山东省东营市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2018七上·武汉月考） 的相反数是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·东营）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·东营）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·东营）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·东营）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·东营）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·东营）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是关于x的一元二次方程的一个根
D．点，在抛物线上，当时
10．（2023·东营）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
二、填空题
11．（2023·东营）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记数法可以表示为 ．
12．（2023·东营）因式分解： ．
13．（2023·东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
14．（2023·东营）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
15．（2023·东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
16．（2023·东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．
17．（2023·东营）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
18．（2023·东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．
三、解答题
19．（2023·东营）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
20．（2023·东营）随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，一共抽取了 名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为 ；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数；
（4）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率．
21．（2023·东营）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
22．（2023·东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
23．（2023·东营）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24．（2023·东营）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
25．（2023·东营）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：－2的相反数是2．故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0），得到正确选项.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、平方差公式进行运算即可求解。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠BED为△CDE的外角，
∴∠BED=∠D+∠C，
∴∠C=20°，
∵AB∥CD，
∴∠B=20°，
故答案为：B
【分析】先根据三角形外角的性质结合题意即可得到∠C=20°，进而根据平行线的性质即可求解。
4．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；中心对称及中心对称图形；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得第二幅图和第四幅图既是轴对称图形又是中心对称图形，
∴小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是，
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合等可能事件的概率即可求解。
5．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量为x千克，由题意得，
故答案为：A
【分析】设第一批面粉采购量为x千克，根据“，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元”即可列出分式方程，进而即可求解。
6．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线为l，圆锥底面半径为r，
由题意得，
∵l=5，
∴r=3，
故答案为：A
【分析】设母线为l，圆锥底面半径为r，根据圆锥侧面积公式代入即可求解。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△BED∽△CDA，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到∠B=∠C=60°，进而结合题意即可得到∠CAD=∠EDB，再根据相似三角形的判定与性质证明△BED∽△CDA即可得到，再结合题意代入数值即可求解。
8．【答案】B
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：延长B'C'交x轴于点D，如图所示：
∵菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，
∴∠BOA=∠BOC=30°，∠ABC=60°，
由旋转得∠COC'=60°，
∴∠CB'O=30°，BA=CB'，
∴∠DOB'=60°，
∴∠ODB'=90°，
∵菱形的边长为，
∴B'C=OC=，
∴，OD=，
∴DB'=，
∴点的坐标是，
故答案为：B
【分析】延长B'C'交x轴于点D，先根据菱形的性质结合题意即可得到∠BOA=∠BOC=30°，∠ABC=60°，进而根据旋转的性质得到∠COC'=60°，进而得到∠CB'O=30°，BA=CB'，从而得到∠ODB'=90°，再根据题意结合勾股定理即可得到，OD=，从而即可得到DB'=，进而即可得到点B'的坐标。
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
A、∵对称轴为直线，
∴，
∴b=2a，
∴2a-b=0，A不符合题意；
B、当x=-2时，，B不符合题意；
C、∵对称轴为直线，点A的坐标为，
∴B（2，0），
∴是关于x的一元二次方程的一个根，C符合题意；
D、∵函数开口向上，
∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，
∴当时，，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数对称轴即可得到b=2a，进而即可判断A；根据当x=-2时，即可判断B；根据B（2，0），即可判断C；根据二次函数的图象与性质即可得到当x＞-1时，y随x的增大而增大，进而即可求解。
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FCD=∠EDA=90°，DA=DC=CB=BA=4，
∴CF=ED，
∴△FCD≌△EDA（SAS），
∴∠CDF=∠EAD，
∵∠CDF+∠GDA=90°，
∴∠EAD+∠GDA=90°，
∴∠MGA=∠DGA=90°，
∵平分，
∴∠GAM=∠GAD，
∴△GMA≌△GAD（ASA），
∴MG=DG，AM=AD=4，
∴垂直平分，①正确；
由①得∠EDG=∠EAD，∠EGD=∠EDA=90°，DE=CF，
∴△EGD∽△EDA，
∴，
∵DE=CF，
∴，③正确；
∵DA=DC=CB=BA=4，
由勾股定理得，
∵AM=AD=4，
∴，
设△MDA和△CMD的高为h，
∴，
解得，
∴，④错误；
∵MG=DG，
∴M关于AG的对称点为D，过点D作DN'⊥AC与点N'，交AE于点P'，如图所示：
∴的最小值为N'D，
∴，②错误；
∴正确的是①③，
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质即可得到∠FCD=∠EDA=90°，DA=DC=CB=BA=4，进而得到CF=ED，再根据三角形全等的判定与性质证明△FCD≌△EDA（SAS）即可得到∠CDF=∠EAD，进而结合题意即可得到∠MGA=∠DGA=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠GAM=∠GAD，进而证明△GMA≌△GAD（ASA）即可得到MG=DG，AM=AD=4，从而运用垂直平分线的性质即可判断①；根据题意运用相似三角形的判定与性质证明△EGD∽△EDA即可得到，进而即可判断③；先根据勾股定理求出AC，进而得到CM，设△MDA和△CMD的高为h，根据三角形的面积公式即可求出h，进而根据三角形的面积即可判断④；先根据题意得到M关于AG的对称点为D，过点D作DN'⊥AC与点N'，交AE于点P'，的最小值为N'D，再根据h=DN'即可判断②。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000003用科学记数法可以表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据提公因式法和公式法进行因式分解即可求解。
13．【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，
∴△BFC∽△BGA，
∴，
∵，，，
∴CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，
∴，
故答案为：-1
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，进而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据点的坐标得到CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，进而代入即可求解。
14．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得丁的射击测试成绩的平均数最大且方差最小，
∴丁的成绩又好又稳定，
故答案为：丁
【分析】根据平均数和方差的定义结合题意即可求解。
15．【答案】50
【知识点】平行线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画图，如图所示：
∴CB=40km，BA=30km，∠CBM=30°，∠NAB=60°，NA∥BM，
∴∠MBA=120°，
∴∠CBA=90°，
由勾股定理得，
∴A，C两港之间的距离为50km，
故答案为：50
【分析】先根据题意画图，进而得到CB=40km，BA=30km，∠CBM=30°，∠NAB=60°，NA∥BM，再根据平行线的性质即可得到∠MBA=120°，进而得到∠CBA=90°，最后运用勾股定理结合题意即可求解。
16．【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，如图所示：
∵寸，，
∴EB=AE=5寸，
设OA=a，则CO=DO=a，OE=a-1，
由勾股定理得，
解得a=13，
∴CD=2a=26寸，
故答案为：26
【分析】连接AO，先根据垂径定理即可得到EB=AE=5寸，设OA=a，则CO=DO=a，OE=a-1，根据勾股定理即可求出a，进而即可得到CD的长。
17．【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，如图所示：
∴∠BMC=∠MCA，
由题意得GC为∠BCA的角平分线，
∴∠MCB=∠MCA，
∴∠MCB=∠BMC，
∴CB=BM，
∵MB∥CA，
∴△GMB∽△GCA，
∴，
∴，
∴的面积为12，
故答案为：12
【分析】过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，进而得到∠BMC=∠MCA，先根据题意结合角平分线的性质即可得到∠MCB=∠MCA，进而得到∠MCB=∠BMC，再根据等腰三角形的性质即可得到CB=BM，进而根据相似三角形的判定与性质证明△GMB∽△GCA，结合题意即可得到，进而即可求解。
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：由题意得令y=0，解得x=1，
∴，
∵以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，
∴，
∴，
令y=1，解得，
∴，
∴，
∴，
令，解得，
∴，
∴，
∴的横坐标为，
......
∴的横坐标是，
故答案为：
【分析】先根据题意结合一次函数的性质和正方形的性质求出，，的横坐标为，进而即可得到规律求解。
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
由题意可知：，，，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）运用特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的绝对值、负整数指数幂、二次根式进行运算，进而即可求解；
（2）先运用分式的混合运算进行化简，再结合分式有意义的条件代入求值即可。
20．【答案】（1）24；
（2）解：选择研学基地C的学生人数(名)，
选择研学基地D的学生人数(名)，
补全图形如图所示：
；
（3）解：(名)，
答：该校选择研学基地C的学生人数是120名．
（4）解：选择研学基地D的学生有2名男生和2名女生，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选2人都是男生的结果有2种，
∴P（所选2人都是男生）．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）一共抽取了学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为，
故答案为：24；30°
【分析】（1）根据题意即可计算总人数，进而根据圆心角的计算公式即可求解；
（2）根据题意计算出选择研学基地C的学生人数和选择研学基地D的学生人数，进而补充条形统计图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解；
（4）先画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中所选2人都是男生的结果有2种，再根据等可能事件的概率即可求解。
21．【答案】（1）证明：如图：连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图：连接
∵是的直径，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而即可得到，再根据切线的判定即可求解；
（2）连接，先根据圆周角定理即可得到，再根据题意结合锐角三角函数的定义即可求出AC，进而即可得到，再结合题意即可得到，进而运用弧长的计算公式即可求解。
22．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）或
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）由图象可得，不等式 的解集是 或 ．
【分析】（1）运用待定系数法结合题意即可求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）先根据题意结合一次函数的性质即可求出点C的坐标，进而即可得到OC，再根据即可求解；
（3）直接观察图像结合交点坐标即可求解。
23．【答案】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意结合图片即可列出方程，进而得到x，再分类计算即可求解；
（2）不能，先由（1）中的式子，代入面积，进而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
24．【答案】（1）解：的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
（2）解：的中点，是的中点，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）解：是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线定理即可得到，同理，进而根据题意即可得到，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，同理，进而根据（1）中的即可求解；
（3）是直角三角形，证明如下：如图，取的中点，连接，，先根据三角形中位线定理即可得到，，同理，，进而根据题意得到，再根据平行线的性质结合题意得到，再结合题意运用等边三角形的性质证明即可得到，从而即可求解。
25．【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；矩形的性质；平移的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的函数表达式为，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可解出a，进而即可求解；
（2）根据二次函数的对称性即可得到，进而得到，当时，，进而根据矩形周长公式即可得到矩形的周长为，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据平移的性质即可得到四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到，再根据矩形的性质即可得到P是的中点，进而得到，再求出点A的坐标，进而得到CH的长即可求解。
1 / 1山东省东营市2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2018七上·武汉月考） 的相反数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：－2的相反数是2．故答案为：B．
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0），得到正确选项.
2．（2023·东营）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、平方差公式进行运算即可求解。
3．（2023·东营）如图，，点在线段上（不与点，重合），连接，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠BED为△CDE的外角，
∴∠BED=∠D+∠C，
∴∠C=20°，
∵AB∥CD，
∴∠B=20°，
故答案为：B
【分析】先根据三角形外角的性质结合题意即可得到∠C=20°，进而根据平行线的性质即可求解。
4．（2023·东营）剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；中心对称及中心对称图形；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：由题意得第二幅图和第四幅图既是轴对称图形又是中心对称图形，
∴小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是，
故答案为：C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合等可能事件的概率即可求解。
5．（2023·东营）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批面粉采购量为x千克，由题意得，
故答案为：A
【分析】设第一批面粉采购量为x千克，根据“，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元”即可列出分式方程，进而即可求解。
6．（2023·东营）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线为l，圆锥底面半径为r，
由题意得，
∵l=5，
∴r=3，
故答案为：A
【分析】设母线为l，圆锥底面半径为r，根据圆锥侧面积公式代入即可求解。
7．（2023·东营）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠BDA=∠CAD+∠C=∠EDB+∠EDA，
∴∠CAD=∠EDB，
∴△BED∽△CDA，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C
【分析】先根据等边三角形的性质即可得到∠B=∠C=60°，进而结合题意即可得到∠CAD=∠EDB，再根据相似三角形的判定与性质证明△BED∽△CDA即可得到，再结合题意代入数值即可求解。
8．（2023·东营）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：延长B'C'交x轴于点D，如图所示：
∵菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，
∴∠BOA=∠BOC=30°，∠ABC=60°，
由旋转得∠COC'=60°，
∴∠CB'O=30°，BA=CB'，
∴∠DOB'=60°，
∴∠ODB'=90°，
∵菱形的边长为，
∴B'C=OC=，
∴，OD=，
∴DB'=，
∴点的坐标是，
故答案为：B
【分析】延长B'C'交x轴于点D，先根据菱形的性质结合题意即可得到∠BOA=∠BOC=30°，∠ABC=60°，进而根据旋转的性质得到∠COC'=60°，进而得到∠CB'O=30°，BA=CB'，从而得到∠ODB'=90°，再根据题意结合勾股定理即可得到，OD=，从而即可得到DB'=，进而即可得到点B'的坐标。
9．（2023·东营）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线，若点A的坐标为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．是关于x的一元二次方程的一个根
D．点，在抛物线上，当时
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：
A、∵对称轴为直线，
∴，
∴b=2a，
∴2a-b=0，A不符合题意；
B、当x=-2时，，B不符合题意；
C、∵对称轴为直线，点A的坐标为，
∴B（2，0），
∴是关于x的一元二次方程的一个根，C符合题意；
D、∵函数开口向上，
∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，
∴当时，，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数对称轴即可得到b=2a，进而即可判断A；根据当x=-2时，即可判断B；根据B（2，0），即可判断C；根据二次函数的图象与性质即可得到当x＞-1时，y随x的增大而增大，进而即可求解。
10．（2023·东营）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠FCD=∠EDA=90°，DA=DC=CB=BA=4，
∴CF=ED，
∴△FCD≌△EDA（SAS），
∴∠CDF=∠EAD，
∵∠CDF+∠GDA=90°，
∴∠EAD+∠GDA=90°，
∴∠MGA=∠DGA=90°，
∵平分，
∴∠GAM=∠GAD，
∴△GMA≌△GAD（ASA），
∴MG=DG，AM=AD=4，
∴垂直平分，①正确；
由①得∠EDG=∠EAD，∠EGD=∠EDA=90°，DE=CF，
∴△EGD∽△EDA，
∴，
∵DE=CF，
∴，③正确；
∵DA=DC=CB=BA=4，
由勾股定理得，
∵AM=AD=4，
∴，
设△MDA和△CMD的高为h，
∴，
解得，
∴，④错误；
∵MG=DG，
∴M关于AG的对称点为D，过点D作DN'⊥AC与点N'，交AE于点P'，如图所示：
∴的最小值为N'D，
∴，②错误；
∴正确的是①③，
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质即可得到∠FCD=∠EDA=90°，DA=DC=CB=BA=4，进而得到CF=ED，再根据三角形全等的判定与性质证明△FCD≌△EDA（SAS）即可得到∠CDF=∠EAD，进而结合题意即可得到∠MGA=∠DGA=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠GAM=∠GAD，进而证明△GMA≌△GAD（ASA）即可得到MG=DG，AM=AD=4，从而运用垂直平分线的性质即可判断①；根据题意运用相似三角形的判定与性质证明△EGD∽△EDA即可得到，进而即可判断③；先根据勾股定理求出AC，进而得到CM，设△MDA和△CMD的高为h，根据三角形的面积公式即可求出h，进而根据三角形的面积即可判断④；先根据题意得到M关于AG的对称点为D，过点D作DN'⊥AC与点N'，交AE于点P'，的最小值为N'D，再根据h=DN'即可判断②。
二、填空题
11．（2023·东营）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记数法可以表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000003用科学记数法可以表示为，
故答案为：
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
12．（2023·东营）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】根据提公因式法和公式法进行因式分解即可求解。
13．（2023·东营）如图，一束光线从点出发，经过y轴上的点反射后经过点，则的值是 ．
【答案】－1
【知识点】点的坐标；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，如图所示：
∴∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，
∴△BFC∽△BGA，
∴，
∵，，，
∴CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，
∴，
故答案为：-1
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，过点A作AG⊥y轴于点G，进而得到∠BFC=∠BGA，∠FBC=∠GBA，根据相似三角形的判定与性质即可得到，进而根据点的坐标得到CF=-m，FB=1-n，BG=4，AG=2，进而代入即可求解。
14．（2023·东营）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ．
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由题意得丁的射击测试成绩的平均数最大且方差最小，
∴丁的成绩又好又稳定，
故答案为：丁
【分析】根据平均数和方差的定义结合题意即可求解。
15．（2023·东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km．
【答案】50
【知识点】平行线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意画图，如图所示：
∴CB=40km，BA=30km，∠CBM=30°，∠NAB=60°，NA∥BM，
∴∠MBA=120°，
∴∠CBA=90°，
由勾股定理得，
∴A，C两港之间的距离为50km，
故答案为：50
【分析】先根据题意画图，进而得到CB=40km，BA=30km，∠CBM=30°，∠NAB=60°，NA∥BM，再根据平行线的性质即可得到∠MBA=120°，进而得到∠CBA=90°，最后运用勾股定理结合题意即可求解。
16．（2023·东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是 寸．
【答案】26
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，如图所示：
∵寸，，
∴EB=AE=5寸，
设OA=a，则CO=DO=a，OE=a-1，
由勾股定理得，
解得a=13，
∴CD=2a=26寸，
故答案为：26
【分析】连接AO，先根据垂径定理即可得到EB=AE=5寸，设OA=a，则CO=DO=a，OE=a-1，根据勾股定理即可求出a，进而即可得到CD的长。
17．（2023·东营）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，如图所示：
∴∠BMC=∠MCA，
由题意得GC为∠BCA的角平分线，
∴∠MCB=∠MCA，
∴∠MCB=∠BMC，
∴CB=BM，
∵MB∥CA，
∴△GMB∽△GCA，
∴，
∴，
∴的面积为12，
故答案为：12
【分析】过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，进而得到∠BMC=∠MCA，先根据题意结合角平分线的性质即可得到∠MCB=∠MCA，进而得到∠MCB=∠BMC，再根据等腰三角形的性质即可得到CB=BM，进而根据相似三角形的判定与性质证明△GMB∽△GCA，结合题意即可得到，进而即可求解。
18．（2023·东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；探索图形规律；与一次函数相关的规律问题
【解析】【解答】解：由题意得令y=0，解得x=1，
∴，
∵以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，
∴，
∴，
令y=1，解得，
∴，
∴，
∴，
令，解得，
∴，
∴，
∴的横坐标为，
......
∴的横坐标是，
故答案为：
【分析】先根据题意结合一次函数的性质和正方形的性质求出，，的横坐标为，进而即可得到规律求解。
三、解答题
19．（2023·东营）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，化简后，从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
由题意可知：，，，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）运用特殊角的三角函数值、零指数幂、实数的绝对值、负整数指数幂、二次根式进行运算，进而即可求解；
（2）先运用分式的混合运算进行化简，再结合分式有意义的条件代入求值即可。
20．（2023·东营）随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，一共抽取了 名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为 ；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数；
（4）学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率．
【答案】（1）24；
（2）解：选择研学基地C的学生人数(名)，
选择研学基地D的学生人数(名)，
补全图形如图所示：
；
（3）解：(名)，
答：该校选择研学基地C的学生人数是120名．
（4）解：选择研学基地D的学生有2名男生和2名女生，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选2人都是男生的结果有2种，
∴P（所选2人都是男生）．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）一共抽取了学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为，
故答案为：24；30°
【分析】（1）根据题意即可计算总人数，进而根据圆心角的计算公式即可求解；
（2）根据题意计算出选择研学基地C的学生人数和选择研学基地D的学生人数，进而补充条形统计图即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识即可求解；
（4）先画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，其中所选2人都是男生的结果有2种，再根据等可能事件的概率即可求解。
21．（2023·东营）如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图：连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图：连接
∵是的直径，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质即可得到，，进而得到，再根据平行线的判定与性质即可得到，进而即可得到，再根据切线的判定即可求解；
（2）连接，先根据圆周角定理即可得到，再根据题意结合锐角三角函数的定义即可求出AC，进而即可得到，再结合题意即可得到，进而运用弧长的计算公式即可求解。
22．（2023·东营）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）或
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】解：（3）由图象可得，不等式 的解集是 或 ．
【分析】（1）运用待定系数法结合题意即可求出反比例函数和一次函数的解析式；
（2）先根据题意结合一次函数的性质即可求出点C的坐标，进而即可得到OC，再根据即可求解；
（3）直接观察图像结合交点坐标即可求解。
23．（2023·东营）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的其他应用
【解析】【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意结合图片即可列出方程，进而得到x，再分类计算即可求解；
（2）不能，先由（1）中的式子，代入面积，进而根据一元二次方程根的判别式即可求解。
24．（2023·东营）（1）用数学的眼光观察．
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：．
（2）用数学的思维思考．
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
（3）用数学的语言表达．
如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
【答案】（1）解：的中点，是的中点，
.
同理，.
，
.
.
（2）解：的中点，是的中点，
，
.
同理，.
由（1）可知，
.
（3）解：是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，，
是的中点，
，.
同理，，.
，
.
.
，
，
.
，
.
又，
是等边三角形，
.
又，
.
，
.
是直角三角形.
故答案为：是直角三角形.
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形中位线定理即可得到，同理，进而根据题意即可得到，再根据等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据平行线的性质即可得到，同理，进而根据（1）中的即可求解；
（3）是直角三角形，证明如下：如图，取的中点，连接，，先根据三角形中位线定理即可得到，，同理，，进而根据题意得到，再根据平行线的性质结合题意得到，再结合题意运用等边三角形的性质证明即可得到，从而即可求解。
25．（2023·东营）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．
【答案】（1）解：设抛物线的函数表达式为．
∵当时，，
∴点C的坐标为．
将点C坐标代入表达式，得，
解得．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：由抛物线的对称性得：，
∴．
当时，．
∴矩形的周长为
．
∵，
∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为．
（3）解：连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接．
∵直线平分矩形的面积，
∴直线过点P．．
由平移的性质可知，四边形是平行四边形，
∴．
∵四边形是矩形，
∴P是的中点．
∴．
当时，点A的坐标为，
∴．
∴抛物线平移的距离是4．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；矩形的性质；平移的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的函数表达式为，再求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可解出a，进而即可求解；
（2）根据二次函数的对称性即可得到，进而得到，当时，，进而根据矩形周长公式即可得到矩形的周长为，再根据二次函数的最值即可求解；
（3）连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据平移的性质即可得到四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质得到，再根据矩形的性质即可得到P是的中点，进而得到，再求出点A的坐标，进而得到CH的长即可求解。
1 / 1
