人教版高中数学选择性必修第一册1.3.2空间向量运算的坐标表示 课件（共47张PPT）

(共47张PPT)
1．3.2　空间向量运算的坐标表示
[学习目标]　1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.掌握空间两向量平行、垂直条件的坐标表示，掌握空间向量的模和夹角坐标计算公式.3.掌握空间两点间距离公式．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　如何用坐标来表示空间向量的运算？
问题2　如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？
问题3　空间两点间的距离公式是什么？　　　
[预习自测]
1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b＝(　　)
A．(16,0,4)　　　　　　　
B．(8，－16,4)
C．(8,16,4)
D．(8,0,4)
解析：4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．
D
2．已知向量a＝(1,2，－1)，则下列向量与a垂直的是(　　)
A．(0,0,1) B．(－2,1,0)
C．(1,1,2) D．(4，－1,1)
解析：a·(－2,1,0)＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥(－2,1,0)．
B
3．已知点A(7，－4,0)，B(4,2，－1)，则A，B两点间的距离等于________．
4．已知向量a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则向量a，b的夹角的大小等于________．
60°
空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，则：
a＋b＝ ，
a－b＝ ，
λa＝ ，
a·b＝ .
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1＋a2b2＋a3b3
－4
[答案]　见解析
[解析]　(1)2a＋3b＝2(－1,2,1)＋3(2,0,1)＝(－2，4,2)＋(6,0,3)＝(4,4,5)，
a－b＝(－1,2,1)－(2,0,1)＝(－3,2,0)，
∴(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－12＋8＝－4.
2．关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题：已知向量坐标，准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标问题：
首先设出向量或点的坐标，然后通过已知条件建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．
1.(1)已知a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，则(a－2b)·b＝________.
解析：a－2b＝(2，－3,1)－2(2,0,3)＝(2，－3,1)－(4,0,6)＝(－2，－3，－5)．
(a－2b)·b＝－2×2－3×0－5×3＝－19.
－19
答案：见解析
空间向量平行、垂直条件的坐标表示及应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，则
(2)a⊥b a·b＝0 .
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
[例2]　在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1.
坐标法解决几何问题的一般步骤
2.已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，c＝(－3，－2,2)．试判断2a－b与c是否平行．
解析：2a－b＝(2,2,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，
∴2a－b＝－c.∴(2a－b)∥c.
空间向量夹角、模的坐标计算公式及应用
1.将几何问题转化为向量问题是用代数法求解几何问题的前提．
3.如图，正方体OABC O′A′B′C′的棱长为a，点N，M分别在AC，BC′上，AN＝2CN，BM＝2MC′.
(1)求MN的长；
(2)求MN与OO′所成角的余弦值．
向量概念的推广与应用
1． 向量(a1，a2)又称为二维向量， 向量(a1，a2，a3)又称为三维向量．二维向量、三维向量统称为几何向量．
2．一般地，n元有序数组， 称为n维向量．n维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做n维向量空间，它的每一个元素可看成n维向量空间的一点．
平面
空间
(a1，a2，…，an)
3．对于n维向量，可定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度(模)、两点间的“距离”等：
(1)设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，λ∈R，则
a±b＝ ；
λa＝ ；
a·b＝ ；
(a1±b1，a2±b2，…，an±bn)
(λa1，λa2，…，λan)
a1b1＋a2b2＋…＋anbn
(2)n维向量空间中A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的“距离”
[例4]　翱翔校服有限公司根据以往制作校服的经验，得出适用于本地区高一新生的8种校服标准型号及相应的测量指标参数值，如下表所示：
型号 身高/cm 胸围/cm 腰围/cm 肩宽/cm
XXS 150 76 62 34
XS 155 80 66 36
S 160 84 70 38
M 165 88 74 40
L 170 92 78 42
XL 175 96 82 44
XXL 180 100 86 46
XXXL 185 104 90 48
张晓同学身高为172 cm，胸围95 cm，腰围80 cm，肩宽43 cm.
问张晓同学应定制哪种型号校服？并说明理由．
分析：将测量得到的数据按身高、胸围、腰围、肩宽的顺序排列，则每名学生的身材可以用四维向量表示，并且可把它看作四维向量空间中的一个点.8种标准型号为8个标准点．可用两点距离确定张晓同学应定制的型号：张晓的身材点与哪个标准点的距离最小，就定制其对应型号．
[解析]　按身高、胸围、腰围、肩宽的顺序将每个学生的测量数据排列，得张晓的身材点为P(172,95,80,43)，设8种标准型号分别为点A(150,76,62,34)，B(155,80,66,36)，C(160,84,70,38)，D(165,88,74,40)，E(170,92,78,42)，F(175,96,82,44)，G(180,100,86,46)，H(185,104,90,48)．
分别计算得dPA≈35.4，dPB≈27.5，dPC≈19.7，dPD≈12.0，dPE≈4.2，dPF≈3.9，dPG≈11.6，dPH≈19.4.
∴dPF最小，∴张晓同学应定制XL号校服．
在日常生活和科学研究中，有许多量都可由有序实数组构成的向量来表示，并可用向量理论来研究这些量的性质．
4.商品A三年内的月销售量如表所示：
销售量(千件) 1月 2月 3月 4月 5月 6月
第一年 1.0 1.2 0.8 0.9 0.8 0.8
第二年 1.2 1.1 0.9 0.8 0.7 0.8
第三年 1.2 1.0 1.0 0.8 0.8 0.7
销售量(千件) 7月 8月 9月 10月 11月 12月
第一年 0.7 0.7 0.8 1.0 0.9 1.0
第二年 0.7 0.9 0.9 1.1 1.0 1.1
第三年 0.6 0.7 0.8 1.0 1.0 1.0
问这种商品的销售量是否随季节变化出现规律性变化？
解析：将每年月销售量按从1月到12月排列，得这三年的销售向量分别为：
a＝(1.0,1.2,0.8,0.9,0.8,0.8,0.7,0.7,0.8,1.0,0.9,1.0)，
b＝(1.2,1.1,0.9,0.8,0.7,0.8,0.7,0.9,0.9,1.1,1.0,1.1)，
c＝(1.2,1.0,1.0,0.8,0.8,0.7,0.6,0.7,0.8,1.0,1.0,1.0)，
1．知识清单：(1)空间向量运算的坐标表示．
(2)空间向量平行、垂直条件的坐标表示及应用．
(3)空间向量夹角、模的坐标计算公式及应用．
2．方法归纳：类比的思想、转化的思想、待定系数法．
3．常见误区：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等，忽略分母不等于零．
(2)求异面直线夹角时忽略范围；讨论向量夹角忽略向量共线的情况．
课时作业 巩固提升