人教版高中数学选择性必修第一册1.4.1第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
1．4　空间向量的应用
1．4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示
[学习目标]　1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念，并会求一个平面的法向量．　2.理解空间直线、平面的向量表达式.
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　空间点的位置向量、直线的方向向量、平面的法向量是如何定义的？
问题2　空间直线和平面的向量表达式分别是什么？其依据是什么？
问题3　求一个平面的法向量的一般步骤是什么？　　　
[预习自测]
1．若A(0,1,2)，B(2,5,8)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(3,2,1)　　　　　　　 B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(1,2,3)
D
2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是(　　)
A．(0，－3,1) B．(2,0,1)
C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)
解析：∵(－2,3，－1)＝－(2，－3,1)，
∴向量(－2,3，－1)与平面α的一个法向量平行，它也是此平面的法向量．
D
3．给定下列命题：(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线的方向向量；(3)在空间直角坐标系中，a＝(0,0,1)是坐标平面Oxy的一个法向量．其中正确命题的序号是________．
(1)(3)
解析：(1)直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量，所以(1)正确．
(2)λ＝0时λv＝0不是直线的方向向量，所以(2)不正确．
(3)a＝(0,0,1)所在直线z轴垂直于坐标平面Oxy，所以a是坐标平面Oxy的一个法向量，故(3)正确．
4．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＝__________，z＝__________.
1
0
空间中点和直线的向量表示
a
A
A
法向量
0
B
－2
求平面的法向量
1．平面α的法向量是与α垂直的直线l的 a.
2．若向量a是平面α的法向量，向量b，c分别是平面α内的两条相交直线m，n的方向向量，则a·b＝ ，a·c＝ .
方向向量
0
0
[例3]　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．
(1)求平面BCC1B1的法向量；
(2)求平面A1BC的法向量．
平面法向量的求法
找一个平面的法向量的方法一般有两种：一是几何法，利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上取一条有向线段(或特殊的方向向量)即可；二是代数法，即坐标法，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，
利用代数法求平面的法向量的解题步骤如下：
1．知识清单：(1)空间中点和直线的向量表示．
(2)空间中平面的向量表示．
(3)平面法向量的求法．
2．方法归纳：几何法、代数法、等价转化．
3．常见误区：直线的方向向量和平面的法向量都不能是零向量且不唯一，这无数个方向向量或法向量都分别是共线向量．用代数法求平面的法向量时，设定的某个分坐标一定不能是0.
课时作业 巩固提升