吉林省“BEST 合作体”2022-2023 学年度下学期期末考试
高二数学试题答案
一、选择题（每题 5分，计 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B B A D A C
题号 9 10 11 12
答案 ABD BCD BD BC
二、填空题（每题 5分，计 20 分）
6
13. 5 14. -51 15. 4 16. 7
三、解答题(17 题 10 分，18-22 题，每题 12 分，总计 70 分）
17．（本小题满分 10 分）
4
解：（1）方法一：由题意可得： P A ，………1分
7
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件 AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件 AB，从 7个同
2
学中每次不放回地随机抽取 2人，试验的样本空间Ω包含 n A7 7 6 42个等可能的样本点，
因为n AB A1 A14 3 4 3 12 n AB A1 A1， 3 2 6，
n AB n AB
P B 12 6 3
n AB 12 2
所以 , P AB ，………3分
n 42 7 n 42 7
2
P AB 1
故 P B A 7 4 ．………5分P A 2
7
P B 4 3 3 2 3方法二： ，………1分
7 6 7 6 7
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，则 P A 4 ，
7
P AB 4 3 2 ，………3分
7 6 7
2
P AB 故 P B A 1 74 P ．………5分A 2
7
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（2）被抽取的 3人中女生人数 X 的取值为 0，1，2，3，………6分
3 1 2 2 1 3
P X C 1 C C 12 C C 18 C 4 0 33 ， P X 1 4 33 ， P X 2 4 33 ， P X 3 4 ，………8分C7 35 C7 35 C 37 35 C7 35
X 的分布列：
X 0 1 2 3
1 12 18 4
P
35 35 35 35
………9分
1 12 18 4 12
X 的数学期望 E X 0 1 2 3 .………10分
35 35 35 35 7
18.（本题满分 12 分）
t 1 2 3 4解：（1） 2.5， y
1
(5.2 5.3 5.7 5.8) 5.5，………1分
4 4
4
(ti t )(yi y ) ( 1.5) ( 0.3) ( 0.5) ( 0.2) 0.5 0.2 1.5 0.3 1.1，………2分
i 1
4 4
(t 2 2i t ) ( 1.5) ( 0.5)2 0.52 1.52 5 ， (y 2i y ) ( 0.3)2 ( 0.2)2 0.22 0.32 0.26，………3分
i 1 i 1
4
(ti t )(yi y) 1.1 1.1
r i 1 0.96 0.754 4 ，………5分
(t t )2 (y y)2
1.3 1.14
i i
i 1 i 1
订单数量 y 与月份 t 的线性相关性较强；………6分
4
(ti t )(yi y) 1.1
（2） b i 1 4 0.22，………8分
(ti t )2 5
i 1
a y b t 5.5 0.22 2.5 4.95，………9分
经验回归方程为 y 0.22t 4.95，………10分
令 t 5， y 0.22 5 4.95 6.05（万件），………11分
即该企业 5月份接到的订单数量预计为 6.05万件.………12分
19．（本题满分 12 分）
解：（1）解：选择条件① a2 a1 2，且 2an a1 Sn，由题意可得 2an 1 a1 Sn 1，
∴2an 1 2an Sn 1 Sn an 1，即 an 1 2an，………2分
∴ an 为公比 q = 2的等比数列，………3分
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∵ a2 a1 2，∴ 2a1 a1 2，解得 a1 2，………5分
∴ an 2
n n N ；………6分
n 1
选择条件② an 为等比数列，且满足 Sn 2 k，………2分
由题意可得 a2 S2 S1 (8 k) (4 k) 4, a3 S3 S2 (16 k) (8 k) 8，………4分
q a 3 2 5 a a qn 2∴ ，……… 分 ∴ n 2 2
n
a n N
；………6分
2
（2）由（1）得 a 2nn n 1 1 1 1 1 N ，∴bn log a log a ，………8分2 2n 1 2 2n 3 (2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3
T b b b 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
∴ n 1 2 n 2 3 5 5 7 2 n 1 2 n 3
，………10分
2 3 2 n 3
1 1 1 1 1 1 1 1∵ n N ， 0, ，∴Tn 2 3 2n 3 6………11分2n 3 3 2n 3 3
1 1
∴不等式Tn 恒成立时， ，即 的最小值为 ．………12分6 6
20.（本题满分 12 分）
x
解:（1）由 f (x) e 1 a sin x f x e x a cos x ，所以 f 0 1 a，………1分
又曲线 y f (x)在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y x，即 f 0 1 a 1，所以 a 2；………3分
（2）当 a 2时， f (x) ex 1 2sin x, f x ex 2cos x，
由 y ex、y cos x在 [0，π] x上分别单调递增、单调递减可得： f x e 2cos x在 [0，π]上单调递增，………5分
而 f 0 1 0, f π eπ 2 0，………6分
即 x0 0, π ，使得 f x0 0，故 f x 在 0, x0 上单调递减， x0 , π 上单调递增，
且 f 0 0 f π eπ 1，即 f (x)在 [0, π]上的最大值为 eπ 1；………7分
（3）∵ x [0，π] f x ex， acos x，令 g x f x g x ex a sinx ，………8分
①当 a 0时，asin x 0,ex 1 0，易知 f x ex 1 a sin x 0 在 x [0, π]上恒成立，当 x 0时取得等号，符合题
意；………9分
x
②当0 a 1时，易知 asin x 0，则 g x e asin x 0在 x [0, π]上恒成立，即 f x 在 x [0, π]时单调递增，
又 f 0 1 a 0，故 f x 在 [0, π]上单调递增，
∵ f 0 0，∴恒有 f (x) 0，符合题意；………10分
③当 a 1时，由②知 f x 在 x [0, π]时单调递增，而 f 0 1 a 0 f π eπ a ，
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即 x0 0, π ，使得 f x0 0，故 f x 在 0, x0 上单调递减， x0 , π 上单调递增，
又 f 0 0，则 f x0 f 0 0，不满足题意；………11分
综上当a ,1 ，能满足任意的 x [0, π]，恒有 f (x) 0 .………12分
21．（本题满分 12 分）
300 1
解:（1）由题可知，小周第 1个月摇上号的概率为 ，………1分
3000 10
( 1所以小周连续三个月摇上号的概率为 )3，………2分
10
3
小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型共有A3种情况，三个月获得模型共有33种情况，
A3
所以在小周连续三个月摇上号的前提下，三个月集齐三款模型的概率为 3 ,………4分
33
1
3
A3 1
设事件A为“小周在这三个月集齐三款模型”，则 P A 3 3 ．………6分 10 3 4500
9
k 1
1 9
11
（2）由题意得 P X k k 1, 2, ,11 ， P X 12 ，………7分
10 10 10
11 k 9 k 1 11 9
则 E(X ) 10 10 12 ，………8分k 1 10
9 9 11 k 9 k 11 54 9
两边同乘 得 E(X ) ，………9分
10 10 k 1 10 10 5 10
1 E(X ) 1 ( 9 ) 0 1 ( 9 )1 1 ( 9 ) 2 1 ( 9 )11 11 9
12 11
12 9 两式相减得
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 0 10 1 0
9 12
1 1 1 ( )
[( 9 )0 ( 9 )1 ( 9 )2 ( 9 )11 ] 10 1 ( 9 )12，………10分
10 10 10 10 10 10 1 9 10
10
所以E(X ) 10
9
10 ( )12 10 10 9 9 ( )11 10 9 ( 9 )11．………12分
10 10 10 10
22．（本题满分 12 分）
解：（1） f x ， g x 定义域均为 (0,+ ) f x a 1 a x， ,， ………1分
x2 x x2
当 a 0时，则 f x 0， f x 在 (0,+ )单调递增，无极值，与题不符；
当 a 0时，令 f x =0，解得： x=a，
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所以 f x 在 0,a 单调递减，在 a, 单调递增，
在 x=a取极小值，且 f a 1 ln a； ………3分
1
又 g x a ，
x
当 a 0时： g x 0， g x 在 (0,+ )单调递减，无极值，与题不符；
1
当 a 0时：令 g x =0，解得： x ，
a
g x 0, 1 1 所以 在 单调递减，在 , 单调递增，
a a
1
1 在 x 取极小值，且 g 1 lna； ………4分a a
由题：，解得：a=1.………5分
m 1（2）令 ,n
1
x x m n
x1 x
，因为 1 2，所以 ，
2
a
+lnx1=2x am lnm=2 1
由 f x1 f x2
2 x1 x
1
2 可得： a an lnn=2 2 ，………6分 +lnx =2
x
2
2
（1）-（2）得：a m n lnm ln n 1 m n，所以 ，
a lnm ln n
1 1 2
要证： ，只要证：m n
2 m n
x x a ，只要证：
m n 2 ，………7分
1 2 a lnm ln n
m
2 m n 2 1
不妨设0 n m m m n，所以只要证： ln ， 即证： ln ，………8分
n m n n m 1
n
令 t
m
t 1 2 t 1 ，只要证： ln t
n t 1 ，t 1
2
2 t 1
1 2 t 1 2 t 1 1 4 t 1
令 h t ln t t 1 ， h t ，
t 1 t t 1 2 t t 1 2 t t 1 2
所以h t 在 t 1, 上单调递增，………11分
2 t 1 1 1 2 即有 ln t t 1 成立，所以 成立.………12分
t 1 x1 x2 a
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高二数学试题
本试卷满分 150 分，共 5页。考试时间为 120 分钟，考试结束后，只交答题卡。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，计 60 分,1-8 题为单选，9-12 题为多选，少选得 2 分，错选
或不选得 0 分，）
1．设集合M x | 4x 32 ， N y | y x 1 ，则M N （ ）
A． B． 0,
5 5
C． 1, D．[1,5) 2 2
2. 命题 p :“ x R, x2 mx 1 0”，命题 q :“m 2”，则 p是 q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
1
3．用模型 y cekx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z lny，其变换后得到经验回归方程为 z 2x ，
2
则 c （ ）
A．0.5 B． e0.5 C．2 D． e2
4．已知抛物线C： y2 x的准线为 l，点A的坐标为 1,0 ，点 P在抛物线上，点 P到直线 l的距离为d ，则
PA d的最大值为（ ）
3 2
A 1 B 1． ． C． 3 D．4 2
5．李先生的私家车基本上每月需要去加油站加油两次，假定每月去加油时两次的油价略有差异.有以下两种
加油方案：
方案一：不考虑两次油价的升降，每次都加油 200元；
方案二：不考虑两次油价的升降，每次都加油 30升.
李先生下个月采用哪种方案比较经济划算 （ ）
A．方案一 B．方案二 C．一样划算 D．不能确定
6．已知A，B为双曲线C的左、右顶点，点M 在C上， ABM 为等腰三角形，且顶角为120 ，则C的离心
率为（ ）
A 3 1 B C 2 1． ． 3 ． D． 2
2 2
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2
7．已知函数 f
(x 1) , x 0,
x 若函数 g x f x b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ）
lgx , x 0,
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 1,
8．若 a sin 0.1 tan 0.1，b 0.2， c 0.16e0.2 ，则 a，b，c的大小关系为（ ）
A．a b c B．b
9．某课外兴趣小组通过随机调查，利用 2 2列联表和 2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关.计算得
2 =6.748，经查阅临界值表知 P( 2 >6.635)=0.010，则下列判断错误的是（ ）
A．每 100个数学成绩优秀的人中就会有 1名是女生
B．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是 0.010
C．有 99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关
D．在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别无关”
10．下列命题中正确的是（ ）
A．命题：“ x 0, x2 0”的否定是“ x 0, x2 0”
B．函数 f (x) a x 4 1（a 0且 a 1）恒过定点 (4, 2)
2
C．已知函数 f (2x 1)的定义域为[ 1,1]，则函数 f x 2 的定义域为[ 1,1]
D．函数 y mx 2 (m 3)x 1的值域是[0, )，则实数 m 的范围是[0,1] [9, )
11．一个袋子中装有除颜色外完全相同的 10 个球，其中有 6 个黑球，4个白球，现从中任取 4个球，记随
机变量 X 为取出白球的个数，随机变量Y 为取出黑球的个数，若取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1
分，随机变量 Z为取出 4 个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ）
A． P X 1 1 28 B． X Y 4 C． E X E Y D． E Z 2 5
f x
12．定义在R 上的函数 f x 的导函数为 f x ，当 x 0，2 时， xf x f x ，函数 g x 满足：
x
g x 1 为奇函数，且对于定义域内的所有实数 x，都有 g 4 x g x ．则（ ）
A． g x 是周期为 2 的函数 B． g x 为偶函数
g 33 C． g 2023 g e D． g x 的值域为 1,1
2
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二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，计 20 分）
13．已知等差数列 an 的前 n项和为 Sn，且 a3 a7 14， S5 15，则 a4 _____.
14． x2 5 x 1 的展开式中， x5的系数为_____.
15.已知 x 0， y 0，且 x 2 y 4，则 xy的最大值是_____.
16．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一
根根相同长度的小木棍，如图，是利用算筹表示数 1~9的一种方法，例如：47可以表示为“ ”，
如果用算筹表示一个不含“0”且没有重复数字的三位数，这个数至少要用 8根小木棍的概率为__________.
三、解答题（本大题共 6 小题，17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，计 70 分）
17．（本小题 10分）在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了 100
名学生，其中共有 4名女生和 3名男生的成绩在 90分以上，从这 7名同学中每次随机抽 1人在全校作经验
分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件 A，第二次抽到男生为事件 B．
(1)求 P B ， P B A ，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这 7名学生中随机抽取 3人进行经验分享，记被抽取的 3人中女生的人
数为 X，求 X的分布列和数学期望．
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18．（本小题 12分）2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增
强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了
企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，下表为该企业今年 1~4月份接到的订单数量.
月份 t 1 2 3 4
订单数量 y（万件） 5.2 5.3 5.7 5.8
n
(xi x )(yi y)
i 1
附：相关系数， r n n ，回归方程 y a b x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
(x x )2 (y y)2i i
i 1 i 1
n
(xi x)(yi y)
b i 1 n ， a y bx， 1.3 1.14 .
(xi x)2
i 1
(1)试根据样本相关系数 r的值判断订单数量 y与月份 t的线性相关性强弱（0.75 | r | 1，则认为 y与 t的线
性相关性较强， | r | 0.75，则认为 y与 t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）
(2)建立 y关于 t的经验回归方程，并预测该企业 5月份接到的订单数量.
19．（本小题 12分）已知数列 an 的前 n项和为 Sn．
(1)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，求 an 的通项公式；
1
(2)设bn n N log ，记 bn 的前 n项和为Tn，若对任意正整数 n，不等式Tn 恒成立，2 a2n 1 log2 a2n 3
求 的最小值．
条件① a2 a1 2，且 2an a1 Sn；条件② an 为等比数列，且满足 Sn 2n 1 k；（注：若条件①和条件②
分别解答，按第一个解答计分．）
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20．（本小题 12分）已知函数 f (x) ex 1 asin x a R ．
(1)若曲线 y f (x)在 (0, f (0))处的切线方程为 y x，求实数 a的值；
(2)当a 2时，求 f (x)在 [0, π]上的最大值；
(3)若对任意的 x [0, π]，恒有 f (x) 0，求实数 a的取值范围．
21．（本小题 12分）2023年 4月 23日，是中国海军成立 74周年。74年向海图强，74年劈波斩浪．74年，
人民海军新装备不断增加，新型作战力量加速发展，从“101南昌舰”到“108咸阳舰”，8艘 055型驱逐舰列
阵.我国自主研制的 075型两栖攻击舰“31海南舰”“32广西舰”“33安徽舰”也相继正式入列．从小艇到大舰，
从近海防御到挺进深蓝大洋，人民海军步履铿锵，捍卫国家主权，维护世界和平．为了庆祝中国海军成立
74周年，某公司设计生产了三款两栖攻击舰模型（分别为“31海南舰” “32广西舰”“33安徽舰”），并限量发
行。若该公司每个月发行 300件（三款各 100件），一共持续 12个月，采用摇号的方式进行销售．假设每
个月都有 3000人参与摇号，摇上号的将等可能获得三款中的一款．小周是个“战舰狂热粉”，听到该公司发
行两栖攻击舰模型，欣喜若狂．
(1)若小周连续三个月参与摇号，求他在这三个月集齐三款模型的概率；
(2)若摇上号的人不再参加后面的摇号．已知小周从第一个月开始参与摇号，并且在 12个月的限量发行中成
功摇到并获得了模型．设他第 X个月 (X 1,2, ,12)摇到并获得了模型，求 X的数学期望．
22．（本小题 12分）已知 a R ，函数 f x a ln x， g x ax ln x 2 .
x
(1)当 f x 与 g x 都存在极小值，且极小值之和为 0时，求实数 a的值；
(2)若 f 1 1 2x1 f x2 2 x1 x2 ，求证： x1 x2 a
.
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