3.1.2 用二分法求方程的近似解
学习目标
1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；
2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P89~ P91，找出疑惑之处）
复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？
对于函数，我们把使 的实数x叫做函数的零点.
方程有实数根函数的图象与x轴 函数 .
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点.
复习2：一元二次方程求根公式？ 三次方程？ 四次方程？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务：二分法的思想及步骤
问题：有12个小球，质量均匀，只有一个是比别的球重的，你用天平称几次可以找出这个球的，要求次数越少越好.
解法：
第一次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第二次，两端各放 个球，低的那一端一定有重球；
第三次，两端各放 个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
思考：以上的方法其实这就是一种二分法的思想，采用类似的方法，如何求的零点所在区间？如何找出这个零点？
新知：对于在区间上连续不断且<0的函数，通过不断的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
反思：
给定精度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如何呢？
①确定区间，验证，给定精度ε；
②求区间的中点；
③计算： 若，则就是函数的零点； 若，则令（此时零点）； 若，则令（此时零点）；
④判断是否达到精度ε；即若，则得到零点零点值a（或b）；否则重复步骤②~④．
※ 典型例题
例1 借助计算器或计算机，利用二分法求方程的近似解.
变式：求方程的根大致所在区间.
※ 动手试试
练1. 求方程的解的个数及其大致所在区间.
练2.求函数的一个正数零点（精确到）
零点所在区间
中点函数值符号
区间长度
练3. 用二分法求的近似值.
三、总结提升
※ 学习小结
① 二分法的概念；②二分法步骤；③二分法思想.
※ 知识拓展
高次多项式方程公式解的探索史料
在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 若函数在区间上为减函数，则在上（ ）.
A. 至少有一个零点 B. 只有一个零点
C. 没有零点 D. 至多有一个零点
2. 下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）.
3. 函数的零点所在区间为（ ）.
A. B. C. D.
4. 用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为 .
5. 函数的零点个数为 ，大致所在区间为 .
课后作业
1. 求方程的实数解个数及其大致所在区间.
2. 借助于计算机或计算器，用二分法求函数的零点（精确到）.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
教学分析
求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.
三维目标
1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.
2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.
3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.
重点难点
用二分法求方程的近似解.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(情景导入)
师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.
生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……
生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……
师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3 500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？
生：(齐答)按照生3那样来检测.
师：生3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).
思路2.(事例导入)
有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)
解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.
第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.
第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否则，低的就是重球.
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？
推进新课
新知探究
提出问题
①解方程2x-16=0.
②解方程x2-x-2=0.
③解方程x3-2x2-x+2=0.
④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.
⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？
⑥“取中点”后，怎样判断所在零点的区间?
⑦什么叫二分法?
⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.
⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.
⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.
讨论结果：
①x=8.
②x=-1,x=2.
③x=-1,x=1,x=2.
④x=,x=,x=1,x=2.
⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点”,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点〕
⑥比如取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.
⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).
⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
f(x)
-4
-1.306
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
由表可知，f(2)<0,f(3)>0,则f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).
同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).
区间
中点的值
中点函数的近似值
(2，3)
2.5
-0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
2.53-1-2-5
-0.009
(2.53-1-2-5,2.5625)
2.546875
0.029
(2.53-1-2-5,2.546875)
2.5390625
0.010
(2.53-1-2-5,2.5390625)
2.53515625
0.001
图3-1-2-1
由于(2,3)?(2.5,3)?(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.
⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.
2°求区间(a,b)的中点c.
3°计算f(c):
a.若f(c)=0，则c就是函数的零点；
b.若f(a)·f(c)<0，则令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；
c.若f(c)·f(b)<0，则令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.
4°判断是否达到精度ε；即若|a-b|<ε，则得到零点值a(或b)；否则重复步骤2°~4°．
⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.
应用示例
思路1
例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).
活动：①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；
②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；
③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；
④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；
⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度.
学生简述上述求方程近似解的过程.
解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
图3-1-2-2
观察图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.
取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.
因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).
再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.
因为f(1.25)·f(1.5)<0,
所以x0∈(1.25,1.5).
同理,可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).
由于|1.375-1.437 5|=0.0625<0.1,
所以，原方程的近似解可取为1.4375.
例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．
活动：教师帮助学生分析:
画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.
根据图象，我们发现f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.
图3-1-2-3
计算得f()=>0，发现x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.
解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.
因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，
所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.
取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0，
所以2再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)=-0.437 5<0，
所以2.25如此继续下去，得f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3),
f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5),
f(2.25)<0，f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5),
f(2.375)<0，f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5),
f(2.375)<0，f(2.437 5)>0x1∈(2.375,2.437 5).
因为2.375与2.437 5精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.
点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.
思路2
例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).
活动：学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.
分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.
图3-1-2-4
解：设f(x)=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.
用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3)，
f(2.5)<0，f(3)>0x1∈(2.5,3)，
f(2.5)<0，f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)，
f(2.5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625)，
f(2.562 5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.562 5,2.625).
因为2.562 5与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.
例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根(精确度0.1).
解：设f(x)=lnx-2x+3,则原方程的根为函数f(x)的零点.
设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.
如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306 852 819,
所以f(1)f(2)<0,即函数f(x)在［1,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：
x
y
1
1
2
-0.306852819
3
-1.901387711
4
-3.613705639
5
-5.390562088
6
-7.208240531
7
-9.054089851
8
-10.92055846
(步长为1)
x
y
1
1
1.5
50.405465108
2
-0.306852819
2.5
-1.083709268
3
-1.901387711
3.5
-2.747237032
4
3.613705639
4.5
-4.495922603
(步长为0.5)
x
y
1
1
1.25
0.723143551
1.5
0.405465108
1.75
0.059615787
2
-0.306852819
2.25
-0.689069783
2.5
-1.083709268
2.75
-1.488399088
(步长为0.25)
x
y
1
1
1.125
0.867783035
1.25
0.723143551
1.375
0.568453731
1.5
0.405465108
1.625
0.235507815
1.75
0.059615787
1.875
-0.12139134
(步长为0.125)
x
y
1.5
0.405465108
1.5625
0.3-2-1-287102
1.625
0.235507815
1.6875
0.148248143
1.75
0.059615787
1.8125
-0.030292892
1.875
-0.12139134
1.9375
-0.213601 517
(步长为0.062 5)
由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:
区间
中点的值
中点函数近似值
(1,2)
1.5
0.405465108
(1.5,2)
1.75
0.059615787
(1.75,2)
1.875
-0.12139134
(1.75,1.875)
1.8125
-0.030292892
图3-1-2-5
因为f(1.75)=0.059 615 787>0,f(1.812 5)=-0.030 292 892<0,
所以x1∈(1.75,1.812 5).
由于|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1,
所以区间(1.75,1.812 5)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.
点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.
②二分法,即逐渐逼近的方法.
③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比较容易.
知能训练
1.根据下表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为( )
x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.27
7.39
20.0
x+2
1
2
3
4
5
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案:1.C.设f(x)=ex-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).
2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).
x
-1
0
1
2
3
4
5
f(x)
-0.5
1
1
2
-1
0
7
图3-1-2-6
由图与表,知有三个根.
拓展提升
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？
(此例既体现了二分法的应用价值，也有利于发展学生的应用意识)
答案:至少需要检查接点的个数为4.
课堂小结
活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.
引导方法：从基本知识基本技能和思想方法两方面来总结.
①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.
②思想方法：函数方程思想、数形结合思想.
作业
课本P92习题3.1A组 1、3.
设计感想
“猜价格”的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.
习题详解
(课本第88页练习)
1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.
(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.
(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.
(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.
图3-1-2-7
2.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1, 1.5)上有一个零点.
又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.
(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.
又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.
(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.
又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.
(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),( -3,-2),(2,3)上各有一个零点.
图3-1-2-8
(课本第91页练习)
1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,
于是f(0)·f(1)<0,
所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.
下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.
取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.
因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).
再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.
因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).
同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).
由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.656 25.
2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,
所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.
下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.
取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).
再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).
同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).
由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0. 01,
所以原方程的近似解可取为2.593 75.
(课本第92页习题3.1)
A组
1.A,C
点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.
2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,
又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.
3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.
于是f(-1)·f(0)<0,
所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.
下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.
取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.
因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).
再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.
因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).
同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).
由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,
所以原方程的近似解可取为-0.937 5.
4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.
于是f(0.5)·f(1)<0,
所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.
下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.
取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.
因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).
再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.
因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).
同理,可得x0∈(0.812 5,0.875)，x0∈(0.812 5,0.843 75).
由于|0.812 5-0.843 75|=0.031 25<0.1,
所以原方程的近似解可取为0.843 75.
5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,
于是f(2)·f(3)<0,
所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.
下面用二分法求函数f(x)=lnx在区间(2，3)内的近似解.
取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.
因为f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).
再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.
因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).
同理,可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.312 5,2.375),x0∈(2.343 75,2.375),x0∈(2.343 75,2.359 375),x0∈(2.343 75,2.351 562 5),x0∈(2.343 75,2.347 656 25).
由于|2.343 75-2.347 656 25|=0.003 906 25<0.01,
所以原方程的近似解可取为2.347 656 25.
B组
1.将系数代入求根公式x=,得x==,
所以方程的两个解分别为x1=,x2=.
下面用二分法求方程的近似解.
取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.
在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.023 75,f(1.8)=0.08.
于是f(1.775)·f(1.8)<0.
所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.
由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,
所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.
同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.
所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.
2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如下图所示.
图3-1-2-9
所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.
取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.
因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).
再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.
因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).
同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.062 5).
由于|(-1.062 5)-(-1.125)|=0.062 5<0.1,
所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.062 5.
同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.
3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.
(2)函数图象如下图所示.
图3-1-2-10
(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.
取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.187 5.
因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).
再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.
因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).
同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.812 5,-2.75).
由于|-2.75-(-2.812 5)|=0.062 5<0.1,
所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.812 5.
同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.
所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.
点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
一、选择题
1．用二分法如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
[答案] C
2．在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c＝，若f(c)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0( )
A．在区间(a，c)内 B．在区间(c，b)内
C．在区间(a，c)或(c，d)内 D．等于
[答案] D
3．已知函数y＝f(x)的图象是连续不间断的，x，f(x)对应值表如下：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
12.04
13.89
－7.67
10.89
－34.76
－44.67
则函数y＝f(x)存在零点的区间有( )
A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4]
C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]
[答案] C
4．f(x)＝x4－15，下列结论中正确的有( )
①f(x)＝0在(1,2)内有一实根；②f(x)＝0在(－2，－1)内有一实根；③没有大于2的零点；④f(x)＝0没有小于－2的根；⑤f(x)＝0有四个实根．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
[答案] C
[解析] ①②③④正确，⑤不正确．
5．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] D
[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
6．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|＜ε(ε为精确度)时，函数零点近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过( )
A． B．
C．ε D．2ε
[答案] B
[解析] 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－＝－a＝＝，因此误差最大不超过.
二、填空题
7．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)≈－0.984
f(1.375)≈－0.260
f(1.4375)≈0.162
f(1.46025)≈－0.054
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似的正数根(精确度0.1)为________．
[答案] 1.4375(或1.375)
[解析] 由于精确度是0.1，而|1.4375－1.375|＝0.0625<0.1，故取区间(1.375,1.4375)端点值1.375或1.4375作为方程近似解．
8．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是______________．
[答案] (2,2.5)
[解析] ∵f(2)<0，f(2.5)>0，∴下一个有根区间是(2,2.5)．
9．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度0.1)．
[答案] 0.75(答案不唯一)
[解析] 因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．
三、解答题
10．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度0.01)的近似值，求区间(0,0.1)等分的至少次数．
[解析] 依题意＜0.01，得2n＞10.故n的最小值为4.
11．利用二分法求的一个近似值(精确度0.01)．
[解析] 令f(x)＝x2－3，因为f(1)＝－2＜0，f(2)＝1＞0，所以函数在区间(1,2)内存在零点x0，即为，取区间(1,2)为二分法计算的初始区间，列表如下：
(a，b)
(a，b) 的中点
f(a)
f(b)
f()
(1,2)
1.5
f(1)＜0
f(2)＞0
f(1.5)＜0
(1.5,2)
1.75
f(1.5)＜0
f(2)＞0
f(1.75)＞0
(1.5,1.75)
1.625
f(1.5)＜0
f(1.75)＞0
f(1.65)＜0
(1.625，1.75)
1.6875
f(1.625)＜0
f(1.75)＞0
f(1.6875) ＜0
(1.6875，1.75)
1.71875
f(1.6875)＜0
f(1.75)＞0
f(1.71875) ＜0
(1.71875，1.75)
1.734375
f(1.71875)＜0
f(1.75)＞0
f(1.734375) ＞0
(1.71875，1.734375)
1.7265625
f(1.71875) ＜0
f(1.734375)＞0
f(1.7265625) ＜0
因为1.734375－1.7265625＝0.0078125＜0.01，所以可取1.734375为的一个近似值．
12．方程x5＋x－3＝0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解(精确到0.1)．
[解析] 考查函数f(x)＝x5＋x－3，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝31>0，
∴函数f(x)＝x5＋x－3在区间(1,2)有一个零点x0.
∵函数f(x)＝x5＋x－3在(－∞，＋∞)上是增函数(证明略)，
∴方程x5＋x－3＝0在区间(1,2)内有唯一的实数解．
取区间(1,2)的 中点x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)≈6.09>0，∴x0∈(1,1.5)．
同理，可得x0∈(1,1.25)，x0∈(1.125,1.25)，x0∈(1.125，1.1875)，x0∈(1.125,1.156 25)，
x0∈(1.125,1.1406 25)．
由于|1.1406 25－1.125|<0.1，此时区间(1.125，1.1406 25)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1.
课件37张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解第三章
●课标展示
1．掌握用二分法求函数零点近似值的步骤．
2．了解函数零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．
●温故知新
旧知再现
1．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调增函数，则b的取值范围为________.
2．函数y＝(x－1)(x2－2x－3)的零点为_________.
3．方程log2x＋x2＝2的实数解的个数为_____.b≥0－1,1,31新知导学
1．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且__________＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点________的方法叫做二分法．
[名师点拨] 二分法就是通过不断地将所选区间(a，b)一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点．f(a)·f(b)一分为二零点近似值2．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证__________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
若f(c)＝_____，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c) _____0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b) _____0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|_____ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．f(a)·f(b)＜00＜＜＜
3．二分法的应用
由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的________．近似解
●自我检测
1．下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有在求函数零点时才用二分法
[答案] B
[解析] 只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错，二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错，求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在的区间为( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
[答案] A
[解析] 由于f(1.25)f(1.5)＜0，则方程的解所在的区间为(1.25,1.5)．1 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )对二分法概念的理解 ●典例探究 1[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念．
解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
[解析] 利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
[答案] B 规律总结：运用二分法求函数零点需具备的两个条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号． 对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是( )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
[解析] 由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低．
[答案] B1 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正实数零点(精确到0.1)．
[解析] 由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下： 用二分法求函数的零点问题 规律总结：1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．2[答案] (1)A (2)1.562 5 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？
[分析] 考虑用二分法思想，通过找中点不断将区间一分为二，逐渐逼近在两根电线杆之间． 二分法在实际中的应用 规律总结： (1)精确度ε与等分区间次数之间有什么关系？在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们相同的假币(重量较轻)，现在只有一台天平，请问：最多几次就可以发现这枚假币？
[解析] 将26枚金币分为两组，每组13枚，分别放于天平左右两侧测量，则假币在较轻的那一组中；
从这较轻的13枚金币中任取12枚均分为2组，分别放于天平左右两侧测量，
3
若天平平衡，则剩下的那一枚为假币，到此也就完成任务了；若天平不平衡，则假币在较轻的那6枚中；将较轻的6枚再均分为2组，分别置于天平上测量，则假币将会出现在较轻的那3枚中；
再从这3枚中任取两枚，若天平平衡，则未取到的那一枚为假币，若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币．
因此，发现假币最多需进行4次比较．
1．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)f(4)<0，则下列命题正确的是( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0,2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0,4)内有零点
[答案] D
2．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )
[答案] B
3．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝lnx
[答案] C
[解析] (1)证明：f(x)＝lnx＋2x－6在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)至多有一个零点．
由于f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，
∴f(2)·f(3)<0.
∴f(x)在(2,3)内有一个零点．
∴f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
