
2a+
-3a+2b+
图①
图②
图③
(1)求出拼成的长方形纸片的长和宽；
(2)把这个拼成的长方形纸片的面积加上
10a十6b后，就和另一个长方形的面积
相等.已知另一个长方形的长为5a十
3b,求它的宽
(5)若2x-3y=5,4x+6y=4,求4x2-
9y2值.
-b
b
ab
图①
图②
解：(1)a2-b2;
(2)(a+b)(a-b);
(3)(a+b)(a-b)=a2-b2;
(4)原式=[(a+b)-2c][(a+b)+2c]=(a+
b)2-(2c)2=(a+b)2-4c2;
(5).4x+6y=4,.∴.2x+3y=2,.2x-3y=5,
∴.4x2-9y2=(2x+3y)(2x-3y)=2×5=10.
类型三整体思想
5.已知x2-5x=3,求(x-3)(2x-1)-
(x+1)(x-3)+1的值.
解：原式=2x2-x-6x+3-（x2-2x-3)+1=
2x2-x-6x+3-x2+2x+3+1=x2-5x+7,
.‘x2-5x=3,.∴.原式=7+3=10.
类型四类比归纳法
6.观察下列等式：
(x+1)(x2-x+1)=x3+1;
(x+3)(x2-3x+9)=x3+27;
(x+6)(x2-6x+36)=x3+216;
(1)按以上等式的规律，填空：(a十b)
)=a3十b3:
(2)利用多项式的乘法法则，说明(1)中的
等式成立；
(3)利用(1)中的公式化简：(x十y)(x2一
xy+y2)-(x+2y)(x2-2xy+4y2).
解：(1)a2-ab+b2;
(2)(a+b)(a2-ab+b2)=a3-a2b+ab2+a2b
-ab2+b3=a3+b3;
(3)原式=(x3+y3)-(x3+8y3)=-7y3.(共8张PPT)
华师版八年级数学上册
人
常用辅助线作法1：连接两点法
1.如图，AB=AD,/ABC=∠ADC=90°，
EF过点C,BE⊥EF于点E,DFEF于
点F,且BE=DF.求证：CE=CF.
证明：连接AC.易证Rt△ABC
A
≌Rt△ADC(H.L.),.∴.BC=
CD.易证Rt△BCE≌Rt△DCF
(H.L.),.∴.CE=CF.
B
E
C
常用辅助线作法2：倍长中线法
2.如图，在△ABC中，D为BC的中点.
(1)求证：AB+AC>2AD;
(2)若AB=6cm,AC=4cm,求AD的取
值范围.
(1)证明：延长AD至E,使
DE=AD,连接BE,.·D是BC
的中点，.CD=BD,又
B
∠ADC=∠EDB,.∴.△ADC≌
△EDB(S.AS.),.∴.BE=AC,在
△ABE中，AB+BE>AE,而AE=AD+DE=
2AD,.∴.AB+AC>2AD.
(2)解：在△ABE中，AB-BE
即AB-AC2ADAB+AC,.∴.6-4<2AD<
6+4,.∴.1cm3.如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,
AD⊥AC,点M为BC的中点.求证：
DE=2AM.
证明：延长AM至点N,使
MN=AM,连接BN,.点M为
BC的中点，..BM=CM.又.
B
∠BMN=∠CMA,.∴.△MB≌
、M
△AMC(S.AS.),.∴.AC=NB,
N
∠C=∠NBM,.∴.∠ABN=∠ABC+∠C=
180°-∠BAC=∠EAD.又.BN=AC=AD,
AB=EA,.∴.△ABN≌△EAD(S.AS.),.∴.DE=
NA,义AM=MN,.∴.DE=2AM.
常用辅助线作法3：截长补短法
4.(巴中市期末)通过类比联想、引申拓展典
型题目，可达到解一题知一类的目的.下
面是一个案例，请补充完整.
(1)【解决问题】如图1，点E、F分别在正
方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF
=45°，连接EF,则EF=BE十DF,试
说明理由.
证明：延长CD到G,使DG=BE,在△ABE
AB-AD.
与△ADG中，/B=/ADG=90°，.
BE-DG,
△ABE≌△ADG,理由：(S.A.S.),进
而证出：△AFE≌
△AFG,理由：
(S.A.S.),进而得EF=BE十
DF.
(2)【探究变式】如图2，四边形ABCD中，
AB=AD,∠BAD=90°.点E、F分别
在边BC、CD上，∠EAF=45°，∠B十
∠D=180°时，还有EF=BE十DF
吗？请证明你的猜想，
A
B
A
B
E
D
D
图1
图2(共8张PPT)
华师版八年级数学上册
人
经典模型一“一线三等角”模型
1.(1)探究：如图1，在△ABC中，∠BAC=
90°，AB=AC,直线m经过点A,
BD⊥m于点D,CELm于点E,求证：
△ABD≌△CAE;
(2)应用：如图2，在△ABC中，AB=AC,
D,A,E三点都在直线m上，并且有
/BDA=∠AEC=∠BAC,求证：
DE=BD十CE.
B
A
E
m
D
A
E m
图1
图2
证明：(1).BD⊥m,CE⊥m,.∴.∠BDA=∠CEA=
90°..'∠BAC=90°，∴.∠BAD+∠CAE=90°.
.'∠BAD+∠ABD=90°，∴.∠CAE=∠ABD.在
(∠BDA=∠AEC,
△ADB和△CEA中，{∠ABD=∠CAE,
AB=CA,
.∴.△ADB≌△CEA(A.A.S.).
(2)设∠BDA=∠BAC=a,.∠DBA+∠BAD=
∠BAD+∠CAE=180°-..∴.∠CAE=∠ABD.在
∠BDA=∠AEC,
△ADB和△CEA中，∠ABD=∠CAE,
AB=CA,
.∴·△ADB≌△CEA(A.A.S.).
.∴.AE=BD,AD=CE..∴.DE=AE+AD=BD+CE.
经典模型二“手拉手”模型
2.如图①，AB=AC,AD=AE,∠BAC=
∠DAE=a,连接BD,CE交于点P,连接
AP.
(1)求证：BD=CE;
(2)求∠APB的度数（用Q表示）；
(3)将图形旋转到如图②所示的位置，其
余条件不变，在图②中画出点P,直接
写出∠APB=
(用a表示).
B
E
B
A
图①
图②
经典模型三“倍半角”模型
3.如图，四边形ABCD中，BC=CD,/BCD=
120°，E,F分别为AB,AD上的点，∠ECF=
∠A=60°.求证：
(1)EF=BE十DF;
(2)点C在∠BAD的平分线上.
证明：(1)延长FD至G,使
DG=BE,连接CG,.'∠A+
∠BCD=60°+120°=180°，
∴.∠B+∠ADC=
180°，
E
..∠CDG=∠B,又.·BC=
B
CD,.∴.△CBE≌
△CDG
(S.A.S.),.'.CG
CE,
4.在正方形ABCD中，E,F分别在BC,CD
的延长线上，且∠EAF=45°.
(1)EF和BE,DF三者之间有何数量关
系？写出关系式并证明；
(2)∠AFD与∠AFE之间有何数量关
系？写出关系式并证明.
解：(1)EF=BE-DF.证明：
在BE上截取BG=DF,连接
AG,则△ADF≌△ABG(S.A.
S.),∴.AF=AG,∠DAF=
∠BAG,∴.∠DAF+∠DAG
B
G
∠BAG+∠DAG,即∠GAF
BAD
90°
.∠EAF=45°，.∴.∠GAE
∠EAF
45°
.∴.△GAE≌△FAE(S.A.S.),.∴.EF=EG
BE-BG=BE-DF.
(2)/AFD+/AFE=180°.证明：由(1)知
△ADF≌△ABG,△GAE≌△FAE,∴.∠AFD
三
∠AGB,∠AFE=∠AGE,.∴.∠AFD+∠AFE
∠AGB+∠AGE=180°.(共8张PPT)
华师版八年级数学上册
人
应用一应用因式分解化简求值
1.已知x-2y=3,x2-2xy+4y2=11,求下
列各式的值，
(1)xy;
(2)x2y-2xy2.
解：(1).x-2y=3,∴.x2-4xy+4y2=9,
∴.(x2-2xy+4y2)-(x2-4xy+4y2)=11-9,
即2xy=2,.∴.xy=1;
(2)x2y-2xy2=xy(x-2y)=1×3=3.
应用二应用因式分解判断整除
2.任意写出一个十位数字与个位数字不相
等的两位数，把它的十位数字与个位数字
对调后得到另一个两位数，并用较大的两
位数减去较小的两位数，所得的差一定能
被9整除吗？为什么？
解：所得的差一定能被9整除，理由如下：不妨
设该两位数个位上的数字是b,十位上的数字是
a,且a>b,b不为0，则这个两位数是10a十b,将
十位数字与个位数字对调后的数是10b十α，则
这两个两位数中，较大的数减去较小的数的差
是(10a+b)-(10b+a)=9a-9b=9(a-b),所
以所得的差一定能被9整除.
应用三应用因式分解比较大小
3.设a=192×918,b=8882-30,c=10532
7472,比较数a,b,c的大小，并按从小到大
的顺序排列.
解：.'a=192×918=361×918,b=8882-302=
(888-30)(888+30)=858×918,c=10532
、
7472=(1053+747)(1053-747)=1800×306=
600×918,..acb.
4.已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x一
1,比较P,Q的大小.
解：P-Q=(2x2+4y+13)-(x2-y2+6x-1)=
-6x+y+4y+14=(x-3)2+(y+2)2+1
.(x-3)2≥0，(y+2)2≥0，.∴.P-0=(x-
3)2+(y+2)2+1≥1，.∴.P>0.
应用四应用因式分解求边长
5.已知长方形的周长为20，相邻两边长分别
为a,b(a,b均为正整数)，且a,b满足a2一
2ab+b2一4a+4b+4=0,求a,b的值.
解：.a2-2ab+b2-4a+4b+4=0,.∴.(a-b)2
-4(a-b)+4=0,即(a-b-2)2=0,.∴.a-b=
2①，又.'周长为20，∴.a+b=10②，联立①，②
a=6,
解得
b=4.(共8张PPT)
华师版八年级数学上册
人
类型一折叠构造直角三角形
1.如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6,
∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC
的中点D重合，折痕为MN,求BN的长.
解：设BN=x,AN=
C
ND=9-x.BD=2BC-
M
D
3,在Rt△BND中，x2+
32=(9-x)2,解得x=
A
N
B
4,..BN=4.
2.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形
纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD
边上的B处，点A对应点为A',且B'C=
3,求AM的长.
解：连接BM,BM,设MA=
A'M=x,在Rt△ABM和
Rt△B'DM中，由BM=B'M得
B'
x2+9=(9-x)2+(9-3)2,
解得x=2,.∴.AM的长为2.
B
类型二折叠构造“三垂直”
3.如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠
(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落
在边BC上的点F处，已知BC=10,
CD=8,求CE的长.
解：AF=AD=BC=10,AB=
CD=8,.∴.在Rt△ABF中，BF
=√102-82=6，.∴.CF=
BC-BF=10-6=4,设EC=
B
a,在Rt△EFC中，EC2+FC2=EF2,.∴.a2+42=
(8-a)2,.∴.a=3,即CE的长为3.
类型三折叠构造全等三角形
4.如图，长方形ABCD中，E是AD的中点，
将△ABE沿直线BE折叠后得到
△GBE,延长BG交CD于点F,若AB=
6,BC=4W6,求FD的长.
解：易证△EGF≌△EDF
(H.L.),设DF=GF=x,则
CF=CD-DF=6-x,在
Rt△BFC中，(6+x)2
=
B
(4W6)2+(6-x)2,.∴.x=4,即
DF=4.
类型四
折叠构造等腰三角形
5.如图，将长方形ABCD沿直线BD折叠，
使点C落在点E处，BE交AD于点F,
BC=8,AB=4,求DF的长.
解：由翻折性质得∠1=∠2，
.·∠1=∠3，∴.∠2=∠3，
.∴.BF=DF,∴.∴AD=8,..AF=
8-DF,在Rt△ABF中，
AB2+AF2=BF2,.∴.42+
(8-DF)2=DF2,.∴.DF=5.
6.如图，长方形纸片ABCD中，AB=8,将纸
片折叠，使顶点B落在边AD上的E点
处，折痕的一端G点在边BC上，折痕的
另一端F在AD边上，且BG=10.
(1)求证：EF=EG;
(2)求AF的长.
(1)证明：.纸片折叠后顶
H(A)
点B落在边AD点的E点
ED
处，∴.∠BGF=∠EGF,
“.·长方形纸片ABCD的边
AD∥BC,.∴.∠BGF=∠EFG,
.∠EGF=∠EFG,.EF=B
G
C
EG;(共8张PPT)
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类型一对腰与底边不确定进行分类
1.(1)等腰三角形的两边长分别为2,3时，
则其周长为7或8
(2)若等腰三角形的两边长分别为2,4，则
其周长为10
类型二与等腰三角形的高的位置或垂直
平分线与腰的交点的位置不同进行分类
2.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的
夹角为40°，则这个等腰三角形的底角的
度数为65°或25°
3.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分
线与AC所在直线相交所得的锐角为
40°，则底角∠B的大小为65°或25
类型三与等腰三角形的顶角和底角有关
的分类
4.(1)若等腰三角形的一个外角为130°，则
它的底角为50°或65°
(2)若等腰三角形的一个外角为70°，则它
的底角为35°
5.(1)等腰△ABC中，∠A=80°，则∠B的
度数为50°或20°或80°
(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，
得到∠B的度数的个数也可能不同，
如果在等腰△ABC中，设∠A=x°，当
∠B有三个不同的度数时，则x的取
值范围为0类型四动点位置不确定引起的分类
6.如图，在Rt△ABC中，
∠ACB=90°，AB=2BC,
在直线BC或AC上取一
点P,使得△PAB为等腰
B
三角形，则符合条件的点P共有(B)
A.7个B.6个C.5个D.4个
7.已知△ABC中，AB=AC,∠BAC=30°，
点D是直线BC上异于B,C的一点，若
△ABD是等腰三角形，求∠D的度数.
解：.AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB..∠BAC=
30°，·∴.∠ABC=∠ACB=75°.
①若AB=AD,则D与C重合，不合题意；
②若BA=BD,如图1，
.BA=BD,.∴.∠BAD=∠D..∠BAD+∠D=
∠ABC=75°，.∴∠D=37.5°.如图2，.BA=BD,
》=∠D=2(a8-∠A0=2
×(180°-
75°)=52.5°.
③若DA=DB,如图3，.DA=DB,.∴.∠DAB=
∠DBA=75°..∴.∠D=180°-2×75°=30°.
B
B
C
B
C
图1
图2
图3
8.如图，在△ABC中，AB=AC=18cm,
BC=16cm,点D是AB的中点，有一点
E在BC上从点B向点C运动，速度为2
cm/s,同时有一点F在AC上从点C向
点A运动，其中一点停止运动另一点也
随之停止运动，问当点F的运动速度是多
少时，E、F在运动的过程中△DBE和
△EFC可能全等？
B
B
备用图1
备用图2(共8张PPT)
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1.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的
一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若
∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边
分别与OA,OB相交于点M,N两点，求
证：PM=PN.
证明：过点P作PE⊥OA于点
A
E,PF⊥OB于点F,.∴.∠PEO
=∠PFO=90°..∴.∠EPF+
∠AOB=180°..·∠MPN+
∠AOB=180°，.∴.∠EPF
NF B
2.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分
线，AD的垂直平分线交BC的延长线于
点F.求证：∠BAF=∠ACF.
证明：.AD是∠BAC
的平分线，.∠BAD=
∠DAC..·FE是AD
B
的垂直平分线，.FA=
FD..∴.∠FAD=∠FDA..'∠BAF=∠FAD+
∠BAD,∠ACF=∠FDA+∠DAC,.∴.∠BAF=
∠ACF.
3.如图，在四边形ABCD中，AC平分
∠BAD,过点C作CE⊥AB于点E,且
AE=号(AB+AD).求∠ABC+∠ADC
2
的度数.
解：过点C作CF⊥AD,
交AD的延长线于点F.
.AE=
24B+AD),
B
.∴.AB+AD=2AE,∴.∠CAD=∠CAE,CEAB,
CFAD,.∴.CE=CF,义.·AC=AC,
.∴.Rt△ACF≌Rt△ACE(H.L.),..AF=AE,
..AB+AD=AF-DF AE BE=2AE+
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平
分∠BAC,DE⊥AB于点E.
(1)若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
(2)求证：直线AD是线段CE的垂直平
分线.
(1)解：.·∠BAC=50°，AD
平分∠BAC,∴.∠EAD=
E
1
∠BAC=25°..DEAB,
2
∴.∠AED=90°..∴.∠EDA=90°-25°=65°；
(2)证明：.DEAB,.∴.∠AED=90°=∠ACB.
又.AD平分∠BAC,.∴.∠DAE=∠DAC..AD=
AD,.∴.△AED≌△ACD(A.A.S.)...AE=AC,
DE=DC.∴.线段AD垂直平分CE,即直线AD
是线段CE的垂直平分线
5.如图，在△ABC中，∠A=60°，点D是BC
边的中点，DE⊥BC,∠ABC的平分线BF
交DE于△ABC内一点P,连接PC.
(1)若∠ACP=24°，求∠ABP的度数；
(2)若∠ACP=m°，∠ABP=n°，请直接写
出m,n满足的关系式
解：(1).点D是BC边的中
点，DEBC,.∴.PB=PC.
.∴.∠PBC=∠PCB..BP平分
P
∠ABC,.∴.∠PBC=∠ABP.
∴.∠PBC=∠PCB=∠ABP.
B
.∠A=60°，∠ACP=24°，·∴.∠PBC+∠PCB+
∠ABP=180°-60°-24°=96°..∴.3∠ABP=96,
.∴.∠ABP=32°；
(2)n=
(120-m).
3(共8张PPT)
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类型一转化思想的应用
1.如图，在△ABC中，BC=2,S△ABC=3,
∠ABC=135°，求AC,AB的长.
解：过点A作AD⊥BC交
CB的延长线于点D,在
△ABC中，.'S△ABc=3,
BC=2,.∴.AD=
2S△ABC
BC
B
2X3=3,∠ABC=135,·∠ABD=180°-
2
135°=45°，.∴.AB=W2AD=3W2,BD=AD=3,
在Rt△ADC中，CD=2+3=5,由勾股定理得AC
=AD+CD=/32+52=√34.
类型二数形结合思想的应用
2.如图，正方形网格中的每个小正方形的边
长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为
5的正方形；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角
形，使三角形的三边长分别为2，√5，
√/13；
(3)如图3，A,B,C是小正方形的顶点，求
ABC.
图1
图2
图3
类型三方程思想的应用
3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，
DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且
BE2-EA2=AC2.
(1)求证：∠A=90°；
(2)若DE=3,BD=4,求AE的长.
(1)证明：连接EC,证BE
=CE,再由勾股定理可得
∠A=90°；
(2)解：.DE=3,BD=4,·∴
BE=DE2+BD2=5=CE,
B
D
.∴.AC2=EC2-AE2=25-AE2,.‘BC=2BD=
8,在Rt△BAC中，由勾股定理可得BC2-BA2=
64-(5+AE)2=AC2,.∴.64-(5+AE)2=25-
AE,解得AE=7
-5
类型四分类思想的应用
4.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=
5,BC=3,点P从点A出发，以每秒1个
单位长度的速度沿路线A→C→B→A运
动.设点P的运动时间为t秒.
(1)AC=4;当点P在AC上时，CP=
4-t（用含t的代数式表示)；
(2)如图2，若点P在∠ABC的平分线上，
求t的值；
(3)在整个运动过程中，当△BCP是等腰
三角形时，求t的值，
P
A
B
A
BA
B
图1
图2
备用图
解：(2)过点P作PHAB于H,易证Rt△BCP
≌Rt△BHP(H.L.),..BH=BC=3,.∴.AH=
AB-BH=2,在Rt△AHP中，AP2=AH2+PH2,
即2=2+(4-D)2,解得：t三号，当点P在
∠ABC的平分线上时，1的值为
2
(3)当点P在AC上，△BCP是等腰三角形时，
CP=BC=3,则AP=1,.∴.t=1;当点P在AB
上，BP=BC=3时，AC+CB+BP=10,.∴.t=10;
如图3，当点P在AB上，CP=BC时，过点C作
CDAB于D,则PD=DB.Sm=2AC·
BC=
2ABCD,2×4×3=
×5·CD,解
2
得：CD
∴.BD=BC
-CD2=9
5
∴.PB(共9张PPT)
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易错点一混淆概念
1.如果一b是α的立方根，那么下列结论正
确的是
(C)
A.一b也是一a的立方根
B.b是a的立方根
C.b是一a的立方根
D.士b都是a的立方根
2.下列说法中正确的是
(C)
A.带根号的数是无理数
B.无理数不能在数轴上表示出来
C.无理数是无限小数
D.无限小数是无理数
3.下列说法：①无理数包括正无理数，0和负
无理数；②无理数是开方开不尽的数；③
是一个分数：④正实数和负实教统称
实数.其中正确的有
(A)
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
易错点二求带根号的数的平方根或立方
根易看漏根号
5.√49的平方根为
D
A.7
B.-7
C.±7
D.土7
6.一64的立方根是
-4
7.若a是（一4）2的算术平方根，√/（一9）2的
平方根是b,则√a十b的值为1或W7.
(2)-27-|-2|+√9-(-1)2023；
解：原式=-3-2+3+1
=-1;
(3)v49-27+11-②+√(1-5〉
解：原式=7-3+2-1+3
g0+2
易错点四
不能正确理解题意出错
9.对非负实数x“四舍五入”到个位的值记
为[]，即当n为非负整数时，若n-号≤
心1+2，则[]=，如[2.9]=3，[2.4幻=2，
根据以上材料，解决下列问题：
(1)填空[1.8]=
,[W5]=
(2)若[2x十4幻=4，求x的取值范围；
(3)求满足[]=-1的所有非负实数x
的值
解：(1)2,2；
(2)像题意得32<2+442-4≤
1
49
3)泛号x-1=m,则x=2m32[2m32]=
3
mm-2<2m2:m为整装m=1友2友3x=号或2友
8
3(共7张PPT)
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方法一遇等腰三角形常作底边上的高
1.如图，在四边形ACED中，∠ACE=90°，
DECD,且AC=AD=CE,求证：CD=
2DE.
证明：过点A作AFCD于
F,∴.AC=AD,.∴.CD=2CF,
∠CAF+∠ACF=90°，而
∠ACF+∠DCE=90°，.
∠CAF=∠ECD,又.·∠AF℃=∠CDE=90°，
AC=CE,..△ACF≌△CED(A.A.S.),.∴.CF=
DE,.∴.CD=2DE.
2.如图，点D,E分别在BA,AC的延长线
上，且AB=AC,AD=AE,求证：DE
BC.
证明：过A作AMBC于点
M..AB=AC,.∴.∠BAC=
2∠BAM.∴.AD=AE,.∴.∠D=
∠E..∴.∠BAC=∠D+∠E=
M
2∠D..∴.∠BAC=2∠BAM=
2∠D..∴.∠BAM=∠D.·∴.DE∥AM..AM⊥BC,
.∴.DEBC
方法二遇等腰三角形中有底边中点时，常
连接底边上的中线
3.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的
中点，E,F分别是AB,AC上的点，且
AE=AF,求证：DE=DF.
证明：连接AD..AB=AC,D
是BC的中点，.∠EAD=
∠FAD.在△AED和△AFD
(AE=AF,
中，∠EAD=∠FAD,
AD=AD,
.∴.△AED≌△AFD(S.A.S.)..∴.DE=DF.
4.如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=
90°，点O为AB的中点，OE⊥OF分别交
AC,BC于点E,F.求证：OE=OF.
证明：连接OC..‘AC=
BC,∠ACB=90°，点O
为AB的中点，..∠B=
∠AC0=∠BC0=45°，
CO AB..∴.OC=OB,∠C0B=90°.又∴.'∠EOF=
90°，∴.∠EOC=∠POB.在△EOC和△FOB中，
∠EOC=∠FOB,
OC=OB,
∠OCE=∠OBF,
.∴.△EOC≌△FOB(A.S.A.)..∴.OE=OF.
方法三先证等腰三角形，再利用“三线合一”
5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F
分别在BC,AB,AC上，且BD=CF,
BE=CD,G是EF的中点，求证：DG
EF.
证明：连接ED,DF..AB=
AC,.∴.∠B=∠C.在△BED和
(BE=CD,
△CDF中，∠B=∠C,
BD=CF,
.∴.△BED≌△CDF(S.A.S.).
.∴.DE=DF.G是EF的中点，.∴.DGEF.(共8张PPT)
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思路一己知两边常考虑“SAS”或“SSS”
1.如图，AC,BD相交于点O,且AB=DC,
AC=DB,求证：∠A=∠D.
证明：连接BC.在△ABC和
AB=DC,
△DCB中，AC=DB,.∴.△ABC≌
BC=CB,
B
△DCB(S.S.S.),.∴.∠A=∠D.
2.如图，A,F,C,D四点在同一直线上，
AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.求证：
(1)△ABC≌△DEF;
(2)∠CBF=∠FEC.
证明：(1).AF=CD,
.∴.AF+CF=CD+CF,..
AC=DF.又.AB∥DE,
.∴.∠A=∠D.在△ABC和
△DEF中，
B
AB=DE,
∠A=∠D,.∴.△ABC2△DEF(S.A.S.).
AC=DF,
(2).△ABC≌△DEF,.∴.EF=BC,∠ACB=
∠DFE.在△FBC和△CEF中，
BC=EF,
/CB=CFE,.∴.△FBC≌CEF(S.A.S.)
F℃=CF,
.∴∠CBF=∠FEC.
思路二已知一边一角常考虑“SAS”或
“ASA”或“A.A.S.”
3.如图，在△ABC中，点E在AB上，点D
在BC上，BD=BE,∠BAD=∠BCE,
AD与CE相交于点F,试判断AF与CF
的数量关系，并说明理由.
解：AF=CF.
理由：易证△ABD≌
△CBE(A.A.S.),
E
.∴.AB=CB,.∴.AB-BE=
CB-BD,即AE=CD.又
B
D
∠EAF=∠DCF,∠EFA
=∠DFC,.∴.△AEF≌△CDF(A.A.S.),.∴.AF
=CF.
4.如图，BM,CN分别是△ABC的高，且
BP=AC,CQ=AB,请问AP与AQ有什
么样的数量关系？请说明理由.
解：AP=AQ.理由如下：
.BM⊥AC,CN⊥AB,
M
D
.∴.∠ABP+∠BAM=90°，
∠ACQ+∠BAM=90°.
.∴.∠ABP=∠AC0.在
B
(AC=PB,
△ACQ和△PBA中，∠ACQ=∠PBA,
OC=AB,
.∴.△AC0≌△PBA(S.A.S.)..∴.AQ=AP.
思路三己知两角常考虑“ASA”或“AAS”
5.如图，D是AB上一点，DF交AC于点
E,AE=EC,CF∥AB,求证：AD=CF.
证明：.CF∥AB,..∠A=
∠ECF,∠ADE=∠F,又
E
F
D
.∴AE=EC,.∴.△ADE≌△CFE
(AAS.),.∴.AD=CF.
B
C(共9张PPT)
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1.阅读：已知a十b=一4，ab=3,求a2十b
的值.
解：.a十b=一4，ab=3,
.∴.a2+b2=(a+b)2-2ab=(-4)2-2X
3=10.
已知a十b=6,ab=2,请你根据上述解题
思路求下列各式的值，
(1)a2+b2;
(2)(a-b)2;
2.我们知道完全平方公式(a十b)2=a十
2ab+b,(a-b)2=a2-2ab十b2.两式相
加得(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2,即
a2+=2[(a十b)2+(a-b)2];两式相
减得(a十b)2-(a-b)2=4ab,即ab=
1[(a+b)2-(a-b)2].
请利用以上性质完成下列问题：
已知(x十y)2=6,(x一y)2=2,试求：
解：.x2-3x=1,.∴.x2-3x-1=0,
∴x-3-1=0,即x-1=3,
2+是=(x-2)242=3+2=1.
请根据上述解题思路解答下列问题：
若a2-5a-1=0,求a2+2
2
4.已知(m一53)(m-47)=24,求(m-53)2十
(m一47)2的值.
解：(m-53)2+(m-47)2=[(m-53)-(m-
47)]2+2(m-53)(m-47)=(-6)2+48=84.
5.已知a一b=2,ab=3,求a4十b的值.
解：.‘a2+b2=(a-b)2+2ab=4+6=10,
.∴.a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2=102-2×32=
82.
6.已知x2+y2=25,x+y=7.
(1)求xy的值；
(2)若y>x,求x-y的值.
解：(1)y=2[(x+y)2-(2+y2)门=
2×[7-251=12.
(2)(x-y)2=(x+y)2-4xy=72-4×12=1,
:y>x,x-y0,.x-y=-1.(共9张PPT)
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类型一十字相乘法
(1)对于二次三项式ax2十bx十c,将a
和c分别分解成两个因数的乘积，a=a1·
a2,c=C1·c2,且满足b=a1c2十a2c1,运算时
往往写成X
的形式，则有ax2十bx十
C2
C2
c=(a1x+c1)(a2x+c2).
(2)二次三项式x2十x十q的分解：
卫=a十b,q=ab,运算时往往写成
1X6
的形式，则有x2十x十q=(x十
a)(x+b)
(3)把x2十px十q分解因式时，如果常
数项g是正数，那么把它分解成两个同号的
因数，这两个因数的符号与一次项系数p的
符号相同；如果常数项q是负数，那么把它
分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的
因数与一次项系数力的符号相同.对于分解
成的两个因数，还要看它们的和是不是等于
一次项系数.
1.分解因式：
(1)x2+3x+2;
解：原式=(x+1)(x+2);
1X2
(2)x2-2x-8;
解：原式=(x+2)(x一4)；
(3)x2+5x-6;
解：原式=(x-1)(x+6);
/-1
(5)2x2+3x-20;
解：原式=(2x-5)(x+4);
X
(6)8x2-24x+10.
解：原式=(2x-1)(4x-10)
=2(2x-1)(2x-5).
2
x/-1
4
-10
类型二分组分解法
对于四项多项式的因式分解可以按
“二、二”分组，也可以按“三、一”分组或“一、
三”分组.
2.分解因式：
(1)m-mnmx-nx;
解：原式=(m2-mn)+(mx-nx)
=1m(1m-1n)+x(m-n)
=(m-n)(m+x);
(2)x2y2-x2+y2-1;
解：原式=(x2y2-x2)+(y2-1)
=x2(y2-1)+(y2-1)
=(y2-1)(x2+1)
=(y+1)(y-1)(x2+1);
(3)4-x2+2xy-y2;
解：原式=4-(x2-2xy+y2)
=22-(x-y)2
=(2+x-y)(2-x+y);
(4)a2+b2+2ab-16:
解：原式=(a2+2ab+b2)-16
=(a+b)2-42
=(a+b+4)(a+b-4);
(5)m3-2m2-4m+8.
解：原式=(m3-2m2)-(4m-8)
=m2(m-2)-4(m-2)
=(m-2)(m2-4)
=(m-2)(m-2)(m+2)
=(m-2)2(m+2).