数学人教A版（2019）必修第一册1.4.2充要条件（共35张ppt)

(共35张PPT)
人教A版2019必修第一册
第 1 章集合与常用逻辑用语单元解读
1.4.2 充要条件
目 录
1 学习目标
2 新课讲解
3 课本例题
4 课本练习
5 题型分类讲解
6 随堂检测
7 课后作业
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
(重点、难点)
2．会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．
(重点)
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
学习目标
我国战国时期，墨子所著《墨经》对充分条件、必要条件的描述：
充分条件：“有之则必然，无之则未必不然”
必要条件：“无之则必不然，有之则未必然 ”
物理中的逻辑
古文中的逻辑
在①、②两个电路中，A、C的开闭与灯泡B亮起来，会形成什么逻辑条件呢？
思考
你能举生活中存在“充分条件或必要条件” 的逻辑语句或事例吗？
思考
新课引入
充分必要
充要
互为充要
概念
下列各组命题中，哪些p是充要条件？
（1）p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例；
（3）p：xy>0，q：x>0，y>0；
（4）p：x=1是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0(a≠0).
解（1）因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形，所以p q，所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形的判定定理，它们均为真命题，既p q，所以p是q的充要条件。
（3）因为x>0时，x>0,y>0不一定成立（为什么），所以p q,所以p不是q的充要条件。
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，p q，所以p是q的充要条件。
典例1
1. 充要条件的判断
总结：判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.
(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1 p2 … pn，可得p1 pn；充要条件也有传递性.
1.“x>1”是“x＋2>3”的_______条件.
解析　当x>1时，x＋2>3；
当x＋2>3时，x>1，所以“x>1”是“x＋2>3”的充要条件.
充要
练一练
2.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”
“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”).
(1)p：x2>0，q：x>0；
解　p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，
故p是q的必要不充分条件.
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
解　p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，
故p是q的充分不必要条件.
练一练
已知： O 的半径为r ，圆心O到是直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
证明：设p:d=r，q:直线l与 O相切.
（1）充分性( p q):如图，作OP⊥l于点P，则OP=d.
若d=r，则点P在 O上.在直线l上任取一点Q(异于点P)，
连接OQ.在Rt△OPQ中，OQ＞OP=r.所以，除点P外直线
l上的点都在 O 的外部，即直线l与 O 仅有一个公共
点P.所以直线l与 O 相切.
（2）必要性(q p):若直线l与 O相切，不妨设切点为P，则OP⊥l.因此，d=OP=r.
由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O 相切的充要条件.
典例2
2. 充要条件的证明
总结：充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p q是证明充分性，推证q p是证明必要性.
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，
q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件.
3.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
练一练
设p：x＞1，q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，
求实数a的取值范围.
解　设A＝{x|x>1}， B＝{x|x>a}.
因为p是q的充分不必要条件，
所以A B，∴a＜1.
典例3
3. 充要条件的应用
由p是q的充分不必要条件，可知A B，
练一练
典例4
练一练
5.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
6．若本例题改为：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围． [解]　因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q P.所以解得－1≤a≤5，即a的取值范围是{a|－1≤a≤5}．1.下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1) p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；
(2) p: ⊙O内两条弦相等，q: ⊙O内两条弦所对的圆周角相等；
(3) p: A∩B是空集， q:A与B之一为空集．
p是q的充要条件
p不是q的充要条件
p不是q的充要条件
课本练习
2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
①“两个三角形的三边相等”
③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”
②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”
④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”
两个三角形全等
①“两个三角形的三边成比例”
③“两个三角形的其中两角相等”
②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”
两个三角形相似
3.证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
分析：设p： AC=BD.
充分性: AC=BD 梯形ABCD为等腰梯形.
AB=CD
q：梯形ABCD为等腰梯形.
必要性:梯形ABCD为等腰梯形 AC=BD.
例1.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ).
A.为二次函数
B.
C.四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分
D.或
答案：AD.
解：对于A，当时，可得为二次函数，当为二次函数时，可得故是的充要条件，故A正确.
对于B，当时，或故是的不必要条件，故B错误.
对于C，当四边形对角线互相平分时，不能推出四边形是正方形，故是的不必要条件，故C错误.
对于D，当或时，两边同时平方可得解得或故是的充要条件，故D正确.
题型一：充要条件的判断
题型讲解
判断充分、必要条件的步骤
认清
找推式
下结论
分清哪个是条件，哪个是结论
判断“若，则”及“若，则”的真假
根据推论及定义下结论
【类题通法】
下列各题中，哪些是的充要条件？
(1)且；
(2)三角形是等边三角形，三角形是等腰三角形；
(3)
解：(1)∵
∴是的充要条件.
(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形
∴不是的充要条件，是的充分不必要条件..
(3)∵,
∴是的充要条件.
【巩固练习1】
例2.已知
(1)当为何值时，是的充分不必要条件？
(2)当为何值时，是的必要不充分条件？
(3)当为何值时，是的充要条件？
解：(1)∵是的充分不必要条件，∴，∴.∴当时，∴是的充分不必要条件.
(2)∵是的必要不充分条件，∴，∴.∴当时，是的必要不充分条件.
(3)∵是的充要条件，∴，此时
∴当时，是的充要条件.
题型二：利用充分、必要条件求参数
(1) 根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
【类题通法】
由条件关系求参数的值(范围)的步骤
已知
(1)当为何值时，是的充分不必要条件？
(2)当为何值时，是的必要不充分条件？
解：(1)若是的充分不必要条件，即但，亦即是的必要不充分条件，∴，∴.∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件.
(2)若是的必要不充分条件，即但，亦即是的充分不必要条件，∴，∴.∴当时，∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件.
【巩固练习2】
例3.求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是
证明：证明必要性：若“一元二次方程有一正根和一负根”成立，由韦达定理可得，∴成立.
证明充分性：若“”成立，此时一元二次方程有一正根和一负根.所以“一元二次方程有一正根和一负根”的充要条件是“”.
题型三：充要条件的证明
根据充要条件的定义，证明充要条件对要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“成立的充要条件为”:
(1)充分性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出；
(2)必要性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出.
充要条件的证明思路
【类题通法】
关于的方程的所有根的和为2的充要条件是______.
解：当时，方程为解得：
当时，方程为一元二次方程，设是方程的解，则
若解方程解得：或1；
当或1时，即当或1时，方程无解，
故时符合题意.
【巩固练习3】
1.判断正误：
(1) q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　　)
(2) 若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题． ( )
(3) q不是p的必要条件时，“p q”成立． (　　)
2.（1） 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的____ ____条件．
（2）“x<2”是“<0”的(　　)
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
充要
A
√
√
√
随堂检测
3.指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)．
(1) p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2) p：x>1，q：>1；
(3) p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；
(4) p：|ab|＝ab，q：ab>0.
[解析]
　(1)∵p q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)∵p q，q不能推出p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p不能推出q，q p，∴p是q的必要不充分条件．
(4)∵ab＝0时，|ab|＝ab，∴“|ab|＝ab”不能推出
“ab>0”，即p不能推出q.
而当ab>0时，有|ab|＝ab，即q p.
∴p是q的必要不充分条件．
课堂小结
从集合角度看充分、必要条件
(1)依据
设集合A={x|p(x)},B={x|q(x)}.若x具有性质p,则x∈A;若x具有性质q,则x∈B.
若A B,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即p q.类似地,B A与q p等价,A=B与p q等价.
(2)结论
如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表.
当所要研究的p,q含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用Venn图或数轴解题.