贵州省2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·贵州）5的绝对值是（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2023·贵州）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·贵州）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元.10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州）如图，与相交于点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·贵州）化简结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2023·贵州）“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
包装 甲 乙 丙 丁
销售量（盒）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
7．（2023·贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·贵州）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．模出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
9．（2023·贵州）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·贵州）已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2023·贵州）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2023·贵州）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为
B．小星从家出发第1小时的平均速度为
C．小星从家出发2小时离景点的路程为
D．小星从家到黄果树景点的时间共用了
二、填空题
13．（2017八上·临海期末）因式分解： .
14．（2023·贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．
15．（2023·贵州）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
16．（2023·贵州）如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是 ．
三、解答题
17．（2023·贵州）（1）计算：；
（2）已知，．若，求的取值范围．
18．（2023·贵州）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
某校学生一周体育锻炼调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4） 问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是（ ） A.0～4小时 B.4～6小时 C.6～8小时 D.8～小时及以上 问题2：你体育镀炼的动力是（ ） E．家长要求 F．学校要求 G．自己主动 H．其他
（1）参与本次调查的学生共有 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 人；
（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；
（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．
19．（2023·贵州）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
20．（2023·贵州）如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可 证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接，若，求的长．
21．（2023·贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围．
22．（2023·贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）
（1）求索道的长（结果精确到）；
（2）求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
23．（2023·贵州）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角： ，图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
24．（2023·贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
25．（2023·贵州）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．
（1）【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形 ，图中的度数为 度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得5的绝对值是5，
故答案为：B
【分析】根据绝对值的定义结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得从正面看，得到的平面图形是，
故答案为：A
【分析】根据简单几何体的三视图即可求解。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得10870这个数用科学记数法表示为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C=40°，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质即可求解。
5．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】根据分式相减即可求解。
6．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，
∴影响经销商决策的统计量是众数，
故答案为：C
【分析】根据众数的定义结合题意即可求解。
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CB于点D，如图所示：
∵△ABC为等腰三角形，它的顶角为，
∴∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∵腰长AB为，
∴AD=6m，
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥CB于点D，先根据等腰三角形的性质即可得到∠BAD=60°，进而得到∠B=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
8．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，
∴摸出“高铁”小球的可能性最大，
故答案为：C
【分析】根据标有“高铁”的小球的数目多结合等可能事件的概率即可求解。
9．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x户人家，由题意得，
故答案为：C
【分析】设有x户人家，根据“今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完”即可列出方程，进而即可求解。
10．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得a＞0，，
∴b＜0，
∴点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象和性质即可判断a和b的大小，进而根据象限内点坐标的特征即可求解。
11．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得GD平分∠CDA，
∴∠GDC=∠GDA，
∵，
∴∠DGC=∠GDA，
∴∠DGC=∠GDC，
∴DC=GC=3，
∴BG=5-3=2，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠GDC=∠GDA，进而根据平行线的性质得到∠DGC=∠GDA，从而得到∠DGC=∠GDC，再根据等腰三角形的性质即可得到DC=GC=3，进而即可求解。
12．【答案】D
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：
A、小星家离黄果树景点的路程为，A不符合题意；
B、小星从家出发第1小时的平均速度为，B不符合题意；
C、小星从家出发2小时离景点的路程为，C不符合题意；
D、小明离家1小时后的行驶速度为，
∴还需要行驶1小时，
∴小星从家到黄果树景点的时间共用了，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据函数图象结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
14．【答案】
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵贵阳北站的坐标是，
∴建立平面直角坐标系如图：
∴龙洞堡机场的坐标是，
故答案为：
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，进而直接读出坐标即可求解。
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴k=，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，，
∴，
∴∠CAB=60°，∠BCA=30°，
∴∠ACB=∠ECA=30°，∠EAC=15°，
在BC截取EC=FC，连接FA，如图所示：
∴∠FCA=∠ECA，
∴△ECA≌△FCA，
∴∠FAC=15°，△ECA的面积与△FCA的面积相等，
∴∠BFA=45°，
∴∠FAB=45°，
∴BF=BA=1，
∴，
∴四边形的面积是，
故答案为：
【分析】连接CA，先根据矩形的性质即可得到∠B=90°，，进而根据锐角三角函数的定义结合特殊角的三角函数值即可得到∠CAB=60°，∠BCA=30°，进而得到∠ACB=∠ECA=30°，∠EAC=15°，在BC截取EC=FC，连接FA，进而得到∠FCA=∠ECA，再根据三角形全等的判定与性质证明△ECA≌△FCA即可得到∠FAC=15°，△ECA的面积与△FCA的面积相等，进而根据等腰直角三角形的性质证明BF=BA=1，即可得到，再根据四边形的面积=即可求解。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：由得：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即的取值范围为：．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；有理数的乘方
【解析】【分析】（1）运用有理数的乘方、零指数幂进行运算即可求解；
（2）根据题意即可得到不等式，进而解不等式即可求解。
18．【答案】（1）200；122
（2）解：人，
∴估计全校可评为“运动之星”的人数为442人；
（3）解：体育锻炼是强身健体的一个非常好的途径，只有有一个良好的身体状况，才能更好的把自己的精力投入到学习中，因此建议学生多多主动加强每周的体育锻炼时间．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）参与本次调查的学生共有36+72+58+34=200人，
∴选择“自己主动”体育锻炼的学生有200×61%=122人，
故答案为：200；122；
【分析】（1）根据题意将数据相加即可求出总人数，进而即可求出选择“自己主动”体育锻炼的学生人数；
（2）根据样本估计总体的知识即可求解；
（3）根据题意即可求解。
19．【答案】（1）
（2）解：由题意知：，
去分母，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品，
∴更新设备后每天生产件产品，
故答案为：1.25x，
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设更新设备前每天生产x件产品，根据“更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天”即可列出分式方程，进而即可求解。
20．【答案】（1）解：证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，
由①可知四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
在中，，
，
解得
即的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①选择小星的说法，证明如下：连接，先根据平行四边形的判定与性质即可得到，进而得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定与性质即可求解；
②选择小红的说法，证明如下：连接，，由①可知四边形是矩形，进而根据矩形的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，进而即可求解；
（2）连接，先根据题意即可得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出AC，进而即可求解。
21．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与交于点和点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】【解答】（2） 解：当直线 经过点 时，则 ，解得 ；
当直线 经过点 时，则 ，解得 ；
∵一次函数 与反比例函数 的图象相交于点 ，当点 在反比例函数图象上 之间的部分时（点 可与点 重合），
∴ ．
【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而根据题意得到，点E的纵坐标为2，再代入反比例函数即可得到反比例函数的解析式，进而即可求解；
（2）根据题意进行分类：当直线 经过点 时，当直线 经过点 时，进而求出m，再结合题意即可求解。
22．【答案】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用解直角三角形的知识即可求解；
（2）先根据题意即可得到，，再根据即可求解。
23．【答案】（1）、、、；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，
∵CE为直径，
∴∠EBC=∠EAE=90°，
∴∠4=∠3=30°，
∴的角的有、、、，
∵OC为∠ACB的角平分线，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，
∴△DCB≌△DCA（ASA），
故答案为：、、、；；
【分析】（1）先根据等边三角形外接圆的性质结合等边三角形的性质即可得到∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，进而根据圆周角定理即可得到∠EBC=∠EAE=90°，从而得到∠4=∠3=30°，再根据角平分线的性质即可得到∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；
（2）连接，，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而根据菱形的判定即可求解。
24．【答案】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，
，
作点B关于y轴的对称点，
则，，
，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，位置如下图所示：
（3）解：中，
抛物线开口向下，
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
综上可知，或，
的取值范围为．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的解析式为，进而结合题意得到点C和点A的坐标，然后将点C和点A的坐标代入即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到点B的坐标，进而作点B关于y轴的对称点，则，，从而得到，当，，A共线时，拉杆长度之和最短，再运用待定系数法求出直线AB'的解析式，进而即可得到点P的坐标；
（3）根据二次函数的性质结合x的取值范围进行分类讨论，进而即可得到b的取值范围。
25．【答案】（1）如图所示：；135
（2）解：；理由如下：
连接，如图所示：
根据旋转可知，，
∵，
∴、P、B、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
即；
当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：
根据旋转可知，，
∵，
∴、B、P、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即；
综上分析可知，或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
∵∠C=90°，CB=AC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠DBA=90°，
∴∠CBE=90°+45°=135°，
故答案为：；135；
【分析】（1）先根据题意画图，进而根据等腰直角三角形的性质即可得到∠CAB=∠CBA=45°，进而结合垂直的定义即可求解；
（2）；理由如下：连接，先根据旋转的性质即可得到，进而结合题意即可得到、P、B、E四点共圆，进而得到，再求出，运用等腰三角形的性质即可求解；
（3）当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，根据解析（2）可知，，进而证明，运用三角形全等的判定与性质即可得到，进而根据等腰直角三角形的性质即可得到BE和BA，从而即可求解；当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，先根据旋转的性质即可得到，进而得到、B、P、E四点共圆，再证明，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，然后运用等腰直角三角形的性质即可求解。
1 / 1贵州省2023年中考数学试卷
一、单选题
1．（2023·贵州）5的绝对值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意得5的绝对值是5，
故答案为：B
【分析】根据绝对值的定义结合题意即可求解。
2．（2023·贵州）如图所示的几何体，从正面看，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意得从正面看，得到的平面图形是，
故答案为：A
【分析】根据简单几何体的三视图即可求解。
3．（2023·贵州）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元.10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：由题意得10870这个数用科学记数法表示为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
4．（2023·贵州）如图，与相交于点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠C=40°，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质即可求解。
5．（2023·贵州）化简结果正确的是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】根据分式相减即可求解。
6．（2023·贵州）“石阡苔茶”是贵州十大名茶之一，在我国传统节日清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的苔茶（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，影响经销商决策的统计量是（ ）
包装 甲 乙 丙 丁
销售量（盒）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵最终决定增加乙种包装苔茶的进货数量，
∴影响经销商决策的统计量是众数，
故答案为：C
【分析】根据众数的定义结合题意即可求解。
7．（2023·贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CB于点D，如图所示：
∵△ABC为等腰三角形，它的顶角为，
∴∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∵腰长AB为，
∴AD=6m，
故答案为：B
【分析】过点A作AD⊥CB于点D，先根据等腰三角形的性质即可得到∠BAD=60°，进而得到∠B=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。
8．（2023·贵州）在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．模出“北斗”小球的可能性最大
B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大
D．摸出三种小球的可能性相同
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，
∴摸出“高铁”小球的可能性最大，
故答案为：C
【分析】根据标有“高铁”的小球的数目多结合等可能事件的概率即可求解。
9．（2023·贵州）《孙子算经》中有这样一道题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有x户人家，由题意得，
故答案为：C
【分析】设有x户人家，根据“今有100头鹿，每户分一头鹿后，还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰好分完”即可列出方程，进而即可求解。
10．（2023·贵州）已知，二次数的图象如图所示，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由题意得a＞0，，
∴b＜0，
∴点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】根据二次函数的图象和性质即可判断a和b的大小，进而根据象限内点坐标的特征即可求解。
11．（2023·贵州）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得GD平分∠CDA，
∴∠GDC=∠GDA，
∵，
∴∠DGC=∠GDA，
∴∠DGC=∠GDC，
∴DC=GC=3，
∴BG=5-3=2，
故答案为：A
【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠GDC=∠GDA，进而根据平行线的性质得到∠DGC=∠GDA，从而得到∠DGC=∠GDC，再根据等腰三角形的性质即可得到DC=GC=3，进而即可求解。
12．（2023·贵州）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小星家离黄果树景点的路程为
B．小星从家出发第1小时的平均速度为
C．小星从家出发2小时离景点的路程为
D．小星从家到黄果树景点的时间共用了
【答案】D
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【解答】解：
A、小星家离黄果树景点的路程为，A不符合题意；
B、小星从家出发第1小时的平均速度为，B不符合题意；
C、小星从家出发2小时离景点的路程为，C不符合题意；
D、小明离家1小时后的行驶速度为，
∴还需要行驶1小时，
∴小星从家到黄果树景点的时间共用了，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据函数图象结合题意即可求解。
二、填空题
13．（2017八上·临海期末）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
14．（2023·贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵贵阳北站的坐标是，
∴建立平面直角坐标系如图：
∴龙洞堡机场的坐标是，
故答案为：
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，进而直接读出坐标即可求解。
15．（2023·贵州）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴k=，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
16．（2023·贵州）如图，在矩形中，点为矩形内一点，且，，则四边形的面积是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CA，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，，
∴，
∴∠CAB=60°，∠BCA=30°，
∴∠ACB=∠ECA=30°，∠EAC=15°，
在BC截取EC=FC，连接FA，如图所示：
∴∠FCA=∠ECA，
∴△ECA≌△FCA，
∴∠FAC=15°，△ECA的面积与△FCA的面积相等，
∴∠BFA=45°，
∴∠FAB=45°，
∴BF=BA=1，
∴，
∴四边形的面积是，
故答案为：
【分析】连接CA，先根据矩形的性质即可得到∠B=90°，，进而根据锐角三角函数的定义结合特殊角的三角函数值即可得到∠CAB=60°，∠BCA=30°，进而得到∠ACB=∠ECA=30°，∠EAC=15°，在BC截取EC=FC，连接FA，进而得到∠FCA=∠ECA，再根据三角形全等的判定与性质证明△ECA≌△FCA即可得到∠FAC=15°，△ECA的面积与△FCA的面积相等，进而根据等腰直角三角形的性质证明BF=BA=1，即可得到，再根据四边形的面积=即可求解。
三、解答题
17．（2023·贵州）（1）计算：；
（2）已知，．若，求的取值范围．
【答案】（1）解：
；
（2）解：由得：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即的取值范围为：．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式；有理数的乘方
【解析】【分析】（1）运用有理数的乘方、零指数幂进行运算即可求解；
（2）根据题意即可得到不等式，进而解不等式即可求解。
18．（2023·贵州）为加强体育锻炼，某校体育兴趣小组，随机抽取部分学生，对他们在一周内体育锻炼的情况进行问卷调查，根据问卷结果，绘制成如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题：
某校学生一周体育锻炼调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写（其中0～4表示大于等于0同时小于4） 问题：你平均每周体育锻炼的时间大约是（ ） A.0～4小时 B.4～6小时 C.6～8小时 D.8～小时及以上 问题2：你体育镀炼的动力是（ ） E．家长要求 F．学校要求 G．自己主动 H．其他
（1）参与本次调查的学生共有 人，选择“自己主动”体育锻炼的学生有 人；
（2）已知该校有2600名学生，若每周体育锻炼8小时以上（含8小时）可评为“运动之星”，请估计全校可评为“运动之星”的人数；
（3）请写出一条你对同学体育锻炼的建议．
【答案】（1）200；122
（2）解：人，
∴估计全校可评为“运动之星”的人数为442人；
（3）解：体育锻炼是强身健体的一个非常好的途径，只有有一个良好的身体状况，才能更好的把自己的精力投入到学习中，因此建议学生多多主动加强每周的体育锻炼时间．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）参与本次调查的学生共有36+72+58+34=200人，
∴选择“自己主动”体育锻炼的学生有200×61%=122人，
故答案为：200；122；
【分析】（1）根据题意将数据相加即可求出总人数，进而即可求出选择“自己主动”体育锻炼的学生人数；
（2）根据样本估计总体的知识即可求解；
（3）根据题意即可求解。
19．（2023·贵州）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产 件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【答案】（1）
（2）解：由题意知：，
去分母，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）∵更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品，
∴更新设备后每天生产件产品，
故答案为：1.25x，
【分析】（1）直接根据题意即可求解；
（2）设更新设备前每天生产x件产品，根据“更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天”即可列出分式方程，进而即可求解。
20．（2023·贵州）如图，在中，，延长至D，使得，过点A，D分别作，，与相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接，则可 证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）解：证明：①选择小星的说法，证明如下：
如图，连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
又，点D在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
；
②选择小红的说法，证明如下：
如图，连接，，
由①可知四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
（2）解：如图，连接，
，，
，
，
在中，，
，
解得
即的长为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①选择小星的说法，证明如下：连接，先根据平行四边形的判定与性质即可得到，进而得到，再根据平行四边形的判定和矩形的判定与性质即可求解；
②选择小红的说法，证明如下：连接，，由①可知四边形是矩形，进而根据矩形的性质得到，再根据平行四边形的性质得到，进而即可求解；
（2）连接，先根据题意即可得到，进而得到，再根据勾股定理即可求出AC，进而即可求解。
21．（2023·贵州）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，反比例函数的图象分别与交于点和点，且点为的中点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）若一次函数与反比例函数的图象相交于点，当点在反比例函数图象上之间的部分时（点可与点重合），直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点E的纵坐标为2，
∵反比例函数的图象分别与交于点和点，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；矩形的性质
【解析】【解答】（2） 解：当直线 经过点 时，则 ，解得 ；
当直线 经过点 时，则 ，解得 ；
∵一次函数 与反比例函数 的图象相交于点 ，当点 在反比例函数图象上 之间的部分时（点 可与点 重合），
∴ ．
【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而根据题意得到，点E的纵坐标为2，再代入反比例函数即可得到反比例函数的解析式，进而即可求解；
（2）根据题意进行分类：当直线 经过点 时，当直线 经过点 时，进而求出m，再结合题意即可求解。
22．（2023·贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）
（1）求索道的长（结果精确到）；
（2）求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据题意运用解直角三角形的知识即可求解；
（2）先根据题意即可得到，，再根据即可求解。
23．（2023·贵州）如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，．
（1）写出图中一个度数为的角： ，图中与全等的三角形是 ；
（2）求证：；
（3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）、、、；
（2）证明：∵，，
∴；
（3）解：连接，，
∵，，
∴ ，是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：（1）∵是等边三角形的外接圆，
∴∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，
∵CE为直径，
∴∠EBC=∠EAE=90°，
∴∠4=∠3=30°，
∴的角的有、、、，
∵OC为∠ACB的角平分线，
∴∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，
∴△DCB≌△DCA（ASA），
故答案为：、、、；；
【分析】（1）先根据等边三角形外接圆的性质结合等边三角形的性质即可得到∠BAC=∠CBA=∠ACB=60°，∠1=∠2=30°，进而根据圆周角定理即可得到∠EBC=∠EAE=90°，从而得到∠4=∠3=30°，再根据角平分线的性质即可得到∠CDB=∠CDA=90°，∠6=∠5=60°，进而根据三角形全等的判定（ASA）即可求解；
（2）连接，，先根据等边三角形的判定与性质即可得到，进而根据菱形的判定即可求解。
24．（2023·贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，
，
作点B关于y轴的对称点，
则，，
，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，位置如下图所示：
（3）解：中，
抛物线开口向下，
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
综上可知，或，
的取值范围为．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先根据题意设抛物线的解析式为，进而结合题意得到点C和点A的坐标，然后将点C和点A的坐标代入即可求解；
（2）先根据二次函数的性质即可得到点B的坐标，进而作点B关于y轴的对称点，则，，从而得到，当，，A共线时，拉杆长度之和最短，再运用待定系数法求出直线AB'的解析式，进而即可得到点P的坐标；
（3）根据二次函数的性质结合x的取值范围进行分类讨论，进而即可得到b的取值范围。
25．（2023·贵州）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．
（1）【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形 ，图中的度数为 度；
（2）【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）如图所示：；135
（2）解：；理由如下：
连接，如图所示：
根据旋转可知，，
∵，
∴、P、B、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：
根据解析（2）可知，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
即；
当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：
根据旋转可知，，
∵，
∴、B、P、E四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即；
综上分析可知，或．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
∵∠C=90°，CB=AC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠DBA=90°，
∴∠CBE=90°+45°=135°，
故答案为：；135；
【分析】（1）先根据题意画图，进而根据等腰直角三角形的性质即可得到∠CAB=∠CBA=45°，进而结合垂直的定义即可求解；
（2）；理由如下：连接，先根据旋转的性质即可得到，进而结合题意即可得到、P、B、E四点共圆，进而得到，再求出，运用等腰三角形的性质即可求解；
（3）当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，根据解析（2）可知，，进而证明，运用三角形全等的判定与性质即可得到，进而根据等腰直角三角形的性质即可得到BE和BA，从而即可求解；当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，先根据旋转的性质即可得到，进而得到、B、P、E四点共圆，再证明，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，然后运用等腰直角三角形的性质即可求解。
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