人教版高中数学选择性必修第一册1.4.1 第二课时 空间中直线、平面的平行 课件（共35张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册1.4.1 第二课时 空间中直线、平面的平行 课件（共35张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1009.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-20 11:44:30 | ||
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文档简介
(共35张PPT)
第二课时 空间中直线、平面的平行
[学习目标]
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
2.能用向量方法判定或证明空间直线、平面间的平行关系.
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1 理解并写出空间直线、平面平行的向量条件？
问题2 对比平面的两种向量表达式，请给出线面平行的两种向量条件？
问题3 用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？
[预习自测]
1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B
2．已知n1＝(1,2，x)为平面α的一个法向量，n2＝(－2，y,4)为平面β的一个法向量，且α∥β，则x－y＝( )
A．－2 B．－4
C．2 D．4
C
3．已知直线l的方向向量m＝(1，－2,3)，平面α的法向量n＝(t，t＋1，－1)，若l∥α，则t＝__________.
解析：因为l∥α，
所以m⊥n，所以t－2(t＋1)－3＝0，
解得t＝－5.
－5
4．已知两个平面α，β的法向量分别是n1＝(1，x,2)和n2＝(3,6，y)，若α∥β，则y－x＝________.
4
直线和直线平行
用向量证明两条直线平行
a，b是直线l1，l2的方向向量，直线l1与直线l2平行的充要条件是 .
a∥b
[例1] 如图，在长方体OAEB O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．
求证：PQ∥RS.
分析：本题考查了利用空间向量证明线线平行．建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明．
[证明] 如图，建立空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0，4,2)．
∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，
向量法证明两条直线平行的方法：两条直线的方向向量共线时，两直线平行或重合；否则两直线相交或异面．
1.如图，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，M，N分别在线段AE，BD上，且AE＝3AM，BN＝2ND，G为BE的中点，试判断MN与GC是否平行，并利用向量方法证明你的判断．
直线和平面平行
用向量证明直线与平面平行
a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当l α时直线l与平面α平行的充要条件是 .
a⊥n
[例2] 用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
分析：本题考查线面平行的判定定理，直线的方向向量，平面的法向量等知识，考查分析推理能力．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α的法向量为u，根据向量法即可证明．
[解析] 已知：直线l，m和平面α，其中l α，m α，且l∥m，求证：l∥α.
证明如下：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α的法向量为u.
因为l∥m，
所以a＝kb，k∈R.
又因为u⊥α，m α，
所以u⊥b，因此u·b＝0，u·a＝u·kb＝0.
所以l∥α.
利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行．
(2)利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行．
(3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
2.已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．
证明：CM∥平面PAD.
平面和平面平行
用向量证明两个平面平行
m，n是平面α，β的法向量，平面α与平面β平行的充要条件是： .
m∥n
[例3] 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α.求证：α∥β.
分析：本题考查面面平行的判定定理，直线的方向向量，平面的法向量等知识，考查分析推理能力．设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量，进而得证．
[证明] 如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v.
因为a∥α，b∥α，所以n·u＝n·v＝0.
因为a β，b β，a∩b＝P，
利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线或垂直进行证明．
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明．
证明：平面MOE∥平面PAC.
证明：在平面ABC内，过点A作AB的垂线AH.
∵PA⊥平面ABC，AB，AH 平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AH.
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
1．知识清单：(1)用向量证明直线和直线平行．
(2)用向量证明直线和平面平行．
(3)用向量证明平面和平面平行．
2．方法归纳：向量法．
3．常见误区：建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征，尽可能找到三条两两互相垂直且交于一点的线段，特别是有垂直关系的一些常见几何体(如正方体、长方体、直棱柱)是最简单的模型．
课时作业 巩固提升
第二课时 空间中直线、平面的平行
[学习目标]
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系．
2.能用向量方法判定或证明空间直线、平面间的平行关系.
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1 理解并写出空间直线、平面平行的向量条件？
问题2 对比平面的两种向量表达式，请给出线面平行的两种向量条件？
问题3 用向量解决空间线面平行问题的一般步骤是什么？
[预习自测]
1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B
2．已知n1＝(1,2，x)为平面α的一个法向量，n2＝(－2，y,4)为平面β的一个法向量，且α∥β，则x－y＝( )
A．－2 B．－4
C．2 D．4
C
3．已知直线l的方向向量m＝(1，－2,3)，平面α的法向量n＝(t，t＋1，－1)，若l∥α，则t＝__________.
解析：因为l∥α，
所以m⊥n，所以t－2(t＋1)－3＝0，
解得t＝－5.
－5
4．已知两个平面α，β的法向量分别是n1＝(1，x,2)和n2＝(3,6，y)，若α∥β，则y－x＝________.
4
直线和直线平行
用向量证明两条直线平行
a，b是直线l1，l2的方向向量，直线l1与直线l2平行的充要条件是 .
a∥b
[例1] 如图，在长方体OAEB O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．
求证：PQ∥RS.
分析：本题考查了利用空间向量证明线线平行．建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明．
[证明] 如图，建立空间直角坐标系，
则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0，4,2)．
∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，
向量法证明两条直线平行的方法：两条直线的方向向量共线时，两直线平行或重合；否则两直线相交或异面．
1.如图，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，M，N分别在线段AE，BD上，且AE＝3AM，BN＝2ND，G为BE的中点，试判断MN与GC是否平行，并利用向量方法证明你的判断．
直线和平面平行
用向量证明直线与平面平行
a是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当l α时直线l与平面α平行的充要条件是 .
a⊥n
[例2] 用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
分析：本题考查线面平行的判定定理，直线的方向向量，平面的法向量等知识，考查分析推理能力．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α的法向量为u，根据向量法即可证明．
[解析] 已知：直线l，m和平面α，其中l α，m α，且l∥m，求证：l∥α.
证明如下：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α的法向量为u.
因为l∥m，
所以a＝kb，k∈R.
又因为u⊥α，m α，
所以u⊥b，因此u·b＝0，u·a＝u·kb＝0.
所以l∥α.
利用空间向量证明线面平行的方法
(1)利用共面向量法：证明直线的方向向量p与平面内的两个不共线向量a，b是共面向量，即满足p＝xa＋yb(x，y∈R)，则p，a，b共面，从而可证直线与平面平行．
(2)利用共线向量法：证明直线的方向向量p与该平面内的某一向量共线，再结合线面平行的判定定理即可证明线面平行．
(3)利用法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，证明方向向量与法向量垂直，从而证明直线与平面平行．
2.已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1，AB＝2，M是PB的中点．
证明：CM∥平面PAD.
平面和平面平行
用向量证明两个平面平行
m，n是平面α，β的法向量，平面α与平面β平行的充要条件是： .
m∥n
[例3] 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．
已知：a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α.求证：α∥β.
分析：本题考查面面平行的判定定理，直线的方向向量，平面的法向量等知识，考查分析推理能力．设平面α的法向量为n，直线a，b的方向向量分别为u，v，则由已知条件可得n·u＝n·v＝0，由此可以证明n与平面β内的任意一个向量垂直，即n也是β的法向量，进而得证．
[证明] 如图，取平面α的法向量n，直线a，b的方向向量u，v.
因为a∥α，b∥α，所以n·u＝n·v＝0.
因为a β，b β，a∩b＝P，
利用空间向量证明面面平行的方法
(1)转化为线面平行、线线平行，然后借助向量共线或垂直进行证明．
(2)通过证明两个平面的法向量平行证明．
证明：平面MOE∥平面PAC.
证明：在平面ABC内，过点A作AB的垂线AH.
∵PA⊥平面ABC，AB，AH 平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AH.
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
1．知识清单：(1)用向量证明直线和直线平行．
(2)用向量证明直线和平面平行．
(3)用向量证明平面和平面平行．
2．方法归纳：向量法．
3．常见误区：建立空间直角坐标系的关键是根据几何体的特征，尽可能找到三条两两互相垂直且交于一点的线段，特别是有垂直关系的一些常见几何体(如正方体、长方体、直棱柱)是最简单的模型．
课时作业 巩固提升