山东省日照市2023年中考数学试卷
1．（2023·日照）计算：的结果是（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】直接根据有理数的减法即可求解。
2．（2023·日照）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．（2023·日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得0.000000014用科学记数法表示为，
故答案为：A
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
4．（2023·日照）如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：所给图形的俯视图是一个带有圆心的圆．
故选C．
【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案．
5．（2023·日照）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵BC∥DE，
∴∠2=∠BCD，
∵∠BCD为△ABC的外角，
∴∠2=∠1+∠A=53°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠2=∠BCD，再根据三角形外角的性质即可求解。
6．（2023·日照）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方式、合并同类项对选项逐一运算即可求解。
7．（2023·日照）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，由题意得，
故答案为：D
【分析】设人数为x，根据“每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱”即可列出方程。
8．（2023·日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴DB=DA，
设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，
∴，
∴a≈36，
∴灯塔的高度大约是，
故答案为：B
【分析】先根据等腰直角三角形的性质即可得到DB=DA，设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，进而根据锐角三角函数的定义即可得到a≈36，进而即可求解。
9．（2023·日照）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．大小无法确定
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的三边满足，
∴，
∵，
，
∴，
故答案为：C
【分析】先运用勾股定理即可得到，再分别用a，b，c表示和即可求解。
10．（2023·日照）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：解得，
∵关于的方程解为正数，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】先解方程即可得到，再根据题意结合分式有意义的条件即可得到m的取值范围。
11．（2023·日照）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：解不等式组得-3a＜b＜-a，a＞0，
∴对称轴，
∴，，，
∴离对称轴水平距离较近，离对称轴水平距离较远，结合开口向上，
即距离对称轴越近，值越小，
∴，
故答案为：C.
【分析】先解不等式组即可得到对称轴及开口方向，进而根据二次函数对称性结合点到对称轴的水平距离远近判断对应值的大小即可得出答案。
12．（2023·日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第1圈有1个点，即，
第2圈有8个点，到，
第3圈有16个点，到，
∴第n圈，，
∴位于第23圈上，则，
∴，A不符合题意；
∴位于第23圈上，则，
∴，B符合题意；
第n圈，，CD不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据题意得到规律第n圈，，进而对选项逐一分析即可求解.
13．（2023·日照）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式继续分解即可.
14．（2023·日照）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴m+3＞0，m-1＜0，
∴，
故答案为：
【分析】根据象限内点坐标的特征结合题意即可得到m的取值范围。
15．（2023·日照）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
【答案】（满足都可以）
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得必然经过第二、四象限，
∵，
∴反比例函数的一次函数的交点在同一个象限，
∴反比例函数（且）的图像经过第一、三象限，
∴6-3k＞0，
∴，
∴满足条件的k值为1.5，
故答案为：（满足都可以）
【分析】先根据一次函数的性质即可得到必然经过第二、四象限，进而根据题意即可得到反比例函数经过第一、三象限，再根据反比例函数的性质即可得到，进而即可得到满足条件的k值为1.5。
16．（2023·日照）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴NP=MP，
∵点P移动，
∴NP=MP不一定成立，①错误；
延长ME交CB于点P，如图所示：
∴四边形ABPM为矩形，
由勾股定理得，
∵，，
∴∠EDM+∠DEM=∠NME+∠PEM=90°，
∴∠NME=∠EDM，
∴△BAD∽△NPM，
∴，
∴，
∴，②正确；
∵BA∥EM，
∴△BAD∽△EMD，
∴，
∴EM=4，
易证△BAD∽△EPM，
∴，
∴，③正确；
由题意得，
∴要求BM+ND最小，
作B、D关于DA、CB的对称点，如图1所示：
将图1中的平移至图2中的位置，使，连接，如图2所示：
∴BM+ND的最小值为，
由题意得，
∴由勾股定理得，
∴的最小值是20，④正确；
故答案为：②③④
【分析】根据等腰三角形的性质结合题意即可判断①；延长ME交CB于点P，根据矩形的性质结合勾股定理即可得到DB的长，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明△BAD∽△NPM即可得到，再代入数值即可得到，再根据即可判断②；先证明△BAD∽△EMD，进而得到EM=4，易证△BAD∽△EPM，进而根据相似三角形的性质结合题意即可判断③；先根据题意即可得到要求BM+ND最小，作B、D关于DA、CB的对称点，将图1中的平移至图2中的位置，使，连接，进而即可得到BM+ND的最小值为，，从而运用勾股定理即可判断④。
17．（2023·日照）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
（2）解：
将代入可得，原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）运用二次根式、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解；
（2）先根据分式的混合运算进行化简，进而代入即可求解。
18．（2023·日照）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m） 频数（户）
4
9
10
5
2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区 乙小区
平均数 9.0 9.1
中位数 9.2 a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）
（2）解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
∵，
故．
（3）解：甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
即甲小区3月份用水量不低于的总户数有40户，乙小区3月份用水量不低于的总户数有50户．
（4）解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意得中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数，
∴中位数a=，
故答案为：9.1
【分析】（1）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（2）分别求出3月份用水量低于平均数的户数，进而计算比较大小即可求解；
（3）运用总用户乘以用水量不低于所占的百分比即可求解；
（4）先画出树状图，进而即可得到共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，再根据等可能事件的概率即可求解。
19．（2023·日照）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接与交于O，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再证明即可得到，进而根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到，再运用勾股定理即可求出OA，进而即可求出AC和BD，从而根据平行四边形的面积公式即可求解。
20．（2023·日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）；
（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，
使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，
制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；
故
解得：，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
（3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为（元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
即，
解得：，
故的取值范围为；
设利润为，则，
整理得：，
∵，故随的增大而增大，
故当时，有最大值，最大值为，
则此时B种木盒的销售单价定为（元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，现有200张规格为的木板材，
∴制作A种木盒x个，则制作B种木盒个；使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材张，
故答案为：；；
【分析】（1）直接根据“要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，现有200张规格为的木板材”即可求解。
（2）先根据题意得到使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，则制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个，进而列出二元一次方程组即可求解；
（3）先根据题意计算出总成本，进而即可得到不等式组，即可求出a的取值范围，设利润为，则，再根据一次函数的性质结合题意即可求解。
21．（2023·日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3）已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】（1）证明：证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（3）
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】（3） 解：如图所示，作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点M是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 是四边形 的外接圆，
∴点P一定在 的垂直平分线上，
∴点P在直线 上，
∴当 时， 有最小值，
∵ ，
∴在 中， ，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．
【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意得到，从而结合圆内接四边形的性质即可求解；
（2）连接，先根据等腰三角形的性质即可得到，进而根据圆周角定理得到，再结合题意证明，是的半径，运用切线的判定即可求解；
（3）作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，先根据等腰三角形的性质即可得到 ，进而根据题意得到 ， ，从而运用解直角三角形的知识即可得到 ， ， ， ，再根据题意即可得到当 时， 有最小值，进而运用即可求解。
22．（2023·日照）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．
①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
【答案】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴；
（2）解：
当时，抛物线解析式为，
当，即，解得或，
∴；
如图，设上与点M关于直线对称的点为，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴；
（3）解：①
当时，抛物线解析式为，，
∴，
∴，，
当时，，
∴抛物线恰好经过；
∵抛物线对称轴为直线，
由对称性可知抛物线经过，
∴点时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点；
综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；
②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴点T的纵坐标为，
∴，
∴，
解得（舍去）或；
如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
解得（舍去，因为此时点F在点D下方）
如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，
当 时，，
∴不符合题意；
综上所述，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）先根据二次函数的性质即可得到点C的坐标，进而根据题意计算出对称轴，再根C、D关于抛物线对称轴对称据即可求解；
（2）当时，抛物线解析式为，进而即可得到点A的坐标，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，再根据两点间的距离公式即可得到，进而即可求出m和n，从而得到点N的坐标，再运用待定系数法求出直线DP的解析式，联立两个解析式即可求出交点坐标；
（3）①先根据题意求出点E和点F的坐标，进而得到，进而得到点H和点G的坐标，再根据题意结合抛物线的对称性即可求解；
②分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，运用正方形的性质结合到x轴的距离之差即为纵坐标之差即可列出方程，进而解方程即可。
1 / 1山东省日照市2023年中考数学试卷
1．（2023·日照）计算：的结果是（ ）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
2．（2023·日照）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·日照）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·日照）如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·日照）在数学活动课上，小明同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023·日照）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·日照）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·日照）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（ ）（结果精确到，参考数据：，）
A． B． C． D．
9．（2023·日照）已知直角三角形的三边满足，分别以为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为，均重叠部分的面积为，则（ ）
A． B．
C． D．大小无法确定
10．（2023·日照）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
11．（2023·日照）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023·日照）分解因式： .
14．（2023·日照）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
15．（2023·日照）已知反比例函数（且）的图象与一次函数的图象共有两个交点，且两交点横坐标的乘积，请写出一个满足条件的k值 ．
16．（2023·日照）如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
17．（2023·日照）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2023·日照）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m） 频数（户）
4
9
10
5
2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区 乙小区
平均数 9.0 9.1
中位数 9.2 a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
根据以上信息，回答下列问题：
（1） ；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较，大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
19．（2023·日照）如图，平行四边形中，点E是对角线上一点，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
20．（2023·日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为，，的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
21．（2023·日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；
（3）已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
22．（2023·日照）在平面直角坐标系内，抛物线交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线上方抛物线上一点，将直线沿直线翻折，交x轴于点，求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点，以线段为边向上作正方形．
①若，求正方形的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】直接根据有理数的减法即可求解。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
A、是轴对称图形，是中心对称图形，A符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，B不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意即可求解。
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得0.000000014用科学记数法表示为，
故答案为：A
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
4．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：所给图形的俯视图是一个带有圆心的圆．
故选C．
【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵BC∥DE，
∴∠2=∠BCD，
∵∠BCD为△ABC的外角，
∴∠2=∠1+∠A=53°，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质即可得到∠2=∠BCD，再根据三角形外角的性质即可求解。
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方式、合并同类项对选项逐一运算即可求解。
7．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，由题意得，
故答案为：D
【分析】设人数为x，根据“每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱”即可列出方程。
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，
∴DB=DA，
设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，
∴，
∴a≈36，
∴灯塔的高度大约是，
故答案为：B
【分析】先根据等腰直角三角形的性质即可得到DB=DA，设AD=a，则DB=a，CD=a-15.3，进而根据锐角三角函数的定义即可得到a≈36，进而即可求解。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形的三边满足，
∴，
∵，
，
∴，
故答案为：C
【分析】先运用勾股定理即可得到，再分别用a，b，c表示和即可求解。
10．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：解得，
∵关于的方程解为正数，
∴，
∴且，
故答案为：D
【分析】先解方程即可得到，再根据题意结合分式有意义的条件即可得到m的取值范围。
11．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：解不等式组得-3a＜b＜-a，a＞0，
∴对称轴，
∴，，，
∴离对称轴水平距离较近，离对称轴水平距离较远，结合开口向上，
即距离对称轴越近，值越小，
∴，
故答案为：C.
【分析】先解不等式组即可得到对称轴及开口方向，进而根据二次函数对称性结合点到对称轴的水平距离远近判断对应值的大小即可得出答案。
12．【答案】B
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：第1圈有1个点，即，
第2圈有8个点，到，
第3圈有16个点，到，
∴第n圈，，
∴位于第23圈上，则，
∴，A不符合题意；
∴位于第23圈上，则，
∴，B符合题意；
第n圈，，CD不符合题意；
故答案为：B
【分析】先根据题意得到规律第n圈，，进而对选项逐一分析即可求解.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： ，
故答案为： .
【分析】先提取公因式ab，然后利用平方差公式继续分解即可.
14．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴m+3＞0，m-1＜0，
∴，
故答案为：
【分析】根据象限内点坐标的特征结合题意即可得到m的取值范围。
15．【答案】（满足都可以）
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：由题意得必然经过第二、四象限，
∵，
∴反比例函数的一次函数的交点在同一个象限，
∴反比例函数（且）的图像经过第一、三象限，
∴6-3k＞0，
∴，
∴满足条件的k值为1.5，
故答案为：（满足都可以）
【分析】先根据一次函数的性质即可得到必然经过第二、四象限，进而根据题意即可得到反比例函数经过第一、三象限，再根据反比例函数的性质即可得到，进而即可得到满足条件的k值为1.5。
16．【答案】②③④
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴NP=MP，
∵点P移动，
∴NP=MP不一定成立，①错误；
延长ME交CB于点P，如图所示：
∴四边形ABPM为矩形，
由勾股定理得，
∵，，
∴∠EDM+∠DEM=∠NME+∠PEM=90°，
∴∠NME=∠EDM，
∴△BAD∽△NPM，
∴，
∴，
∴，②正确；
∵BA∥EM，
∴△BAD∽△EMD，
∴，
∴EM=4，
易证△BAD∽△EPM，
∴，
∴，③正确；
由题意得，
∴要求BM+ND最小，
作B、D关于DA、CB的对称点，如图1所示：
将图1中的平移至图2中的位置，使，连接，如图2所示：
∴BM+ND的最小值为，
由题意得，
∴由勾股定理得，
∴的最小值是20，④正确；
故答案为：②③④
【分析】根据等腰三角形的性质结合题意即可判断①；延长ME交CB于点P，根据矩形的性质结合勾股定理即可得到DB的长，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明△BAD∽△NPM即可得到，再代入数值即可得到，再根据即可判断②；先证明△BAD∽△EMD，进而得到EM=4，易证△BAD∽△EPM，进而根据相似三角形的性质结合题意即可判断③；先根据题意即可得到要求BM+ND最小，作B、D关于DA、CB的对称点，将图1中的平移至图2中的位置，使，连接，进而即可得到BM+ND的最小值为，，从而运用勾股定理即可判断④。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
将代入可得，原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）运用二次根式、绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解；
（2）先根据分式的混合运算进行化简，进而代入即可求解。
18．【答案】（1）
（2）解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；
低于本小区平均用水量的户数为（户），
故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，即；
∵，
故．
（3）解：甲小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
乙小区3月份用水量不低于的总户数为（户），
即甲小区3月份用水量不低于的总户数有40户，乙小区3月份用水量不低于的总户数有50户．
（4）解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意得中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数，
∴中位数a=，
故答案为：9.1
【分析】（1）根据中位数的定义结合题意即可求解；
（2）分别求出3月份用水量低于平均数的户数，进而计算比较大小即可求解；
（3）运用总用户乘以用水量不低于所占的百分比即可求解；
（4）先画出树状图，进而即可得到共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，再根据等可能事件的概率即可求解。
19．【答案】（1）证明：如图所示，连接与交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴（负值舍去），
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接与交于O，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再证明即可得到，进而根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据菱形的性质即可得到，进而根据解直角三角形的知识即可得到，再运用勾股定理即可求出OA，进而即可求出AC和BD，从而根据平行四边形的面积公式即可求解。
20．【答案】（1）；
（2）解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，
使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，
制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个；
故
解得：，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
（3）解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为（元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
即，
解得：，
故的取值范围为；
设利润为，则，
整理得：，
∵，故随的增大而增大，
故当时，有最大值，最大值为，
则此时B种木盒的销售单价定为（元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，现有200张规格为的木板材，
∴制作A种木盒x个，则制作B种木盒个；使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材张，
故答案为：；；
【分析】（1）直接根据“要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，现有200张规格为的木板材”即可求解。
（2）先根据题意得到使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出个长、宽均为的木板，使用乙种方式切割的木板材张，则可切割出个长为、宽为的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为的木板个，则制作B种木盒个，则需要长、宽均为的木板个，需要长为、宽为的木板个，进而列出二元一次方程组即可求解；
（3）先根据题意计算出总成本，进而即可得到不等式组，即可求出a的取值范围，设利润为，则，再根据一次函数的性质结合题意即可求解。
21．【答案】（1）证明：证明：由旋转的性质可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是四边形的外接圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（3）
【知识点】圆的综合题
【解析】【解答】（3） 解：如图所示，作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点M是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 是四边形 的外接圆，
∴点P一定在 的垂直平分线上，
∴点P在直线 上，
∴当 时， 有最小值，
∵ ，
∴在 中， ，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．
【分析】（1）先根据旋转的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质得到，从而得到，然后根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意得到，从而结合圆内接四边形的性质即可求解；
（2）连接，先根据等腰三角形的性质即可得到，进而根据圆周角定理得到，再结合题意证明，是的半径，运用切线的判定即可求解；
（3）作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，先根据等腰三角形的性质即可得到 ，进而根据题意得到 ， ，从而运用解直角三角形的知识即可得到 ， ， ， ，再根据题意即可得到当 时， 有最小值，进而运用即可求解。
22．【答案】（1）解：在中，当时，，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴；
（2）解：
当时，抛物线解析式为，
当，即，解得或，
∴；
如图，设上与点M关于直线对称的点为，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得：，即
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或
∴；
（3）解：①
当时，抛物线解析式为，，
∴，
∴，，
当时，，
∴抛物线恰好经过；
∵抛物线对称轴为直线，
由对称性可知抛物线经过，
∴点时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点；
综上所述，正方形的边与抛物线的所有交点坐标为，，；
②如图3-1所示，当抛物线与分别交于T、D，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴点T的纵坐标为，
∴，
∴，
解得（舍去）或；
如图3-2所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
解得（舍去，因为此时点F在点D下方）
如图3-3所示，当抛物线与分别交于T、S，
∵当正方形的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，
当 时，，
∴不符合题意；
综上所述，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）先根据二次函数的性质即可得到点C的坐标，进而根据题意计算出对称轴，再根C、D关于抛物线对称轴对称据即可求解；
（2）当时，抛物线解析式为，进而即可得到点A的坐标，设上与点M关于直线对称的点为，由轴对称的性质可得，再根据两点间的距离公式即可得到，进而即可求出m和n，从而得到点N的坐标，再运用待定系数法求出直线DP的解析式，联立两个解析式即可求出交点坐标；
（3）①先根据题意求出点E和点F的坐标，进而得到，进而得到点H和点G的坐标，再根据题意结合抛物线的对称性即可求解；
②分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，运用正方形的性质结合到x轴的距离之差即为纵坐标之差即可列出方程，进而解方程即可。
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