2022-2023学年安徽省合肥市肥西县高二（下）期末数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年安徽省合肥市肥西县高二（下）期末数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 451.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-20 10:08:07 | ||
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文档简介
2022-2023学年安徽省合肥市肥西县高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
3. 曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4. 根据变量和的一组试验数据计算可得，，回归直线方程为，则可以预测当时，变量的估计值为( )
A. B. C. D.
5. 定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列已知数列为，，，，，，且它的二阶差数列是等差数列，则( )
A. B. C. D.
6. 已知等边的边长为，，，连接并延长交于，则( )
A. B. C. D.
7. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8. 某校高三男生的身高单位：服从正态分布，且从该校随机抽取名高三男生，其中至少有人身高超过的概率大于，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了名高血压患者开展试验，其中名患者饭前服药，另外名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是( )
A. 饭前服药的患者中，药效强的频率为
B. 药效弱的患者中，饭后服药的频率为
C. 在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
D. 在犯错误的概率不超过的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
10. 已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为
C. 在上单调递增
D. 将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象
11. 在同一直角坐标系中，函数和的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
12. 已知数列满足，，则( )
A. 数列为等比数列 B.
C. ， D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某电影院有部科幻电影和部喜剧电影即将上映，小明准备观看其中的部，且至少观看部喜剧电影，则不同的观看方案有______ 种用数字填写答案
14. 记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为______ ．
15. 某工厂的，，车间生产同一产品，产量分别占总产量的，，，且，，车间生产的产品的次品率之比为，若该工厂整体的次品率为，则车间的次品率为______ ．
16. 若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，且，求的面积．
18. 本小题分
已知数列的前项和．
Ⅰ求；
Ⅱ设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小整数值．
19. 本小题分
如图，在三棱锥中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，点在平面内的射影恰好落在棱上．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．
20. 本小题分
某社区居民中青少年、中年人、老年人的人数相同，现按三个年龄段人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取人，调查他们的日均微信步数，统计结果如下：
日均微信步数
青少年
中年人
老年人
Ⅰ求，，的值；
Ⅱ从这人中随机抽取名日均微信步数在内的中年人，记这人中日均微信步数在内的人数为，求的分布列与数学期望；
Ⅲ以样本数据中日均微信步数位于各区间的频率作为该社区居民日均微信步数位于该区间的概率，假设该社区的老年人中有年龄大于岁，且年龄大于岁的老年人中有的人日均微信步数在内，现从该社区任选一名老年人，若已知此老年人的日均微信步数在内，求他的年龄大于岁的概率．
21. 本小题分
已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线与的渐近线分别交于，两点在第一象限，为坐标原点，．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ过点且倾斜角不为的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：．
22. 本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，讨论在区间上的单调性；
Ⅱ若当时，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由得，．
故选：．
先将集合表示出来，再与集合找公共元素即可．
本题考查集合的表示与运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：为纯虚数，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，
则，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，则样本点的中心的坐标为，
代入，得，
，
把代入，可得．
故选：．
把已知样本点的中心的坐标代入线性回归方程，求得，再求求解值即可．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：该数列的一阶差数列为，，，，，
则二阶差数列为，，，，因为二阶差数列是等差数列，
故二阶差数列后面的项为，，，，
一阶差数列后面的项为，，，，
从而原数列后面的项为，，，，
故A．
故选：．
因为二阶差数列是等差数列，由此将原数列一一列举即可．
本题考查等差数列的性质，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设，，，
，
，
因为，，三点共线，所以，解得，
所以，
因为等边的边长为，
故．
故选：．
根据平面向量基本定理，计算出与的关系，再利用等边三角形的边长及夹角，即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由于表示个因式的乘积，
展开式中要得到含的项，需有两个因式取，一个因式取，剩下的个因式取；
或有三个因式取，两个因式取，剩下的一个因式取．
故展开式中的系数为．
故选：．
由题意，利用乘方的几何意义，组合数公式，计算求得结果．
本题主要考查乘方的几何意义，组合数公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：某校高三男生的身高单位：服从正态分布，且，
则，
故，
由题意可知，，即，
当时，，
当时，，
故的最小值为．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及对立事件概率和为，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及对立事件概率和为，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得：在饭前服药的患者中，药效强人有人，药性弱的有人；
在饭后服药的患者中，药效强有人，药性弱的有人；
所以饭前服药的患者中，药效强的频率为，故A正确；
药效弱的患者中，饭后服药的频率为，故B错误；
列出联列表得：
饭前 饭后 合计
药性强
药性弱
合计
所以，
在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误．
故选：．
根据等高图，判断，；
列出联列表，计算出的值，判断，．
本题考查了独立性检验、对频率分布直方图等高图的认识，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：函数．
对于：函数的最小正周期为，故A正确；
对于：当，时，函数的最大值为，故B错误；
对于：由于，故，故函数在该区间上不单调，故C错误；
对于：将的图象向左平移个单位长度得到，故该函数为偶函数，故D正确．
故选：．
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，其与轴的交点为、，
，与轴的交点为，
则，
为开口向上的二次函数，当时，有两个零点，即存在两个极值点，
依次分析选项：
对于，由的图象可得，但的图象与轴的交点在轴上方，即，有，两者矛盾，A错误；
对于，当时，，与轴的交点为，，
，与轴交点为，
，递增，符合题意，
对于，当时，与轴的交点为，，
与轴交点在轴上方，有两个极值点，符合题意；
对于，当，，，、都经过原点，
有两个极值点，符合题意．
故选：．
根据题意，先由、的解析式，分析与轴的交点情况，以及与轴的交点，的单调性等，由此分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：依题意，由两边取倒数，
可得，
两边同时减去，
可得，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，故选项A正确；
，
，
，故选项B正确；
，
数列是单调递增数列，
即，，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：．
先将题干中递推公式取倒数，再两边同时减去，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，即可判断选项A的正确性，通过计算数列的通项公式推导数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据不等式的性质即可判断与的大小关系，判断选项B的正确性，然后运用作差法判断数列的单调性，进一步判断选项C的正确性，最后运用分组求和法与等差数列与等比数列的求和公式即可计算出的结果，最后根据不等式的性质即可判断选项D的正确性．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，作差法，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：当只观看部喜剧电影时，有种观看方案，
当观看部喜剧电影时，有种观看方案，
则不同的观看方案有种．
故答案为：．
分只观看部喜剧电影和观看部喜剧电影讨论，即可得出答案．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为等差数列中，，，
所以，，
则当取最大值时，．
故答案为：．
由已知结合等差数列的求和公式及性质可得，，从而可求．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设车间的次品率为，则车间的次品率为，车间的次品率为，
则，
解得，
车间的次品率为．
故答案为：．
设车间的次品率为，则车间的次品率为，车间的次品率为，由题意可得，求出的值，进而求出车间的次品率．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，，
由题意可得与有三个不同交点，
因为，
令，则有，
解得，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
令，
解得，，
所以当时，；
当时，，
当时，，
作出的图象，如图所示：
又因为与有三个不同交点，
所以．
故答案为：．
令，，将问题转化为与有三个不同交点，利用导数确定函数的单调性，求出极值，作出的图象，结合图象即可得答案．
本题考查了转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，作出图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，即，
所以；
Ⅱ由余弦定理得，
所以，
因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
故的面积．
【解析】Ⅰ由已知结合正弦定理及同角基本关系可求，进而可求；
Ⅱ由已知结合余弦定理可求，然后结合正弦定理可求，再由三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ，
当时，，
当时，，
由得，
当时，不符合上式，
；
Ⅱ由Ⅰ得，
当时，，
当时，，
当时，
，
又，
故对任意恒成立，故，
的最小整数值为．
【解析】Ⅰ由题意得当时，，当时，，作差变形得，验证，即可得出答案；
Ⅱ由Ⅰ得，分类讨论，，利用裂项法求和，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ证明：取的中点，连接，，
由题意知平面，平面，
，
是等边三角形，是的中点，
，
又，
平面，
，
在等腰直角中，，，
，
又是的中点，是的中点，
，
又，，
平面；
Ⅱ由题意建立以为坐标原点，，所在直线分别为，轴的空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，，则，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
平面的法向量为，
又平面的一个法向量为，
，
二面角的余弦值为．
【解析】Ⅰ取的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
Ⅱ由题意建立以为坐标原点，，所在直线分别为，轴的空间直角坐标系，求出法向量，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，得，解得；
Ⅱ由Ⅰ可知，日均微信步数在内的中年人有人，在内的中年人有人，
则的所有可能取值为，，，
，
所以的概率分布列：
所以 ；
Ⅲ设表示事件“该社区老年人的日均微信步数在内”，表示事件“该社区老年人的年龄大于岁”，
由题知，，
，
则．
【解析】Ⅰ由题意得，即可求解；
Ⅱ由Ⅰ可知，日均微信步数在内的中年人有人，在内的中年人有人，则的所有可能取值为，，，计算出各自对应的概率即可求解；
Ⅲ设表示事件“该社区老年人的日均微信步数在内”，表示事件“该社区老年人的年龄大于岁”，利用条件概率公式即可求解．
本题考查统计表，随机变量的分布列与期望，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ已知双曲线的右焦点为，
所以，
又过且斜率为的直线与的渐近线分别交于，两点，
此时直线的方程为，
联立，
解得，
同理，得，
因为，
整理得，
解得，
又，
联立，解得，，
所以的方程为；
Ⅱ证明：因为过点且倾斜角不为的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，
要证，
即证的中点与的中点重合，
不妨设的中点为，直线的方程为，
联立，消去并整理得，
设，，
由韦达定理得，
而，，
即，
联立，解得，
所以，
联立，解得，
所以，
可得的中点，
因为点与点重合，
所以．
【解析】Ⅰ由题意，得到直线的方程，将直线的方程与渐近线方程联立，求出点，的纵坐标，根据，列出等式得到，结合双曲焦点坐标以及，列出等式即可求出双曲线的方程；
Ⅱ将求证，转化成求证的中点与的中点重合，设的中点为，直线的方程为，将直线的方程与双曲线方程联立，设出点，的坐标，结合韦达定理得到点的坐标；将直线的方程与双曲线渐近线方程联立，求出点的坐标，进而即可得证．
本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
22.【答案】解：Ⅰ由题意得，，则，
由得，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减；
Ⅱ当时，，令，
题意转化为当时，，
则，
令，则，
又，，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值也是极小值，即，
恒成立，
令，，
在上单调递增，即在上恒成立，
当时，，
在上单调递增，
当时，，且当时，，
当时，，即在上单调递增，
此时对于，符合题意；
当时，则，使得，即，
当时，，即在上单调递减，
此时，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【解析】Ⅰ由题意得，，则，求出，，即可得出答案；
Ⅱ构造函数，题意转化为当时，，求出，利用导数研究函数的单调性，求出最小值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
3. 曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4. 根据变量和的一组试验数据计算可得，，回归直线方程为，则可以预测当时，变量的估计值为( )
A. B. C. D.
5. 定义高阶等差数列：对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶差数列，再令，则数列是数列的二阶差数列已知数列为，，，，，，且它的二阶差数列是等差数列，则( )
A. B. C. D.
6. 已知等边的边长为，，，连接并延长交于，则( )
A. B. C. D.
7. 的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8. 某校高三男生的身高单位：服从正态分布，且从该校随机抽取名高三男生，其中至少有人身高超过的概率大于，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了名高血压患者开展试验，其中名患者饭前服药，另外名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是( )
A. 饭前服药的患者中，药效强的频率为
B. 药效弱的患者中，饭后服药的频率为
C. 在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
D. 在犯错误的概率不超过的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
10. 已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的最大值为
C. 在上单调递增
D. 将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象
11. 在同一直角坐标系中，函数和的大致图象可能为( )
A. B.
C. D.
12. 已知数列满足，，则( )
A. 数列为等比数列 B.
C. ， D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某电影院有部科幻电影和部喜剧电影即将上映，小明准备观看其中的部，且至少观看部喜剧电影，则不同的观看方案有______ 种用数字填写答案
14. 记等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时，的值为______ ．
15. 某工厂的，，车间生产同一产品，产量分别占总产量的，，，且，，车间生产的产品的次品率之比为，若该工厂整体的次品率为，则车间的次品率为______ ．
16. 若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，且，求的面积．
18. 本小题分
已知数列的前项和．
Ⅰ求；
Ⅱ设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小整数值．
19. 本小题分
如图，在三棱锥中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，点在平面内的射影恰好落在棱上．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．
20. 本小题分
某社区居民中青少年、中年人、老年人的人数相同，现按三个年龄段人数比例用分层随机抽样的方法从中抽取人，调查他们的日均微信步数，统计结果如下：
日均微信步数
青少年
中年人
老年人
Ⅰ求，，的值；
Ⅱ从这人中随机抽取名日均微信步数在内的中年人，记这人中日均微信步数在内的人数为，求的分布列与数学期望；
Ⅲ以样本数据中日均微信步数位于各区间的频率作为该社区居民日均微信步数位于该区间的概率，假设该社区的老年人中有年龄大于岁，且年龄大于岁的老年人中有的人日均微信步数在内，现从该社区任选一名老年人，若已知此老年人的日均微信步数在内，求他的年龄大于岁的概率．
21. 本小题分
已知双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线与的渐近线分别交于，两点在第一象限，为坐标原点，．
Ⅰ求的方程；
Ⅱ过点且倾斜角不为的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，证明：．
22. 本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，讨论在区间上的单调性；
Ⅱ若当时，，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由得，．
故选：．
先将集合表示出来，再与集合找公共元素即可．
本题考查集合的表示与运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：为纯虚数，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，
则，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，，则样本点的中心的坐标为，
代入，得，
，
把代入，可得．
故选：．
把已知样本点的中心的坐标代入线性回归方程，求得，再求求解值即可．
本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：该数列的一阶差数列为，，，，，
则二阶差数列为，，，，因为二阶差数列是等差数列，
故二阶差数列后面的项为，，，，
一阶差数列后面的项为，，，，
从而原数列后面的项为，，，，
故A．
故选：．
因为二阶差数列是等差数列，由此将原数列一一列举即可．
本题考查等差数列的性质，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：设，，，
，
，
因为，，三点共线，所以，解得，
所以，
因为等边的边长为，
故．
故选：．
根据平面向量基本定理，计算出与的关系，再利用等边三角形的边长及夹角，即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和数量积运算，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：由于表示个因式的乘积，
展开式中要得到含的项，需有两个因式取，一个因式取，剩下的个因式取；
或有三个因式取，两个因式取，剩下的一个因式取．
故展开式中的系数为．
故选：．
由题意，利用乘方的几何意义，组合数公式，计算求得结果．
本题主要考查乘方的几何意义，组合数公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：某校高三男生的身高单位：服从正态分布，且，
则，
故，
由题意可知，，即，
当时，，
当时，，
故的最小值为．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及对立事件概率和为，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，以及对立事件概率和为，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意可得：在饭前服药的患者中，药效强人有人，药性弱的有人；
在饭后服药的患者中，药效强有人，药性弱的有人；
所以饭前服药的患者中，药效强的频率为，故A正确；
药效弱的患者中，饭后服药的频率为，故B错误；
列出联列表得：
饭前 饭后 合计
药性强
药性弱
合计
所以，
在犯错误的概率不超过的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误．
故选：．
根据等高图，判断，；
列出联列表，计算出的值，判断，．
本题考查了独立性检验、对频率分布直方图等高图的认识，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：函数．
对于：函数的最小正周期为，故A正确；
对于：当，时，函数的最大值为，故B错误；
对于：由于，故，故函数在该区间上不单调，故C错误；
对于：将的图象向左平移个单位长度得到，故该函数为偶函数，故D正确．
故选：．
首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，其与轴的交点为、，
，与轴的交点为，
则，
为开口向上的二次函数，当时，有两个零点，即存在两个极值点，
依次分析选项：
对于，由的图象可得，但的图象与轴的交点在轴上方，即，有，两者矛盾，A错误；
对于，当时，，与轴的交点为，，
，与轴交点为，
，递增，符合题意，
对于，当时，与轴的交点为，，
与轴交点在轴上方，有两个极值点，符合题意；
对于，当，，，、都经过原点，
有两个极值点，符合题意．
故选：．
根据题意，先由、的解析式，分析与轴的交点情况，以及与轴的交点，的单调性等，由此分析选项，综合可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的导数与单调性的关系，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：依题意，由两边取倒数，
可得，
两边同时减去，
可得，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，故选项A正确；
，
，
，故选项B正确；
，
数列是单调递增数列，
即，，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：．
先将题干中递推公式取倒数，再两边同时减去，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，即可判断选项A的正确性，通过计算数列的通项公式推导数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据不等式的性质即可判断与的大小关系，判断选项B的正确性，然后运用作差法判断数列的单调性，进一步判断选项C的正确性，最后运用分组求和法与等差数列与等比数列的求和公式即可计算出的结果，最后根据不等式的性质即可判断选项D的正确性．
本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，转化与化归思想，作差法，分组求和法，等差数列与等比数列求和公式的运用，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：当只观看部喜剧电影时，有种观看方案，
当观看部喜剧电影时，有种观看方案，
则不同的观看方案有种．
故答案为：．
分只观看部喜剧电影和观看部喜剧电影讨论，即可得出答案．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为等差数列中，，，
所以，，
则当取最大值时，．
故答案为：．
由已知结合等差数列的求和公式及性质可得，，从而可求．
本题主要考查了等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设车间的次品率为，则车间的次品率为，车间的次品率为，
则，
解得，
车间的次品率为．
故答案为：．
设车间的次品率为，则车间的次品率为，车间的次品率为，由题意可得，求出的值，进而求出车间的次品率．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：令，，
由题意可得与有三个不同交点，
因为，
令，则有，
解得，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
令，
解得，，
所以当时，；
当时，，
当时，，
作出的图象，如图所示：
又因为与有三个不同交点，
所以．
故答案为：．
令，，将问题转化为与有三个不同交点，利用导数确定函数的单调性，求出极值，作出的图象，结合图象即可得答案．
本题考查了转化思想、数形结合思想及导数的综合运用，作出图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ因为，
由正弦定理得，
因为，
所以，即，
所以；
Ⅱ由余弦定理得，
所以，
因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
故的面积．
【解析】Ⅰ由已知结合正弦定理及同角基本关系可求，进而可求；
Ⅱ由已知结合余弦定理可求，然后结合正弦定理可求，再由三角形面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ，
当时，，
当时，，
由得，
当时，不符合上式，
；
Ⅱ由Ⅰ得，
当时，，
当时，，
当时，
，
又，
故对任意恒成立，故，
的最小整数值为．
【解析】Ⅰ由题意得当时，，当时，，作差变形得，验证，即可得出答案；
Ⅱ由Ⅰ得，分类讨论，，利用裂项法求和，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ证明：取的中点，连接，，
由题意知平面，平面，
，
是等边三角形，是的中点，
，
又，
平面，
，
在等腰直角中，，，
，
又是的中点，是的中点，
，
又，，
平面；
Ⅱ由题意建立以为坐标原点，，所在直线分别为，轴的空间直角坐标系，如图所示：
由题意得，，则，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
平面的法向量为，
又平面的一个法向量为，
，
二面角的余弦值为．
【解析】Ⅰ取的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理，即可证明结论；
Ⅱ由题意建立以为坐标原点，，所在直线分别为，轴的空间直角坐标系，求出法向量，利用向量法，即可得出答案．
本题考查直线与平面垂直和二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：由题意，得，解得；
Ⅱ由Ⅰ可知，日均微信步数在内的中年人有人，在内的中年人有人，
则的所有可能取值为，，，
，
所以的概率分布列：
所以 ；
Ⅲ设表示事件“该社区老年人的日均微信步数在内”，表示事件“该社区老年人的年龄大于岁”，
由题知，，
，
则．
【解析】Ⅰ由题意得，即可求解；
Ⅱ由Ⅰ可知，日均微信步数在内的中年人有人，在内的中年人有人，则的所有可能取值为，，，计算出各自对应的概率即可求解；
Ⅲ设表示事件“该社区老年人的日均微信步数在内”，表示事件“该社区老年人的年龄大于岁”，利用条件概率公式即可求解．
本题考查统计表，随机变量的分布列与期望，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ已知双曲线的右焦点为，
所以，
又过且斜率为的直线与的渐近线分别交于，两点，
此时直线的方程为，
联立，
解得，
同理，得，
因为，
整理得，
解得，
又，
联立，解得，，
所以的方程为；
Ⅱ证明：因为过点且倾斜角不为的直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点，
要证，
即证的中点与的中点重合，
不妨设的中点为，直线的方程为，
联立，消去并整理得，
设，，
由韦达定理得，
而，，
即，
联立，解得，
所以，
联立，解得，
所以，
可得的中点，
因为点与点重合，
所以．
【解析】Ⅰ由题意，得到直线的方程，将直线的方程与渐近线方程联立，求出点，的纵坐标，根据，列出等式得到，结合双曲焦点坐标以及，列出等式即可求出双曲线的方程；
Ⅱ将求证，转化成求证的中点与的中点重合，设的中点为，直线的方程为，将直线的方程与双曲线方程联立，设出点，的坐标，结合韦达定理得到点的坐标；将直线的方程与双曲线渐近线方程联立，求出点的坐标，进而即可得证．
本题考查双曲线的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
22.【答案】解：Ⅰ由题意得，，则，
由得，由得，由得，
在上单调递增，在上单调递减；
Ⅱ当时，，令，
题意转化为当时，，
则，
令，则，
又，，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值也是极小值，即，
恒成立，
令，，
在上单调递增，即在上恒成立，
当时，，
在上单调递增，
当时，，且当时，，
当时，，即在上单调递增，
此时对于，符合题意；
当时，则，使得，即，
当时，，即在上单调递减，
此时，不符合题意，
综上所述，的取值范围为．
【解析】Ⅰ由题意得，，则，求出，，即可得出答案；
Ⅱ构造函数，题意转化为当时，，求出，利用导数研究函数的单调性，求出最小值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
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