圆[下学期]

初三几何教案
第七章：圆
第14课时：直线和圆的位置关系
教学目标：
1、使学生理解直线和圆的位置关系．
2、初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用．
3、通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力；2．在7．1节我们曾学习了“点和圆”的位置关系：
教学重点：
使学生正确理解直线和圆的位置关系，特别是直线和圆相切的关系，是以后学习中经常用到的一种关系．
教学难点：
直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，又可作为性质，学生不太容易理解．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习过用点到圆心的距离和圆半径的大小关系来判断点和圆的位置关系，现在我们用同样的数学思想方法来研究直线和圆的位置关系，请同学们回忆：1．点和圆有哪几种位置关系？2．怎样判定点和圆的位置关系？
我们已经了解了平面上点和圆共有三种位置关系①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内．如果我们设⊙O的半径为r，则有下面点与圆位置的数量关系．
二、新课讲解：
实际上，太阳从地平线上缓缓升起时，太阳与地平线的位置关系；铁轨上飞奔的列车，它的轮子与铁轨之间的位置关系；都给了我们直线和圆的位置关系的印象，那么平面上给定一个圆和一条运动着的直线或给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然有着若干种不同的位置关系，如果从数学角度看，它的若干种位置关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画互相研究一下．
学生动手画，教师巡视，当所有学生都把三种位置关系画出来时，教师可以用计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程一定要用两种方法．一是给定直线圆在动；另一方面是给定圆，直线在动，这样学生才能从运动的观点去研究问题．
最终教师指导学生从直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的定义．
1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．直线叫做圆的割线．
2、直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．直线叫圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
3．直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
在直线和圆的位置关系中，直线和圆相切是非常重要的位置关系，在今后的学习中有重要意义，务使每位同学都要清楚．除从直线和圆的公共点的个数来判断直线是否与圆相切外，是否还有其它的判定方法呢？可提示学生，从点和圆的位置关系去考察，特别要从点到圆心的距离与圆半径的关系去考察，若该直线l到圆心O的距离为d，⊙O半径为r，指导学生观察已经确定的直线和圆的三种位置关系，很容易得到所需的结果：
但是反过来，若先给定了直线到圆心的距离与圆的半径的数量关系，判断直线和圆的位置关系时，学生可能有一定的困难．这时可引导学生点到直线的距离，有助于学生对困难的解决．从而完成符号的左边“ ”．向学生介绍符号“ ”的意义及读法．
练习一，已知圆的直径为12cm，如果直线和圆心的距离为（1）5.5cm；（2）6cm；（3）8cm；那么直线和圆有几个公共点？为什么？
此题是直接运用性质进行判断．
答案：（1）两个公共点，（2）一个公共点，（3）没有公共点．
练习二，已知⊙O的半径为4cm，直线l上的点A满足OA=4cm，能否判断直线l和⊙O相切？为什么？
此题再一次强调定理中是圆心到直线的距离，这是学生容易出现问题的地方．
答案：不能确定．结合具体图形指导学生发现．当OA不是圆心到直线的距离时，直线l和⊙O相交；当OA是圆心到直线的距离时，直线l是⊙O的切线．
例题（P．104）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm，（2）r=2.4cm，（3）r=3cm
指导学生在对题目进行分析时指出，题中所给的Rt△在已知条件下各元素已为定值，以直角顶点C为圆心的圆，随半径的不断变化，将与斜边AB所在的直线产生各种不同的位置关系，帮助学生分析好，d是点C到AB所在直线的距离，也就是直角三角形斜边上的高CD，在求直角三角形斜边上的高CD时用到三角形面积公式．这个方法在今后的证明时常常用到．要求学生学会这种思考问题的方法．
例题解法参考教材P．104页．
三、课堂小结：
为了培养学生阅读教材的习惯，请学生看教材P．103-104，从中总结出本课学习的主要内容有：
1．从图形公共点看，直线和圆有两个公共点，直线和圆相交，直线是圆的割线；直线和圆有唯一公共点，直线和圆相切，直线是圆的切线；直线和圆没有公共点，直线和圆相离．
2．直线和圆的位置关系的数量关系：即直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．
3．目前判断一条直线是圆的切线的方法有二：其一是直线和圆有唯一公共点，特别要强调“唯一”一词的意义；其二是圆心到直线的距离等于圆的半径．
四、布置作业
教材P．105练习2．
教材P．115习题7．3A组2、3．初三几何教案
第七章：圆
第6课时：垂直于弦的直径（三）
教学目标：
1、使学生能够熟练掌握垂径定理及两个推论；
2、使学生能够运用垂径定理及两个推论进行有关的证明和计算．
3、通过例4的教学使学生了解垂径定理在实际问题中的应用，进一步提高学生用数学的意识；
教学重点：
垂径定理及推论的应用．
教学难点：
实际问题转化为数学问题．
教学过程：
一、新课引入：
这节课的主要内容是应用题例4，例4是一个实际问题，它反映了数学与生产实际的联系，它要求学生用数学的理论、思想、方法建立实际问题的数学模型，以解决实际问题．这对进一步培养学生分析问题和解决问题有很大的帮助．本节课就是引导学生把例4的实际问题转化成一个数学问题，然后综合运用垂径定理、勾股定理来加以解决．
为了进一步理解运用垂径定理解决实际问题，教师有目的地安排两组复习题，启发学生进行回答．
复习提问：
1．垂径定理内容是什么？
2．判断题：
①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；（ ）
②弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧；（ ）
③经过弦中点的直径一定垂直于弦；（ ）
④圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦一定平行；（ ）
⑤平分弦所对的一条弧的直径一定垂直平分这条弦．（ ）
学生回答的对错，由学生之间评价，从而得到正确答案．其目的就是为了强化所学过的垂径定理及推论1、推论2，为本节课做准备工作．
二、新课讲解：
例4 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧中点到弦的距离，也叫弓形的高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）．
同学们，请看图7-18上这座石桥，这座桥就是例4中的古代的赵州石拱桥，学生一边观察桥的结构，教师一边讲解：“赵州桥又名安济桥，位于河北省赵县城南洨河上，是我国现存的著名古代大石桥，是隋代开皇大业年间（590～608）李春创建．桥为单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约为33米，拱圈矢高约7米，弧形平缓，拱圈由28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，又节省材料，又便于排水，且增美观，在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之大在当时亦属创举，这反映了我国古代劳动人民的智慧与才能．现在这座桥为全国重点文物保护单位．”教师一席话一方面向学生进行爱祖国的教育；另一方面激发学生的学习动机，点燃学生的思维火花，激起学生思维的热情，使学生的思维处于最佳状态．
教师为了让学生了解赵州石拱桥的背景，激发学生的求知欲望，当学生对这座桥产生好奇时，教师启发学生：“我们如何来求出这座桥的半径呢”？接着教师分析：“我们知道这是一座石拱桥，我们可以把桥拱抽成一个几何图形，就是一个圆弧形”．这时教师画出图7-19．
对于一个实际问题求半径的长，能否转化成一个数学问题来解决呢？这就需要首先分析已知什么条件和欲求的未知是什么？师生共同分析解题思路．教师板书：
解：圆 表示桥拱，设 的圆心为O，半径为R米．
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于足C，根据垂径定理，D是 的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．由题设
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC-DC=R-7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2=AD2+OD2，
即 R2=18.72+（R-7.2）2
解这个方程，得R≈27.9（米）．
答：赵州石拱桥的半径约为27.9米．
在例4的处理上，教师采取一边画图，一边分析，一边板书．目的让学生掌握关于求弦、半径、弦心距及弓形高等问题，属于典型的数形结合问题，对于解决这种典型的问题就是依据已知和未知设法构造直角三角形，通过这个直角三角形就能把垂径定理和勾股定理有机地结合起来，就能很快地把未知转化为已知．从而所求问题得以解决．
巩固练习：P．81中1题．
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=60mm，求油的最大深度．
对于这道题主要由学生分析，教师适当点拨．
分析：要求油的最大深度，就是求有油弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后利用垂径定理和勾股定理来解决．
总结解题思路：
巩固练习：教材P．82中2题（略）．
三、课堂小结：
本节课主要要求学生综合运用垂径定理和勾股定理解决圆中线段的长等问题．
如图在⊙O中，设⊙O半径为R，弦AB=a，弦心距OD=d，弓形的高DE=h．且OE⊥AB于D．
已知：①R、d，求a、h．
②R、h，求a、d．
③R、a，求d、h．
④d、h，求R、a．………
对于在⊙O中在R，a，d，h中，只要已知两个量就可求出另外的两个量．所应用的知识点是勾股定理和垂径定理．
本节课主要解题思路：
四、布置作业：
教材P．84中15、16题．
教材P．85中4题（B组）初三几何教案
第七章：圆
第40课时：圆、扇形、弓形的面积(二)
教学目标：
1、使学生在复习巩固圆面积、扇形面积的计算的基础上，会计算弓形面积；
2、会计算一些简单的组合图形的面积．
3、通过弓形面积的计算培养学生观察、理解能力，综合运用知识分析问题和解决问题的能力；
4、通过运用弓形面积的计算解决实际问题，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力；
5、通过学生对弓形及简单组合图形面积的计算，培养学生正确迅速的运算能力．
教学重点：
弓形面积的计算．
教学难点：
(1)简单组合图形的分解．
(2)从实际问题中抽象出数学模型．
教学过程：
一、新课引入：
上一节我们复习了圆的面积，在它的基础上我们学习了扇形的面积，本节课就要在前一课的基础上学习弓形面积的计算．
弓形是一个最简单的组合图形之一，由于有圆的面积、扇形面积、三角形面积做基础，很容易计算弓形的面积．
由于计算弓形的面积不像圆面积和扇形面积那样有公式，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差；当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角的面积的和；当弓形弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半．也就是说要计算弓形的面积首先要观察这个弓形是怎么组合而成的，从而得到启发；一些组合图形的面积总要分解为几个规则图形的和与差来解决的方法．所谓规则图形指的是有计算公式的图形．因此弓形面积的计算以及受它启发的分解组合图形求面积的方法就是本节课的重点．本节拟就三部分组成：1．师生共同观察分解弓形，然后作有关的练习．2．运用弓形面积的计算解决实际问题．3．受分解弓形的启发分解一些简单的图形．
二、新课讲解：
(复习提问)：1．请回答圆的面积公式．2．请回答扇形的面积公
(以上三问应安排中下生回答)4．请同学看图7-163，弦AB把圆分成两部分，这两部分都是弓形，哪位同学记得弓形的定义？(安排中下生回答：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．)
所组的弓形．它的面积能不能跟扇形面积联系上呢？(安排中上生回答：能，连结OA、OB)．大家再观察图形，这个弓形的面积如何通过扇形
也就是说组成弓形的弧如果是劣弧，那么它的面积应该等于以此劣弧与半径组成的扇形面积减去这两半径与弦组成的三角形的面积．
和半径OA、OB组成的图形是扇形吗？为什么？(安排中上生回答：是，因为它符合扇形的定义．)
如果弦AB是⊙O的直径，那么以AB为弦，半圆为弧的弓形的面积又是多少？(安排中下生回答：圆面积的一半．)
于是我们得出结论：如果组成弓形的弧是半圆，则此弓形面积是圆面积的一半；如果组成弓形的弧是劣弧则它的面积等于以此劣弧为弧的扇形面积减去三角形的面积；如果组成弓形的弧是优弧，则它的面积等于以此优弧为弧的扇形面积加上三角形的面积．也就是说：要计算弓形的面积，首先观察它的弧属于半圆？劣弧？优弧？只有对它分解正确才能保证计算结果的正确．
哪位同学知道要对这种题进行计算，首先要作什么工作？(安排中下
三角形AOB的面积怎么求？(安排中上生回答：过O作OD⊥AB，垂
以只要解此△AOD即可求出OD、AD的长，则S△AOB可求．)
请同学们把这题计算出来．(安排一学生上黑板做，其余在练习本上
请同学们讨论研究第2题，并计算出它的结果．(安排中上生上黑板
(幻灯提供例题：)水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m．求截面上有水的弓形的面积．(精确到0.01m2)
“水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m”为你提供了什么数学信息？(安排中上生回答：⊙O的半径是0.6m．)“其中水面高是0.3m”．又为你提供了什么信息？(安排中上生回答：弓形高CD是0.3m．)“求截面上有水的弓形的面积为你提供什么信息？(安排中等生回答：
长，看看已知条件，你打算怎么办？(安排中上学生回答：因弓形高CD已知，半径已知，所以弦心距OD可求，根据垂径定理，Rt△AOD可解，即∠AOD的度数可求，所以∠AOB的度数可求．n既然可求当然
请问△AOB的面积又该如何求？(安排中等学生回答：通过解此△AOD可求出AD的长，再据垂径定理可求AB的长，OD已求，所以S△AOB可求．)
请同学们完成这道应用题．(安排一位中上学生到黑板做，其余学生在练习本上完成)．
弓形面积虽然没有计算公式，但可以选用图形分解法，将它转化为扇形与三角形的和或差来解决，那么其它一些组合图形，不也可以用图形分解法来求其面积吗？
幻灯示题：如图7-166，已知正△ABC的边长为a，分别以A、B、
图形面积S．
显然图形中阴影部分的面积无计算公式，因此必须将它转化为有公式图形的和或差来解决．想想看，你打算如何求S阴？(安排中等生回答：S阴=S正△ABC-3S扇)
正三角形的边长为a，显然S正△ABC可求．由于正△ABC，所以∠
请同学们完成此题．(安排一中上学生上黑板，其余在练习本上完成)．
幻灯示题：已知：⊙O的半径为R，直径AB⊥CD，以B为圆心，
大家观察，图(7-167)中的阴影部分面积应当如何求？(安排中下生回
我的看法对还是不对？为什么？(安排举手的学生回答：图形BCAD不是扇形，因为扇形的定义是在同一个圆中，一条弧和过弧端点的两条半径
的半径．因此将阴影面积看成两扇形的差是错误的．)
请同学们按照正确思路完成此题．(安排一中等学生上黑板，其余学生在练习本上做)
三、课堂小结：
哪位同学能为本节课作总结？(安排中上学生回答：1．弓形面积的计算：首先看弓形弧是半圆、优弧还是劣弧，从而选择分解方案．2．应用弓形面积解决实际问题．3．分解简单组合图形为规则圆形的和与差．)
四、布置作业
教材P．183练习1、2；P．188中12．初三几何教案
第七章：圆
第25课时：圆和圆的位置关系(一)
教学目标：
1．本节课使学生掌握圆和圆的几种位置关系的概念及相切两圆连心线的性质．
2．使学生能够根据两圆不同的位置关系，写出两个圆半径的和或差与圆心距之间的关系式；反过来，由两圆半径的和或差与圆心距的大小关系，判定两圆的位置关系．
3、结合本节课的教学内容培养学生亲自动手实验，学会观察图形，主动获得知识的能力．
4、．继续培养学生运用旧知识探求新知识的能力．
教学重点：
圆和圆的五种位置关系的概念及相切两圆的连心线的性质．
教学难点：
理解相切两圆连心线性质的证明．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，前面我们学习了点和圆及直线和圆的位置关系，在原有知识的基础上本节课我们学习两圆的位置关系的有关知识，那么圆和圆有几种位置关系呢？教师板书课题：“7．13圆和圆的位置关系(一)”．根据学生已有的知识水平及本节课的特点，从引导学生回顾点和圆三种位置关系到直线和圆的三种位置关系出发，激发学生通过类比探求圆和圆的位置关系有几种情况，这样可一下子抓住学生的注意力．
为了使学生真正体会到数学理论来源于实践，反过来又作用于实践的这一理论．在学生复习了点和圆及直线和圆的位置关系的基础上，教师引导学生把课前准备好的两个不等圆的纸版拿出来，同桌两人动手实验，发现圆和圆的位置关系有五种情况的过程，由学生上黑板公布自已发现的五种情况，教师适当补充．这样做的目的．是鼓励学生亲自动手来参与探索新知识过程．可充分调动学生的学习积极性．
让学生把自己得到的结论告诉同学们，对此问题不是所有同学都能理解，这时教师可以进一步引导，把得到的位置关系从投影上打出来．
这样做的好处是体现学生动手动脑的全过程，特别是通过自己实验总结出来的知识，更突出它的实际性．不是学生被动地接受知识，而是学生积极主动获得知识，更能培养学生发散思维的能力．
二、新课讲解：
学生得到的圆和圆的位置关系有五种情况，也就等于学生自己的科研成果公布于众．
请两名同学上黑板讲解得到五种位置关系的方法．全班同学参与评议，同时观察图形具有的特点．
找一名同学以两圆公共点的个数为依据，摆放出两圆各种不同的位置：
找一名同学利用运动变化的观点来得到两圆的位置．设⊙O1为动圆，⊙O2为定圆，当⊙O1向⊙O2运动时，两圆的位置关系的变化如下：
由学生实验得到结论，教师引导学生回答，教师概括总结：
圆和圆的位置关系五种情况及各自的概念．
(1)两圆外离：略
(2)两圆外切
(3)两圆相交
(4)两圆内切
(5)两圆内含
教师一边讲解每一种情况的定义，同时要求学生理解重点词语“内”、“外”、“内部”、“外部”．这五种情况也可以归纳为三类：
(2)相交
接着教师引导学生思考这样问题：
除根据公共点的个数可以判定两个圆的位置关系外，还有没有其它方法呢？由于圆和圆的位置关系是学生自己得到的，前两名同学发言的激发下，不少同学都想拿出自己的作品，这时教师让学生议论五分钟，然后由学生总结出又一种方法判定两圆的位置关系．教师板书：
设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么
(1)两圆外离 d＞R+r
(2)两圆外切 d=R+r
(3)两圆相交 R-r＜d＜R=r(R≥r)
(4)两圆内切 d=R-r(R＞r)
(5)两圆内含 d＜R-r(R＞r)
同心圆 d=0
接下来为了巩固所讲的知识点，投影放出一组练习题：
⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，设
(1)O1O2=8厘米； (2)O1O2=7厘米；
(3)O1O5=5厘米； (4)O1O2=1厘米；
(5)O1O2=0.5厘米； (6)O1和O2重合．
请回答⊙O1与⊙O2的位置关系怎样？
这组练习题，学生思考回答，学生参与评价，老师不代替学生，知识点消化靠学生自己思维解决．如果有困难的话由其它同学帮忙解决．
接下来教师结合图7-96讲解“把经过两圆心的直线叫做连心线”．那么两圆外切、内切的切点与连心线有怎样的关系呢？
本题由教师分析证明思路，在学生表示认可的情况下，由学生总结出相切
两圆的性质：
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．
教师这样做的目的是培养学生亲自动手操作实验，发现规律，总结出结论．一方面培养学生自己探求新知识的探索精神，另一方面给学生一种自信，让他们感觉自己能行．
接着幻灯打出例1 如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．
求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？
(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？
学生回答，教师板书：
解：(1)设⊙O与⊙P外切于点A．
∴ PA=OP-OA=8-5，
∴ PA=3cm．
(2)设⊙O与⊙p内切于点B．
∴ PB=OP+OB=8+5，
∴ PB=13cm．
练习题由学生自己完成，教师不讲，学生之间互相评价．
三、课堂小结：
课后小结由学生进行，教师概括：
(一)本节所学的知识点：
1．圆和圆的位置关系的概念．
3．相切两圆连心线的性质．
(二)本节课所学的方法：
1．会利用公共点的个数和定义判定两圆的位置关系．
2．会用两圆半径和圆心距的关系判定两圆的位置关系．
3．学会两圆相切连心线必过这两圆的切点．
四、布置作业教材
P．151习题7．5A2、3、4．初三几何教案
第七章：圆
第29课时：两圆的公切线(一)
教学目标：
1、使学生理解两圆公切线等有关概念．
2、使学生学会两圆外公切线的求法．
3、通过对两圆公切线的直观演示的观察，培养学生能从直观演示中归纳出几何概念的能力；
4、在指导学生学习求两圆外公切线长的过程中，培养学生的总结、归纳能力．
教学重点：
使学生理解两圆公切线等有关概念，会求两圆的外公切线长．
教学难点：
两圆公切线和公切线长学生理解得不透，容易搞混．
教学过程：
一、新课引入：
运转着的机器上主动轮和从动轮和传动带之间，很明显地给我们留下了一条直线和两个圆同时相切的形象，现在我们来研究和两圆都相切的直线．
二、新课讲解：
在直线和圆的位置关系中，切线非常重要，那么在两圆的位置关系中，尤其是与两个圆都相切的切线，应该具有什么特殊的性质呢？请同学打开练习本，画出所有可能的一条直线同时与两个圆相切的情形．
学生动手画，教师巡视，当所有学生把认为可能的情形画完之后，教师打开计算机或幻灯作演示，演示过程中提醒学生观察，每一种圆与圆的位置关系是否都能作出符合条件的直线？两个圆与所作出的直线的位置如何？不同的位置能作出的直线的条数，哪一种圆与圆的位置关系中的符合条件的直线上存在线段？线段的端点是什么？
最终教师指导学生定义两圆公切线及有关概念：
1．定义：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．
2．分类：外公切线和内公切线．
3．定义内外公切线．
两个圆在公切线同旁时，公切线叫外公切线；两个圆在公切线两旁时，公切线叫内公切线．
4．公切线长：公切线上两个切点的距离叫做公切线长．
5．圆与圆各种位置的公切线及条数．
两圆公切线的系列概念，主要是通过演示观察归纳获得．务必使每个学生都清楚，并不是每一种圆与圆的位置关系都存在公切线，两个圆若存在公切线，公切线的条数也因不同的位置关系而不相同．而两圆即使存在公切线，但不一定有切线长，教师可指导学生观察每一种位置关系的公切线，最终得到结论：只有两圆外离、外切、相交可求外公切线长，而两圆外离时又可求内公切线长．特别要使学生明白公切线和公切线长是两个不同的概念，因而意义也就不同，公切线是一条和两圆同时相切的直线，而公切线长是公切线上两个切点间的线段长，故可求之．
怎样求两圆的外公切线长？可指导学生回顾切线长求法，是在一个由圆外一点到圆心的线段、半径、切线长为边的直角三角形中完成的．同样地，我们也考虑把公切线长的求出放置到一个直角三角形中去．这时可指导学生首先运用切线的性质，连结过切点的半径O1A、O2B于是得到直角梯形O1ABO2，只要过O1作O1C⊥O2B，便得到矩形O1ABC，于是AB=O1C，O1C可在Rt△O1CO2中求得．
练习一，当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成 [ ]
A．直角三角形 B．等腰三角形．
C．等边三角形 D．以上答案都不对．
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)
练习二，外公切线是指
(A)和两圆都相切的直线．
(B)两切点间的距离
(C)两圆在公切线两旁时的公切线
(D)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断．答案：(D)
例1 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2、的外公切线，切点分别是A、B．
求：公切线的长AB．
例题解法参考教材P．140例1．
练习三 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为15cm和5cm，它们外切于点T，外公切线AB与⊙O1、⊙O2分别切于点A、B．求外公切线长AB．
此题中因为两圆外切，所以圆心距⊙O1O2等于两半径之和．
解：连结O1A、O2B，过点O2作O2C⊥O1A，垂足为C．
四边形ACO2B是矩形
在Rt△O1CO2中：O1O2=20，O1C=10，
三、课堂小结：
为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材P．140至P．141，从中总结出本课学习的主要内容：
1．两圆公切线等有关内容，注意概念之间质的区别．
2．两圆外公切线长的求法．
如图7-105求两圆的外公切线长AB．就是要把AB转化到Rt△O1CO2中．
Rt△O1CO2的三边分别由圆心距、两半径之差、外公切线长组成．这三个量中已知任意两个量，都可以求出第三个量．同时在Rt△O1CO2中，我们完全可以依据已知条件，用直角三角形的性质或三角函数求出锐角∠O2O1C来，从而得到两圆外公切线的夹角的度数：2∠O2O1C．
3．两圆在外离、外切、相交时可求外公切线长．已知条件中的圆心距，两圆外离、相交时一定给出，而两圆外切时则不必给出，务必请同学注意．
四、布置作业
1．教材P．150中10．2．教材P．152中11．初中几何教案
第七章：圆
第21课时：弦切角(一)
教学目标：
1、使学生理解弦切角定义；
2、初步掌握弦切角定理及其运用．
3、通过运用弦切角定理，培养学生的推理论证能力；
教学重点：
正确理解弦切角定理，这一定理在以后的证明中经常使用．
教学难点：
弦切角定理的证明．学生不太容易想到把弦切角的(2)(3)种情况“转化”为(1)．教学中可提醒学生注意圆周角定理的证明方法．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学过圆心角和圆周角，本课我们用同样的思想方法来学习弦切角．
二、新课讲解：
实际上，我们把圆周角∠BAC的一边AB绕顶点A旋转到与圆相切时，所成的∠BAC称为弦切角．从数学的角度看，弦切角能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画．
学生动手画，教师巡视，当所有学生都把三种情形的弦切角画出来时，教师可以打开计算机或幻灯给同学们作演示．按直角、锐角、钝角顺序分为图形(1)、(2)、(3)．教师指导学生给出弦切角的定义，并就图(1)中的弦切角猜想弦切角定理．指导学生完成证明，并得到推论．
1．定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角．
3．弦切角定理推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等．
(三)重点、难点的学习与目标完成过程．
由圆周角定理我们知道，一条弧所对的圆周角无数个，但它们的度数相等．因此，一条弧的度数的大小，就决定了它所对的圆周角的大小．在猜想和证明弦切角定理时，教师可提示学生观察图7-71(1)中弦切角∠BAC所夹的弧为半圆，半圆所对的圆周角是直角，故图7-71(1)中∠BAC等于它所夹弧对的圆周角．在把图7-71(2)和(3)向(1)转化时，图7-71(2)中要运用“直角三角形的两锐角互余”，图7-71(3)中要用到“圆内接四边形对角互补”．教师务必就图形把转化过程讲清楚，得到推论已是顺理成章的事情了．证明过程参照教材．
练习一，P．123练习1，如图7-72，直线AB和⊙O相切于点P，PC和PD为弦，指出图中所有的弦切角．
此题利用定义直接判定∠APC、∠APD、∠BPD、∠BPC．
练习二，P．123练习2，如图7-73，经过．⊙O上的点T的切线和弦AB的延长线相交于C．
求证：∠ATC=∠TBC．
分析：欲证∠ATC=∠TBC，可证△ATC∽△TBC或角的其它性质，
△ATC∽△TBC
∠ATC=∠TBC．
∠ATC=∠TBC
∠ATC=∠TBC．
此题应指导学生结合学过的知识，灵活运用弦切角定理．
例1，P．122如图7-74，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D．
求证：AC平分∠BAD．
分析，如果连结BC，则∠BAC和∠DAC分别在两个三角形中，可通过三角形相似证得，也可通过直角三角形两锐角互余证得．
如果连结OC，还可通过平行线的性质和切线的性质证得，教师板书本书证法，另外两种方法让学生在练习本上完成．
证明：连结BC．
AB是⊙O的直径 ∠ACB=90°
∠B+∠CAB=90°
AD⊥CE ∠ADC=90°
∠DAC=∠CAB
即AC平分∠BAD．
三、课堂小结：
让学生阅读教材P．121至P．123．从中总结出本课学习的主要内容：
1．弦切角定义，除了由位置上定义弦切角外，还可从运动的角度，通过圆周角一边的旋转产生弦切角．
2．弦切角定理，定理所述“夹弧”一定要使学生注意弧的端点，一定是构成弦切角的弦的两个端点，这是学生经常出错的地方．
3．弦切角定理推论，推论运用的机会相对较少，使用时怎样来识别题设呢？一是两个弦切角夹等弧，二是两个弦切角夹同弧．
四、布置作业：
1．教材P．131中5、2；P．132中6．初三几何教案
第七章：圆
第1课时:圆(1)
教学目标：
1、本节课使学生理解圆的定义；
2、掌握点和圆的三种位置关系．
3、使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系；4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上．
教学重点：
点和圆的三种位置关系
教学难点：
用集合的观点定义圆，学生不容易理解为什么必须满足两个条件．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，在小学我们已经学习了圆的有关知识，小学学习圆只是一种感性认识，知道一个图形是圆，没有严格的定义什么叫做圆．今天我们继续学习圆，就是把感性认识上升为理性认识，这就要进一步来学习圆的定义．“7．1圆”根据学生已有的知识水平及本节课的特点，首先点题，给学生一种概念，这样可以激发学生的求知欲，抓住学生的注意力．
为了使学生真正体验到数学知识来源于实践，反过来指导实践这一理论．让学生通过观察章前图，使学生真正认识到圆从古至今，无论在实际生活中，还是在工农业生产中时时处处都离不开圆，这说明圆的应用非常广泛，让学生进一步知道圆的作用非常大．圆的性质在本章中处于特别重要的地位．同时也调动起学生积极主动地参与教学活动中．
二、新课讲解：
同学们请观察幻灯片上的图片．出示线段OA，演示将线段OA绕着它的固定端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形是一个什么图形，从而得出圆的定义．
定义：在同一平面内，线段OA绕着它的固定端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．
接着教师提问学生为什么定义中要加上“在同一平面内”这句话？师生共同解释定义中的这句重点词语．
这时教师叫一名中下水平的学生回答圆心、半径的定义．为了更好的理解定义，教师让学生在课前准备好的圆的上面任取三点小A1、A2、A3，观察这三点到圆心O的距离有什么关系？反过来到圆心O的距离都等于半径r的点P1，P2，P3……能得到P1，P2，P3的位置都在哪儿？这样做的目的是让学生亲自动手来参与这个抽象过程，使学生更能加深对定义的理解．这时教师总结出：
1．圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；
2．到定点的距离等于定长的点都在圆上．
满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合．
圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
接着为了研究点和圆的位置关系，教师不是让学生被动地接受教师讲，而是让学生在练习本上画一个圆．然后提问学生回答这个圆把平面分成几个部分？有的同学说两部分，有的同学说三部分，到底是几个部分呢？教师引导学生相互议论，最后通过学生的充分感知，得到正确的结论．在进一步揭示圆内部分、圆外部分也可以看成是一个集合，让学生通过观察、比较，归纳出：
圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合．
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合．
若设圆O的半径为r，点O到圆心的距离为d，当点与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．这时板书下列关系式：
以点O为圆心的圆，记作“⊙”，读作“圆O”．
教师这样做的目的是把点和圆看成是运动变化得到的三种情况，这样便于学生理解．
接下来为了巩固定义，师生共同分析例1．
例1 求证矩形四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．
对于这个问题不是教师讲怎么做，而是引导学生分析这个命题的题设和结论，然后启发学生思考分析这一问题的证明思路．
已知：如图7-1矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：A、B、C、D4个点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
证明：四边形ABCD为矩形
并做好示范作用．
巩固练习：教材P．64中1、2、3题口答，4题引导学生笔答．
三、课堂小结：
按要求每一堂课做小结，教师要引导学生自己学会小结．
本节课要从三方面做小结，从知识内容方面学习了什么内容？从方法上学到了什么方法？学到了什么新定义符号？
1．从知识方面主要学习了圆的定义，点和圆的三种位置关系．
2．从方法上主要学习了利用点到圆的距离和圆的半径的数量关系判定点和圆的位置关系，会利用圆的定义证明四个点在同一个圆上．
这样小结的目的，使学生能够把学过的知识系统化、网络化，形成认知结构，便于学生掌握．
四、布置作业：
1．教材P．82中1(1)、(2)(阅读)．
2．教材P．82中2、3、P．83中4．
参考题：
一、单选题（20分）
（1）已知圆外一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）
　（A）5（B）4（C）3（D）2
（2）已知圆内一点和圆周的最短距离为2，最长距离为8，则该圆的半径是（ ）
　（A）5（B）4（C）3（D）2
二、填空题（20分）
（1）_____确定圆的位置,________确定圆的大小.
（2）圆内各点到圆心距离_______,圆上各点到圆心距离________,圆外各点到圆心距离________
三、简答或解答题（60分）
（1）过⊙O上一点E作半径AO的垂线EK,K为垂足,延长EK到F,使KF=KE,则点F的位置是在⊙O的什么位置 并画出示意图说明.
（2）△ABC中,∠A=90°，AD⊥BC于D，AC=5cm，AB=12cm，以D为圆心，AD为半径作圆，则三个顶点与圆的位置关系是什么？画图说明理由。
（3）证明对角线互相垂直的四边形的各边的中点在同一个圆上.初三几何教案
第七章：圆
第17课时：切线的判定和性质(三)
教学目标：
1、使学生学会较熟炼地运用切线的判定方法和切线的性质证明问题．
2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律．
教学重点：
使学生准确、熟炼、灵活地运用切线的判定方法及其性质．
教学难点：
学生对题目不能准确地进行论证．证题中常会出现不知如何入手，不知往哪个方向证的情形．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经系统地学习了切线的判定方法和切线的性质，现在我们来利用这些知识证明有关几何问题．
二、新课讲解：
实际上在几何证明题中，我们更多地将切线的判定定理和性质定理应用在具体的问题中，而一道几何题的分析过程，是证题中的最关键步骤．
P．109例3如图7-58，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．
分析：欲证CD是⊙O的切线，D是⊙O的弦AD的一个端点当然在⊙O上，属于公共点已给定，而证直线是圆的切线的情形．所以辅助线应该是连结OC．只要证OD⊥CD即可．亦就是证∠ODC=90°，所以只要证∠ODC=∠OBC即可，观察图形，两个角分别位于△ODC和△OBC中，如果两个三角形相似或全等都可以产生对应角相等的结果．而图形中已存在明显的条件OD=OB，OC=OC，只要证∠3=∠4，便可造成两个三角形全等．∠3如何等于∠4呢？题中还有一个已知条件AD∥OC，平行的位置关系，可以造成角的相等关系，从而导致∠3=∠4．命题得证．
证明：连结OD．
教师向学生解释书上的证题格式属于推出法和因为所以法的联用，以后证题中同学可以借鉴．
P．110例4如图7-59，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E
求证：CD与小圆相切．
分析：欲证CD与小⊙O相切，但读题后发现直线CD与小⊙O并未已知公共点．这个时候我们必须从圆心O向CD作垂线，设垂足为F．此时F点在直线CD上，如果我们能证得OF等于小⊙O的半径，则说明点F必在小⊙O上，即可根据切线的判定定理认定CD与小⊙O相切．题目中已告诉我们AB切小⊙O于E，连结OE，便得到小⊙O的一条半径，再根据大⊙O中弦相等则弦心距也相等，则可得到OF=OE．
证明：连结OE，过O作OF⊥CD，重足为F．
请同学们注意本题中证一条直线是圆的切线时，这种证明途径是由直线与圆的公共点来给定所决定的．
练习一、P．111，1．已知：OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E．
求证：OB与⊙D相切．
分析：审题后发现欲证的OB与⊙D相切，属于OB与⊙D无公共点的情况．这时应从圆心D向⊙B作垂线，垂足为F，然后证垂线段DF等于⊙B的一条半径，而题目中已给OA与⊙D切于点E，只要连结DE．再根据角平分线的性质，问题便得到解决．
证明：连结DE，作DF⊥OB，重足为F．
P．111中2．已知如图7-61，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D．
求证：AC与⊙O相切．
分析：欲证AC与⊙O相切，同第1题一样，同属于直线与圆的公共点未给定情况．辅助线的方法同第1题，证法类同．只不过要针对本题特点还要连结OA．从等腰三角形的”三线合一”的性质出发，证得OA平分∠BAC，然后再根据角平分线的性质，使问题得到证明．
证明：连结OD、OA，作OE⊥AC，垂足为E．
同学们想一想，在证明OE=OD时，还可以怎样证？
(答案)可通过“角、角、边”证Rt△ODB≌Rt△OEC．
三、新课讲解：
为培养学生阅读教材的习惯让学生阅读109页到110页．从中总结出本课的主要内容：
1．在证题中熟练应用切线的判定方法和切线的性质．
2．在证明一条直线是圆的切线时，只能遇到两种情形之一，针对不同的情形，选择恰当的证明途径，务必使同学们真正掌握．
(1)公共点已给定．
做法是“连结”半径，让半径“垂直”于直线．
(2)公共点未给定．
做法是从圆心向直线“作垂线”，证“垂线段等于半径”．
四、布置作业
1．教材P．116中8、9．
2．教材P．117中2．初中几何教案
第七章：圆
第23课时：和圆有关的比例线段(一)
教学目标：
1、使学生理解相交弦定理及其推论；
2、初步学会运用相交弦定理及其推论；
3、使学生学会作线段的比例中项．
4、在推导定理的过程中培养学生由图形总结出几何性质的能力；
5、在运用相交弦定理时，使学生清楚是运用几何性质，代数解法解有关弦长计算问题，培养学生的综合运用能力；
教学重点：
使学生正确理解相交弦定理及其推论，这是以后学习中非常重要的定理．
教学难点：
在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．而不能死记硬背，也不能只从形式上去认识定理，只知是线段的积，而对内容不加理解．
教学过程：
一、新课引入：
前边，我们已经学习了和圆有关的角，现在我们通过圆内一点引圆的两条弦，它们之间又有什么关系呢？
二、新课讲解：
实际上，它们之间存在着数量关系．不妨从⊙O内一点P引圆的两条弦AB、CD，我们称它们为相交弦，这时，各弦分别被P点分成二条线段，只要连结AC、DB，我们马上发现这四条线段在两个三角形中，容易证得，这两个三角形是相似的，于是得到了这四条线段的比例线段，转化成乘积式后，便得到相交弦定理，教师指导学生观察相交弦定理中的两弦的位置是任意的，当两弦的位置特殊时，会出现怎样的情形呢？请同学打开练习本画一画．
学生动手画，教师巡视．
当图7-79三个图形都出现后，教师指出，当P点重合于圆心O时，是两条直径的相交弦，结论是显然的，并且没有因为位置上的变化而发生形式上的变化．我们不研究这种情形，然后指导学生观察图7-79(3)，这种特殊的位置：弦与直径垂直相交，会给相交弦定理带来怎样形式上的改变呢？最终指导学生完成相交弦定理的推论及证明．
1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．
2．如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
相交弦定理及其推论是和圆有关的比例线段中的两个数量关系式，在今后学习中有着重要的意义，教师必须严格要求学生独立完成定理的证明，加深对定理的理解．
练习一，P．126中1．如图7-80，AP=3cm，PB=5cm，CP=2.5cm，求CD．(答案：8.5cm)
练习二，教材P．126中2，如图7-81，O是圆心，OP⊥AB， AP=4cm，PD=2cm．求OP．(答案：3cm)
此两题是直接运用定理或推论．
P．125例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段，第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长．
分析，这是一道利用相交弦定理的计算题，由于无图对照，在叙述时务必讲清第几条弦，在由相交弦定理列出方程后，解一元二次方程只作为其中一个步骤．做答案时要特别注意，对x1、x2的解释，以防止最终出现两解．
解法参照教材P．126．
P126例2 已知：线段a、b
求作：线端 c，使c2=ab
分析题目，可将三条线段的数量关系转化为相交弦定理的推论．若线段c作出来，它将与线段a、b在圆中构成弦与直径垂直相交的位置关系．这时学生对作法心中有数，最终教师指导学生完成作图．作法参照教材P．126．
三、课堂小结：
指导学生阅读教材P．125—P．126．培养学生的读书习惯，并总结出本课的主要内容：
1．相交弦定理及其推论是圆中重要的比例线段，它反映了圆中两条相交弦的数量关系．推论是定理的特殊情形．二者只是形式上的不同，实质上都是一样的．需要指出的是相交弦定理涉及到四条线段，而它的推论涉及到三条线段．
2．本节例1是利用相交弦定理进行计算，它是圆的有关计算题的重要部分．
3．本节例2是运用相交弦定理的推论作图题，这是初中阶段务必要掌握的作图题之一，务必向学生讲清．
四、布置作业
1．教材P．132中9；P．133中14初三几何教案
第七章：圆
第36课时：画正多边形(一)
教学目标：
1、使学生了解用量角器等分圆心角来等分圆，从而可以作出圆内接或圆外切正多边形．
2、使学生会用尺规作圆内接正方形和正六边形，在这个基础上能作圆内接正八边形、正三角形、正十二边形．
3、通过画图培养学生的画图能力；
4、通过画正方形到会画正八边形，通过画六边形到画三角形、正十二边形，培养学生观察、抽象、迁移能力．
5、通过画图中需减小积累误差的思考与操作，培养学生解决实际问题的能力．
教学重点：
(1)用量角器等分圆心角来等分圆，然后作出圆内接或圆外切正多边形；(2)用尺规作圆内接正方形和正六边形．
教学难点：
准确作图．
教学过程：
一、新课引入：
前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质、判定，尤其学习了正多边形与圆关系的两个定理，而后我们又学习了正多边形的有关计算，本堂课我们一起学习画正多边形．
二、新课讲解：
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一，前面已学习了正多边形和圆的关系的第一个定理，即把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，所以想到只要知道外接圆半径R或内切圆半径rn，画出圆来，然后n等分圆周就能画出所需的正n边形．
n等分圆周的方法有两种，一种是量角器法，这一种方法简单易学，它是一种常用的方法．其根据是因为相等的圆心角所对弧相等，所以使用量角器等分圆心角，可以达到把圆任意等分的目的，由于学生已具备使用量角器的能力，所以只要讲明根据，让学生动手操作即可．
另一种方法是用尺规等分圆周法，其实质也是等分圆心角，但尺规不能任意等分圆，只适用于一些特殊情况，其中重点是正方形和正六边形的作法，这是因为正八边形、正三角形、正十二边形都是由此作基础而画出来的．
由于尺规作图在理论上准确，但在实际操作中有误差积累，如何减少误差使图形趋于准确？这是一个锻炼学生解决问题的好时机，应让学生亲手实验、观察对比，从而得出结论．
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
复习提问：1．哪位同学记得正多边形与圆关系的第一个定理？(安排中下生回答)2．哪位同学记得在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧有什么性质？(安排中下生回答：相等的圆心角所对的弧相等)
现在我们要画半径为R的正n边形，从正多边形与圆关系的第一个定理中，你有什么启发？(安排学生相互讨论后，让中等生回答：只要把半径为R的圆n等分，依次连结n个等分点就得正n边形)那么怎样把半径为R的圆n等分呢？从刚才复习的第二问题中，你又受到什么启发？大家相互间讨论．(安排中等生回答：把360°的圆心角n等分)如果要作半径2cm的正九边形，你打算如何作呢？大家互相讨论看看．(安排中等生回答：先画半径2cm的圆，然后把360°的圆心角9等份，每一份40°)，用什么工具可得到40°角呢？(安排中下生回答：量角器)我们本堂课所讲画正多边形的第一种方法就是用量角器等分圆，大家用量角器画出半径为2的内接正九边形．
学生在画图实践中必然出现两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个40°的圆心角，然后在圆上依次截取40°圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的9等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正九边形的边长误差较大．对此学生必然迷惑不解，在此教师应肯定作法理论上的正确性，然后讲出图形不够准确的原因是由于误差积累的结果，然后引导学生讨论，研究减小误差积累的二个途径：其一，调整圆规两脚间的距离，使之尽可能准确的等于所画正九边形的边长．其二，若有可能，尽可能减少操作次数，减少产生误差的机会．
大家想想如何画一个半径为2cm的正方形呢？(安排中下生回答：先画半径2cm的圆，用量角器作90°的圆心角．)画出∠AOB=90°后，方法1，可依次作90°圆心角；方法2，用圆规依次截取等于AB的弧，大家观察有没有更好的方法？(安排中等生回答：将AO与BO边延长交⊙O于C、D)．正方形一边所对的圆心角是90°角，不用量角器用尺规能不能做出90°的圆心角呢？用尺规如何作半径为2cm的正方形？(安排中上等生回答，先作半径2cm的圆，然后画两条互相垂直的直径)

请同学们用尺规画出半径为2cm的正方形．
大家想想看，借助这个图形，能否作出⊙O的内接正八边形？同学们互相研究研究，(安排中上生回答：能，过圆心O作正方形各边的垂线与圆相交即得⊙O的八等分点)为什么？根据什么定理？(安排中上等生回答：垂径定理)
还有什么方法？(安排中上等生作各直角的角平分线．)
请同学们用此二法在图上画出正八边形．
照此方法，同学们想想看，你还能画出边数为几的正多边形？(安排中下生回答：16边形等)
综上所述及同学们的画图实践可知：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……
大家再思考一个问题：如何画半径为2cm的正六边形呢？你都有哪些方法？大家讨论．
方法1．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画60°的圆心角，依次画下去即六等分圆周．
方法2．画半径2cm的⊙O，然后用量角器画出60°的圆心角，
如果有同学想到方法3更好，若无则提示学生：前面在研究正多边形的有关计算时，得到正六边形的半径与边长有一种什么样的数量关系？(安排中下生回答：相等)那么哪位同学可不用量角器，仅用尺规作出半径2cm的圆内接正六边形？(安排一名中等生到黑板画图，其余在下面画图)
在学生画图完毕后展示两种不同的画法：其一，在⊙O上依次截取AB=BC=CD=DE=EF，由于误差积累AB≠FA，其二，首先画出⊙O的直径AD，然后分别以A、D为圆心，2cm长为半径画弧交⊙O于B、F、C、E．画出图形比较准确．
请同学们用第二种方法画半径3cm的圆内接正六边形(安排学生在练习本上画)如果我们沿用由正方形画正八边形的思路同学们想想看，会画正六边形就应会画正多少边形？(安排中下生回答：正十二边形，正二十四边形…)理论上我们可以一直画下去，但大家不难发现，随着边数的增加，正多边形越来越接近于圆，正多边形将越来越难画．
大家再观察，会画正六边形，除上述正多边形外，还可得到正几边形？(安排中等生回答：正三角形)
画半径为2cm的正三角形，尺规作图时必得先画出正六边形吗？哪位同学有好方法？(安排举手同学回答：画出⊙O直径AB，以A为圆心，2cm为半径画弧交⊙O于C、D，连结B、D、C即可)
请同学们按此法画半径为2cm的正三角形．
请同学们思考一下如何用尺规画半径为2cm的正十二边形？
在学生充分讨论研究的多种方案中送出：先作互相垂直的直径，然后分别以直径的四个端点为圆心2cm长为半径画弧，交⊙O的各点即得⊙O的12等分点．引导学生观察∠DOE=∠DOB-∠EOB
∠DOB=90°，∠EOB=60°∴∠DOE=30°．
∴ DE是⊙O内接正12边形一边．
三、课堂小结：
这堂课你学了哪些知识？(安排中等生回答：1．用量角器等分圆周作正n边形；2．用尺规作正方形及由此扩展作正八边形、用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正三角形)
四、布置作业
教材P.168中练习1、2；P.173中13．初三几何教案
第七章：圆
第15课时：切线的判定和性质（一）
教学目标：
1、使学生理解切线的判定定理；
2、使学生学会初步运用切线的判定定理．
3、通过演示直线和圆相切，培养学生观察图形并能从图形的位置去判断图形的性质的能力．上节课已经总结出了判断一条直线是圆的切线的方法：①直线和圆有唯一公共点；②直线到圆心的距离等于该圆半径．教师可结合具体图形引导学生观察图形，并指导学生从图形的位置这一个角度去判断一条直线是圆的切线．
教学重点：
使学生全面了解圆的切线的判定方法，特别是本课学到的切线的判定定理，是以后学习中经常用到的圆的切线的一种判定方法．
教学难点：
切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习切线的一些判定方法，本节课我们将继续学习切线的判定方法．
在前面的学习中我们学习了圆的切线的判定方法有几种呢？
当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆心的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线．如果换一个角度，我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢？
如图7-48，直线l到圆心O的距离OC等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现（1）直线l经过半径OC的外端点C（2）直线l垂直于半径OC．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
二、新课讲解：
定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
在切线的三种判定方法中，切线的判定定理最为重要，应用最为广泛．务使每个学生清楚，除了从直线和圆的公共点的个数；直线到圆心的距离等于该圆半径之外，还有其它的判定方法．可提示学生从直线与圆的位置关系来观察，从而发现切线的判定定理．尤其是要指导学生理解好一条直线必须经过半径的外端，并且垂直于这条半径的两大要素缺一不可．
练习一，结合图形，根据题中所给的条件，判定直线是否是圆的切线．并回答根据是什么？
（1）如图7-49，直线l和⊙O只有一个公共点C．
（2）如图，⊙O的半径为5cm，直线l到圆心O的距离也为5cm．
（3）看图回答．
此题利用不同的方法判定．
例题 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．
求证：直线AB是⊙O的切线．
指导学生对题目进行分析．要证直线是圆的切线．
从已知中我们得到：直线AB经过⊙O上的点C，它的意义就是C是直线AB和⊙O的公共点．这时，我们只要连接OC，则直线AB就经过了半径OC的外端C．只要我们能够证明AB⊥OC，则从位置上已满足了判定定理的二条，则由切线的判定定理，就可以判定直线AB是⊙O的切线．在证明一条直线是圆的切线时，如果使用判定定理，那么在教学中一定要注意规范几何语言：
用推出法证明例题，因为所以的写法请参照教材P．106例题．
证明：连结OC．
教学中可以让学生先用因为所以法在练习本上证明，一个学生在黑板上板书，然后由教师板书推出法．并加以比较．
练习二：P．106练习1．
如图7-51，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．
求证：AT是⊙O的切线．
这个题目中已知AB是⊙O的直径，可以直接理解出OA是一条半径．而所要证明的直线AT已经和⊙O有了公共点A，只要证明AT⊥OA即可．
证明：AT=AB ∠T=∠ABT
作的快的同学可以用两种方法证明并加以比较．
三、课堂小结：
为了培养学生阅读教材的习惯让学生看教材P．106，从而总结出本课学习的主要内容：
1．切线的判定定理．
2．切线的判定方法有三：
①直线和圆有唯一公共点．
②直线到圆心的距离等于该圆半径．
③切线的判定定理．
3．证明一条直线是圆的切线的辅助线和证法规律．
凡是已知公共点（如：直线经过圆上的点；直线和圆有一个公共点；）往往是“连结”圆心和公共点，证明“垂直”（直线和半径）．
4．关于推出法
“ ”号前面的可以是定义、公理、题设、已证或可以直接使用的条件，如“点C是线段AB的中点”可直接写成“AC=BC”．
四、布置作业
1．教材P．107中2；P．115中2、4；P．116中5；P．117B组1．初三几何教案
第七章：圆
第18课时：三角形的内切圆
教学目标：
1、使学生学会作三角形的内切圆．
2、理解三角形内切圆的有关概念．
3、掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征．
4、会关于内心的一些角度的计算．
教学重点：
掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念．同三角形的外接圆一样，务必使学生准确掌握三角形内切圆的画法．
教学难点：
画钝角三角形的内切圆，学生极有可能画出与三角形的边相交或相离的情形．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习过三角形的外接圆的画法及有关概念，现在我们用同样的思想方法来研究三角形的内切圆的画法及有关概念．
二、新课讲解：
在一块三角形的纸片上，怎样才能剪下一个面积最大的圆呢？实际上它就是作图问题：
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
已知：△ABC．
求作：和△ABC的三边都相切的圆．
让学生展开讨论，教师指导学生发现，作圆的关键是确定圆心，因为所求圆与△ABC的三边都相切，所以圆心到三边的距离相等，显然这个点既要在∠B的平分线上，又要在∠C的平分线上．那它就应该是两条角平分线的交点，而交点到任何一边的垂线段长就是该圆的半径．
学生动手画，教师巡视．当所有学生把锐角三角形的内切圆画出来时，教师可打开计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程一定要分步骤进行．然后学生按左右分别画直角三角形和钝角三角形的内切圆．这时学生在画钝角三角形的内切圆时，可能出现与边相交或相离的情形，这很正常，教师要帮助学生加以纠正，并最终指导学生完成下列问题：
l．三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形：
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
2．多边形的内切圆、圆的外切多边形：
和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
3．内心是什么的交点？
内心是三角形三个角的平分线的交点．
4．内心有什么数量特征？
内心到三角形各边的距离相等．
5．内心的位置：三角形的内心都在三角形的内部．
(三)重点、难点的学习与目标完成过程．
关于三角形内切圆的有关概念，与三角形的外接圆类似，三角形的内切圆是直线和圆的位置关系中的一个非常重要的位置．待学生理解了有关概念后，可在黑板上采取对比的方式．如：
三角形的外接圆 三角形的内切圆
1．定义 1．定义
2．外心 2．内心
3．圆的内接三角形 3．圆的外切三角形
4．外心是谁的交点 4．内心是谁的交点
5．外心的数量特征 5．内心的数量特征
6．外心的位置 6．内心的位置
7．三角形外接圆的画法 7．三角形内切圆的画法
8．外接圆的唯一性与内接三角形的多重性
8．内切圆的唯一性与外切三角形的多重性．
练习一，O是△ABC的内心，则OA平分∠BAC对不对？为什么？
练习二，O是△ABC的内心，∠BAC=100°，则∠OAC=50°，对不对？
练习三，∠OAC=40°，则∠B+∠C等于多少度？
教材P、114中例2中如图7-63，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠BOC的度数．
分析：此例题是边推理边计算的问题，教师在指导学生运用内心的性质的同时，也应指导学生的解题步骤．
解：
答：∠BOC=117.5°．
练习四，O是△ABC的内心，∠A=80°，求∠BOC的度数．
解：
这是一组强化三角形内心性质的习题，逐题增加了灵活度，教学中也可就不同班级选用．
三、课堂小结：
学生阅读教材后总结出本课的主要内容：
1．会作各种三角形的内切圆．
2．定义三角形的内切圆、内心及圆的外切三角形．
3．内心是谁的交点：位置如何？它有什么位置关系？
四、布置作业
(1)教材P．116中10、11、12．
(2)教材P．117B组3．初三几何教案
第七章：圆
第8课时：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）
教学目标：
1、使学生理解并掌握1°的弧的概念；
2、使学生能够熟练地运用本小节的知识进行有关的计算．
3、继续培养学生观察、比较、概括的能力；
4、培养学生准确地简述自己观点的能力和计算能力．
教学重点：
圆心角、弧、弦、弦心距的之间相等关系定理．
教学难点：
理解1°的概念．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．如果把顶点在圆心的周角等分成360份，得到每一份圆心角是1°，那么1°的圆心角与它们对的弧的度数之间有怎样的关系呢？教师板书：“9．4圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）”，本节课我们专门来研究圆心角的度数和它所对的弧的度数之间的关系．根据学生的已有知识水平点题，教师有意识创设问题情境，一方面激发学生的情趣，另一方面把学生的注意力引到所要讲的教学内容上来．
二、新课讲解：
为了使学生真正掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系的定理，一开课教师提问以下问题：
1．什么叫圆心角？什么叫弦心距？
2．圆绕着圆心旋转多少度角，才能够与原来的图形重合．
3．如果两个圆心角相等，那么它们对的弧相等的前提条件是什么？
接下来教师在事先准备好的圆上，一边画图示范，一边讲解：“我把顶点在圆心的周角分成360等份”，提问：“得到每一份的圆心角是多少度？”引导学生观察思考，“顶点为圆心的周角360等份对应的整个圆也被分成360等分的弧，这每一份弧又是多少度呢？”学生回答，教师板书：
（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．
（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
学生在教师的启发下得到了1°的弧的概念，为了进一步强化学生对1°的弧的概念的理解，巩固提问：
1．度数是2°的圆心角所对的弧的度数是多少？为什么？
2．3°的圆心角对着多少度的弧，3°的弧对着多少度的圆心角？
3．n°的圆心角对着多少度的弧？n°的弧对着多少度的圆心角？
通过学生回答，学生评价，再让学生观察和类比，可让学生自己说出圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
如果学生说的很准确，教师不要重复，只把它完整地写在黑板上就可以了．
对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同的概念，不能比较和度量．
接下来进行例题教学．
径为2cm，求AB的长．
分析：由于弦AB所对的劣弧为圆的 ，所以 的度数为120°，
由于圆心角的度数等于它们对的弧的度数，所以∠AOB的度数应等于 的度数，即∠AOB=120°．
作OC⊥AB于C可构造出直角三角AOC，然后用垂径定理和勾股定理，或用垂径定理和解直角三角形，就可求出AC的长，最后AB=2AC又求出弦长．分析后由学生回答教师板书：
解：由题意可知 的度数为120°，
∴∠AOB=120°．
作OC⊥AB，垂足为C，则∠AOC=60°，
又∵AC=BC，
在Rt△AOC中，
AC=OAsin60°=2×sin60°
对于这道题的解决方法，教师应该给学生充分思考时间，教师要在分析解决这个例题中，向学生渗透数形结合的重要的数学思想．所谓数形结合思想就是数与形互相转化，图形带有直观性，数则有精确性，两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题．
例3 如图7-26，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB， =40°，求∠BOC的度数．

分析：欲求∠BOC的度数，只要设法求出∠OCE的度数，由已知 =40°，可以想到EC的度数等于它们对的圆心角的度数，所以连结OE，构造圆心角∠COE，然后又由等腰三角形COE中，求出∠C的度数，最后根据CE∥AB，得到∠BOC的度数．
具体解题，略．
对于以上两个例题，教师要善于调动学生积极主动地参与到教学活动中，引导用一题多解来考虑这个问题，分析思路教师尽可能不代替，让学生去分析并写出解题过程，此时教师只需强调解题要规范，书写要准确即可．
由例3的计算题，改变成一个证明题．
已知：如图7-27，AB和CD是两条直径，弦CE∥AB，求证： = ．
教师给出这道题的目的，是培养学生发散思维能力，由学生自己分析证明思路，引导学生思考出不同的方法，最后教师概括总结各自方法．
练习．教材P．90中1、2．
教师指导学生在书上完成．
三、课堂小结：
本节课学到的知识点：
1、1°的弧的定义．
2、圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．
本节所学到的方法：
1、证明圆心角、弧、弦、弦心距相等的问题，只要满足“在同圆或等圆中”的一组量相等，就可得到所要求的结论；
2、求弧的度数往往想它所对的圆心角度数；
3、解决弦、弧有关问题，常用的辅助线是作半径、弦心距等，构造直角三角形去解决．
四、布置作业：
教材P．100中5．
教材P102中B组2题．初一代数教案
第七章：圆
第26课时：圆和圆的位置关系(二)
教学目标：
1、使学生掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦这一性质，
2、通过例题与练习题的教学使学生进一步巩固圆和圆的位置关系及本节所学习的性质．
3、逐步培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及推理论证的能力．
教学重点：
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
教学难点：
利用轴对称来证明相交两圆连心线的性质及两圆相交常用的引辅助线的方法是本节课的难点．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了在同一平面内圆和圆的位置关系及相切两圆的连心线的性质．本节课我们在相切两圆连心线的性质的基础上，继续来学习相交两圆连心线的性质．教师出示板书：“7．13圆和圆的位置关系(二)”．如果两圆相切，那么切点一定在连心线上．那么将相切改成相交，这时连心线又有什么性质呢？教师这样做有意识留给学生一种悬念，提示给学生能否用类比的方法去探索出结论．
二、新课讲解：
为了使学生进一步来学习相交两圆连心线的性质．向学生提出以下几个问题：
(1)在平面内圆和圆有几种位置关系？
(2)要判定圆和圆的位置关系你学过了什么方法？
(3)相切两圆连心线有什么性质？
(4)如果把相切改成相交，那么连心线又有怎样的性质呢？
教师引导学生能够准确地回答上节课所学习的知识点，把本节课所要讲的内容也抛给学生，启发学生去画图——观察——思考——分析——比较——探索出结论．
为了便于思考，教师把学生探索出的结论写在黑板上：
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦：
分析：设⊙O1与⊙O2相交于点A、B，O1O2既是⊙O1的对称轴，又是⊙O2的对称轴，所以直线O1O2是⊙O1、⊙O2所组成的图形的对称轴，将图形沿O1O2折叠，上、下两个半圆互相重合，它们的交点重合，所以点A与点B是对称点．这就得到对称点A、B的连线被对称轴O1O2垂直平分．由此可得：
定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
为了使学生能够更好地应用相交两圆连心线的性质和相切两圆连心线的性质，出示两组练习题：
练习一，判断下列语句是否正确：
1．两圆的连心线过切点，两圆一定是内切． ( )
2．相交两圆的公共弦垂直平分两圆的连心线． ( )
3．相切两圆的连心线必过切点． ( )
这组题的目的是强化学生对相切两圆、相交两圆的性质的掌握，要求语言叙述准确而规范．
练习二，
(1)图7-99，已知两个等圆的半径为5cm，公共弦长6cm，求圆心距．
本小题由学生回答，教师概括总结方法．
因为O1O2垂直平分AB，交AB于E，所以可得到由一条半径和弦的一半构成的直角三角形，用勾股定理就得到O2E，从而得到O1O2的长．
(2)书上的例2已知两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点．⊙O1经过点O2．求∠O1AB的度数．
由于通过分析上题学生已初步掌握构造直角三角形方法求解，对于此题可以说是上一题的特殊情况．教师为了不代替学生，让学生参与到教学活动中，启发学生分析解题思路，指导学生上黑板板演，就把例2做为练习题出现．
(3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．
求证：四边形ABCD是等腰梯形．
分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．
这时，教师提出怎样证明AB∥CD呢？
由学生来分析证明弦AB∥CD．总结出相交两圆经常引的辅助线是公共弦，有时还可以引连心线．找一名中等生证明这道题，教师把证明过程写在黑板上，做为参考．
证明：连结O1O2，
∵ ⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，
∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．
∴ AB∥CD．
在⊙O2中，∵AB∥CD，
又∵ AB≠CD，
∴ 四边形ABCD是等腰梯形．
接下来投影出示例3
已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？
教师对例3的处理不是直接给出证明，而是给出命题的题设，启发学生探索能得到什么结论．这样做一方面调动学生的积极性和主动性；另一方面考察学生的思维灵活性和深刻性．
由学生猜想的结论出发，进一步引导学生证明你的结论是否正确，最后由教师概括出证明的分析思路．
是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．
证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，
又 ∵ PA⊥MN，
∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，
∴ AC=AD．
∴ AM=AN．
巩固练习：第139页2题．
三、课堂小结：
本节课主要讲了相交两圆连心线垂直两圆的公共弦的性质．
投影出示本节的知识结构图：
本节课学到的方法：
两圆相交常引辅助线有：(1)公共弦；(2)连心线；(3)构造由半径、公共弦的一半组成的直角三角形．
四、布置作业
教材P．152中A组5、6、7、8、9．初三几何教案
第七章：圆
第38 课时：圆周长、弧长(一)
教学目标：
1、复习圆周长公式；
2、理解弧长公式．
3、通过弧长公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力；
4、通过“弯道”问题的解决，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
弧长公式．
教学难点：
正确理解弧长公式．
教学过程：
一、新课引入：
前一阶段我们学习了圆的有关概念，知道圆上两点之间的部分叫做弧．弧的度数前面已经学过了，弧应当有长度，弧的长度应如何求呢？小学我们学了圆周长公式，怎样通过圆周长求出弧长，这正是我们这节课所要研究的内容．
二、新课讲解：
由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，学过圆的有关性质和小学学过圆周长的基础，研究弧长公式已呈水到渠成之势，所以本节课以推导弧长公式为重点并应用弧长公式解决某些简单的实际问题，在计算过程中常出现由于对“n”理解上的错误而影响计算结果的正确
清楚n°圆心角所对弧长是1°弧长的n倍．
(复习提问)：1．已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多大？(安排中下生回答：C=2πR)，2．已知⊙O的周长是C，⊙O的半径R等
幻灯给出例1，已知：如图7-155，圆环的外圆周长C1=250cm，内圆周长C2=150cm，求圆环的宽度d(精确到1mm)．
圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？(安排中学生回答，d=R1-R2)请同学们完成此题，(安排一名学生上黑板做，其余同学在下面做)(d≈15.9cm)
我们知道，把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对弧相等，所以整个圆也被等分成360份，每一份这样的弧就是1°的弧，大家知道圆的周长是2πR，想想看1°的弧长应是多少？怎样求？(安排中等生回答：1°的弧长=
(安排中下生回答)哪位同学回答，n°的圆心角所对的弧长l，应怎么求？
(幻灯供题，学生计算，然后回答)
1．边长6cm的正三角形，它的内切圆周长是___；它的外接圆的周
2．边长4cm的正方形，它的内切圆周长是___；它的外接圆的周长
3．周长6πcm的⊙O，其内接正六边形的边长是___；(3cm)
4．已知⊙O的周长6πcm，则它的外切正方形的周长是___；(24cm)
的半径是___(2cm)
7．如果⊙O的半径3cm，其中一弧长2πcm，则这弧所对圆心角度数是___(120°)
以上各题解决起来不太困难，所以应重点照顾中下学生．
幻灯供题：已知圆的半径R=46.0cm，求18°31′的圆心角所对的弧长l(保留三个有效数字)．
(安排一中下生上黑板做此题，其余同学在下面完成．)
供了分析素材．假如上黑板作题的学生先把18°31′化为18.52°后计
的问题让学生们充分展开讨论．在讨论过后首先让先把18°31′化为18.52°后再代入公式计算的学生谈谈，他是怎么想的，最后由上等生或
示1°的n倍，由于2°是1°的2倍，3°是1°的3倍，n°是1
倍数n与圆心角的度数n°相对应．而这道题的圆心角是18°31′，所以需将31′换算成度才能得到公式中所需的n．
(安排学生正确完成此题，答案，l≈14.9cm)
请同学们再计算一题，已知圆的半径R=10cm，求18°42′的圆心角所对的弧长l．
幻灯给出例2，弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料，试计算图所示管道的展直长度l(单位：mm，精确到1mm)
哪位同学到前面指出图7-155中所示的管道指的哪部分？(安排举手的同学)
哪位同学告诉同学们这管道的展直长度l由图中哪几部分组成？(安排中下生回答)
图中的弧所对圆心角等于多少度，它的半经是多少？(安排中下生回答)
请大家动笔先计算图中的弧长，(l=500π≈1570mm)
请同学们计算管道的展直长度．(l=2930mm)
幻灯供题：有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段弧的半径R(精确到0.1m)
哪位同学到前面指出图7-157中的弯道？(安排中下生上前)
道长12m指的是哪条弧的长12m？(安排中下生上前)
请同学们计算出R的值，(约8.5m)
三、课堂小结：
本堂课复习了小学就学会的圆周长公式，在此基础上又学习了弧长公式、哪位同学能回答圆周长公式．弧长公式？(安排中下生回答：C=2
四、布置作业
教材P．176中练习1、2、3；P．186中3初三几何教案
第七章：圆
第16课时：切线的判定和性质（二）
教学目标：
1、使学生理解切线的性质定理及推论；
2、使学生初步运用切线的性质证明问题．
3、通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力
教学重点：
切线的性质定理和推论1、推论2．
教学难点：
本节中要利用“反证法”来证明切线的性质定理．学生对这种间接证明法运用起来不太熟练．因此在教学中教师可指导学生复习第一册几何中“垂线段最短”．指出反证法在本节中的三大步骤是：
（1）假设切线AT不垂直于过切点的半径OA，
（2）同时作一条AT的垂线OM．通过证明得到矛盾，OM＜OA这条半径．则由直线和圆的位置关系中的数量关系，得AT和⊙O相交与题设相矛盾．
（3）承认所要的结论AT⊥OA．
教学中的疑点是性质定理的推论1和2．教学中要采用直观演示，让学生直接从观察中得到推论内容．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习过用不同的方法来判定一条直线是圆的切线．本课我们来学习圆的切线会产生怎样的性质．
二、新课讲解：
实际上我们学到的圆的切线的定义，本身就产生了切线的一种性质．那就是圆的切线和圆只有一个公共点．除此之外，圆的切线还有哪些性质呢？请同学们动手在练习本上画一画想一想．
学生动手画，教师巡视全班，若只有少数几个学生产生结论，教师可适当点拨学生围绕切线、切点、过切点的半径、半径所在直线，广泛展开讨论．
最终教师指导学生完成切线的性质定理和推论1和2．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
分清定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直．结合“过已知点只有一条直线与已知直线垂直”，通过演示、观察得到三个要点中只要发生两个，定能产生第三个．从而产生切线性质定理的推论．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂于切线的直线必经过圆心．
在总结两个推论时，学生只要把意思表达对了，不一定要一字不差，然后由教师和学生一起得到结论．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
圆的切线的性质定理是强调切线所产生的位置关系．因此我们在解决圆的切线的问题时，常常需要作出过切点的半径．这作为辅助线的规律之一教师在例题中就要强化．而推论1是对切点的认定；推论2是对圆的直径的认定．它们各自的作用务必使同学们清楚．
练习一：直线l与⊙O相切于点C，直线MN经过圆心O，且MN⊥l垂足为D．
问：点C和点D有什么关系？为什么？
答案：点C和点D重合．因为经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
例题：如图7-53，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点切线互相垂直，垂足为D．
求证：AC平分∠DAB．
证明：连结OC．
∠2=∠3
即AC平分∠DAB．
学生在练习本上用因为所以法证．并比较对照两种方法．
练习二．P．109练习1，如图7-54，两个圆是以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB是小圆的切线，切点为C．
求证：C是AB的中点．
证明：连结OC．
AB切小圆O于点C OC⊥AB
AC=BC．
指导学生对题目进行分析．题中所给“AD和过点C的切线互相垂直”，实际上是告诉我们切点为C．只要我们连结OC，就得到过切点的半径，从而产生切线的性质定理，再利用“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”．从而产生角的相等关系，故产生角平分线．
三、课堂小结：
学生阅读教材P．107-108，从中总结出本课的主要内容：
1．切线的性质：①圆的切线和圆有唯一公共点；②圆的切线垂直于经过切点的半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；④经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2．关于切线的辅助线基本方法．
凡是题目中给出切线的切点，往往“连结”过切点的半径．从而运用切线的性质定理，产生垂直的位置关系，常见的几何语言有：①AB切⊙O于点C，则“连结”OC；②AB与⊙O相切，C为切点，则“连结”OC．
3．推出法中切线的性质定理和两个推论的格式．
①性质定理：如图7-55，
格式①AB切⊙O于点C AB⊥OC
②推论1，如图7-56，
③推论2．如图7-57，
四、布置作业
1．教材P．109练习2、3．
2．教材P．116中6、7．初三几何教案
第七章：圆
第35课时：正多边形的有关计算(二)
教学目标：
1、复习正多边形的基本计算图，并会通过解一般直角三角形来完成正多边形的计算，解决实际应用问题；
2、通过正十边形的边长a10与半径R的关系的证明，学习边计算边推理的数学方法；
3、在基本计算图的基础上，能将同圆内接正n边形与外切正n边形的有关计算数据进行相互转化．
4、在解应用题时，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，把实物抽象为几何图形的抽象能力；
5、根据条件进行正确迅速计算的运算能力；
6、用代数计算的结果作证明依据的综合、分析问题，解决问题的能力；
7、通过研究同圆内接正n边形与外切正n边形的关系，培养学生的观察能力．
教学重点：
(1)应用正多边形的基本计算图解决实际应用问题；
(2)用
边形与外切正n边形已知条件与未知元素的相互转化．
教学难点：
例3的证明
教学过程：
一、新课引入：
上节课我们根据正多边形的定义及其概念，运用将正多边形分割成三角形的方法，得到了化正多边形有关计算为解直角三角形问题基本计算图，并应用基本计算图解决诸如正三角形、正方形、正六边形的有关计算问题，即解决了含特殊角的正多边形的有关计算问题，本节课我们继续研究正多边形的有关计算问题．
正多边形的有关计算方法是基本的几何计算知识之一，掌握这些知识，一方面可以为学生进一步学习打好基础，另一方面，这些知识在生产和生活中常常会用到，掌握后对学生参加实践活动具有实用意义，为此本堂课讲解了几个正多边形有关计算的实例，借以培养学生用数学意识．
二、新课讲解：
展示正多边形的一般计算图7-144，提问以下问题让学生回忆并作答：
1．在Rt△AOD中，斜边R是正n边形的______；(安排中下生回答：半径)
2．直角边rn是正n边形的______；(安排中下生回答：边心距)
3．图中的an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：边长)
4．图中的an表示正多边形的什么？(安排中下生回答：中心角)
哪位同学记得解这类题的一般步骤？(安排中下生回答：先画计算
度数是多少？(安排中下生回答：45°)
分析完后，安排学生计算出结果．
(幻灯给出应用题)：在一种联合收割机上，拨禾轮的侧面是正五边形，测得这个正五边形的边长是48cm，求它的半径R和边心距r5(精确到0.1cm)．
解：设正五边形为ABCDE，它的中心为点O，连接OA，作OF⊥AB，垂足为F，(问：这一步目的是什么？)则OA=R，OF=r5，∠AOF=？(安排学生回答：36°)
∴r5=24·ctg36°=24×1.3764≈33.0(cm)．
答：这个正多边形的半径约为40.8cm，边心距约为33.0cm．
正多边形的有关计算，在生产和生活中常常会用到，但将实际问题归结为正多边形的有关计算后，解题的步骤方法就依然如故了，本题拨禾轮问题与前题正方形的计算不是同出一辙吗？
巩固练习：教材P.173中7，要用圆形铁片截出边长a的正方形铁片，选用的圆铁片的直径最小要多长？
启发，提出下列问题：1．要截出边长为a的正方形铁片与选用的直径最小的圆铁片它们之间是什么关系？(安排中等生回答：正方形是圆的内接正方形)2．这题实质是给出了正方形的什么元素，求什么元素？(安排中下生回答：给出正方形边长求半径．)
请同学们以最快的速度，求出答案．
幻灯给出顶角36°的等腰三角形，作如下启发思考的提问：
1．如图7-146，已知△ABC中AB=AC，∠A=36°，哪位同学知道∠B与∠c的度数？(安排中下生回答)2．如果BD平分∠ABC交AC于D，你发现图形中与BC相等的线段有哪些？(安排中下生回答)3．你发现图形中哪两个三角形相似？(安排中等生回答)4．如果AC=a，BC应是多少？怎么计算？(安排学生讨论、研究)
(继续启发思考提问)：大家观察证明中BC2=DEAC这一步，因BC=AD，所以前等式变为AD2=DC·AC，也就是说点D将线段AC分为两部分，其中较长的线段AD是较小线段CD与全线段AC的比例中项，哪位同学记得点D应叫做线段AC的什么点？(安排回忆起来的学生回答：黄金分割点)由上面的证明我们知道AD应是AC的黄金分割线段，由于BC与AD相等，观察发现BC是顶角36°角的等腰三角形的底，AC是这等腰三角形的腰？通过上面证明哪位同学能说一下你所得的结论？(安排中上学生回答：顶角36°角的等腰三角形的底边长是它腰长的黄金分割线段)若腰长为a则底边长应是多少？(安排中等生回答：
1．哪位同学知道正十边形的中心角的度数是多少？(安排中下生回答：36°)2．大家想想看，正十边形的夹36°中心角的半径与边长组成一个什么图形？(安排中等生回答：顶角36°的等腰三角形)3．如果一个正十边形的半径为R，那么这个正十边形的边长a10应该等于多少？
幻灯供题：已知⊙O的内接正六边形的边长为2，求⊙O的外切正三角形的边长．
大家观察⊙O的半径OC，它与内接正六边形ABCDEF、外切正△MNP有什么联系？(安排中上学生回答：OC是内接正六边形的半径，它又是外切正△MNP的弦心距)由于正六边形的边长等于半径，知边长为2即知⊙O的半径R=2，而半径OC又是⊙O外切
通过这题你发现连接圆内接正n边形与圆外切正多边形的桥梁是什么？(安排中等学生回答：这个圆的半径R)这R是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，所以解这类题的关键在于根据已知条件首先求出R，再将R转化求出未知元素．
三、课堂小结：
哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排上等生归纳)
1．应用正多边形的有关计算解决实际问题．
3．明确了连接圆内接正n边形与同圆外切正多边形的桥梁是这个圆的半径，即它是内接正n边形的半径又是同圆外切正多边形的边心距，因此解决此类问题首先要求它．
四、布置作业
教材P.165中练习1；P.173中8；P.173中12(此题改为：求5孔心所在圆的半径)；P.173中8、9、10、11．初三几何教案
第七章：圆
第34课时：正多边形的有关计算 (一)
教学目的：
1、使学生学会将正多边形的边长、半径、边心距和中心角、周长、面积等有关的计算问题转化为解直角三角形的问题．
2、通过定理的证明过程培养学生观察能力、推理能力、概括能力；
3、通过一定量的计算，培养学生正确迅速的运算能力；
教学重点：
化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理；正多边形计算图及其应用．
教学难点：
正确地将正多边形的有关计算问题转化为解直角三角形的问题解决、综合运用几何知识准确计算．
教学过程：
一、新课引入：
前几课我们学习了正多边形的定义、概念、性质，今天我们来学习正多边形的有关计算．
大家知道正多边形在生产和生活中有广泛的应用性，伴随而来的有关正多边形计算问题必然摆在大家的面前，如何解决正多边形的计算问题，正是本堂课研究的课题．
二、新课讲解：
哪位同学回答，什么叫正多边形．(安排中下生回答：各边相等，各角相等的多边形．)
什么是正多形的边心距、半径？(安排中下生回答：正多边形内切圆的半径叫做边心距．正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．)
正多边形的边有什么性质、角有什么性质？(安排中下生回答：边都相等，角都相等．)
什么叫正多边形的中心角？(安排中下生回答：正多边形的一边所对正多边形外接圆的圆心角．)
正n边形的中心角度数如何计算？(安排中下生回答：中心角的度数
正n边形的一个外角度数如何计算？(安排中下生回答：一个外角度
哪位同学有所发现？(安排举手学生：正n边形的中心角度数=正n边形的一个外角度数．)
哪位同学记得n边形的内角和公式？(请回忆起来的学生回答)．
哪位同学能根据n边形内角和定理和正n边形的性质给出求正n边形一个内角度数的公式？(安排中下生回答：正n边形每个内角度数
正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角有何数量关系？(安排中下生回答：互补)．
根据正n边形的每个内角与它有共同顶点的外角的互补关系和正n边形每个外角度数公式，正n边形每个内角度数又可怎样计算？(安排中
(幻灯展示练习题，学生思考，回答)
1．正五边形的中心角度数是______；每个内角的度数是______；
2．一个正n边形的一个外角度数是360°，则它的边数n=______，每个内角度数是______；
3．一个正n边形的一个内角的度数是140°，则它的边数n=______，中心角度数是______．
对于前2题安排中下生回答，对于第3题不仅要回答题目的答案而且要求回答思路．
解此方程n=9．
幻灯展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形．如图7-138，让学生边观察、边回答老师依次提出的问题、边思考．
1．观察每个图形的半径，分别将它们分割成多少个什么样子的三角形？(安排中下生回答：等腰三角形)
2．观察每个图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？(安排中等生回答：全等，依据(S．S．S)或(S．A．S))
3．将上述四个图形的观察与思考推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法(安排中上生回答：正n边形的n条半径分正n边形为n个全等的等腰三角形．)
套上幻灯片的复合片：作出各等腰三角形底边上的高，如图7-139，安排学生观察、思考并回答以下问题：
1．这些等腰三角形的每一条高都将每个等腰三角形分割为两个直角三角形，这两个直角三角形全等吗？为什么？(安排中下生回答)
2．这些等腰三角形的高在正多边形中的名称是什么？(安排中下生回答：边心距)
3．正n边形的n条半径、n条边心距将正n边形分割成全等直角三角形的个数是多少？(安排中等生回答：2n个)
给出定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形．
再套幻灯片的复合片，如图7-140，安排学生观察每个直角三角形都由正多边形的哪些元素组成．
安排中下生回答：直角三角形的斜边是正多边形的半径R、一条直角边是正多边形的边心距．另一直角边是正多边形边长的一半(在此安排中等生回答：为什么？)半径与边心距的夹角是正多边形一个中心角的一半．(安排中等生回答“为什么？”)
讲解：由于这个直角三角形融合了正多边形诸多元素，所以就可将正多边形有关半径、边心距、边长、中心角的计算问题归结为解直角三角形的问题来解决．
幻灯给出正多边形抽象的计算图7-141，教师讲解：
由于正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的问题来解决，所以我们只要画出这个直角三角形就可以了，其余就不画或略画．图中R表示半径，rn表示正n边形的边心距，an表示正n边形的边长，an表示正n边形的中心角．
提问：对于给定具体边数的正n边形，你首先可以求出直角三角形
(教师讲解)：直角三角形中一锐角已知，所以只要再给直角三角形的R、rn、an其中一项赋值就可求出其它元素．例如：(幻灯展示题目)
例1 已知：如图7-142，正△ABC的边心距r3=2．
求：R、a3．
问：要解此题，首先要做什么？(找中等生回答：画出基本计算图)
最后要做什么工作：(找中上生回答：选择三角函数)
解：
∵n=3
又
完成下列各题：(幻灯展示题目)
1．已知，正方形ABCD的边长a4=2．
求：R，r4．
2．已知：正六边形ABCDEF的半径R=2，
求：r6，a6．
(对于计算正确且较快的学生，让他们自拟试题进行计算，教师重点辅导需要帮助的学生)
再回到例1，问：你会求这个正三角形的周长P3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：边长×3，因为正三角形三边相等)．
再问：你会求这个正三角形的面积S3吗？怎么求？为什么这样求？(安排中等生回答：直角△AOC的面积×6，由定理可知这样的直角三角形的个数是边数的2倍．或者，等腰△AOB的面积×3，由定理可知选择的等腰三角形的个数与边数相同．)
请同学们分别计算上述二题的周长和面积(计算快而准的学生让其自拟题目再练习)
(幻灯给出例2)：已知正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6、周长P6和面积S6．
(提问)：1．首先要作什么？(安排中下生回答：画基本计算图)2．然
么？(安排中下生回答：选择三角函数)
∴P6=9R．
通过上面计算，你得出正六边形的半径与边长有什么数量关系？(安排中下生回答：相等)希望大家记住这个结论：a6=R，因为它不仅有利于计算而且是尺规画正六边形的依据．
三、课堂小结：
哪位同学能说一下，这堂课我们都学习了什么知识？(安排中等生归纳)
1．化正多边形的有关计算为解直角三角形问题定理，2．运用正多
角计算．
四、布置作业
教材P.163中1、2；P.165中2．
学有余力者布置下题：已知正n边形的半径为R，求an、Pn、rn、Sn．初三几何教案
第七章：圆
第7课时：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（一）
教学目标：
1、本节课使学生理解圆的旋转不变性；
2、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理，并能应用这些关系定理证明一些问题．
3、通过本节课的教学进一步培养学生观察、比较、归纳、概括问题的能力．
教学重点：
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理．
教学难点：
“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解．
教学过程：
一、新课引入：
同学们请观察老师手中的圆形图片．AB为⊙O的直径．①我把⊙O沿着AB折叠，两旁部分互相重合，我们知道这个圆是一个轴对移图形．②若把⊙O沿着圆心O旋转180°时；两旁部分互相重合，这时我们可以发现圆又是一个中心对称图形．由学生总结圆不仅是轴对称图形，圆也是中心对称图形．
若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这就是我们本节课要讲的内容：圆的一条特殊性质，即圆的旋转不变性．从圆的旋转不变性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，这是本节课我们所要学习的圆的又一条性质．
二、新课讲解：
首先出示圆形图片，引导学生观察：
下面我们来学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
提问两名中下生回答弧、弦的概念．
接着教师一边画图，一边引导学生观察，由学生总结出：
圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．教师通过图片（图7-21）演示，从学生观察中得到圆的旋转不变性，到圆心角、弦心距的两个概念，其目的是要求学生学会从观察、比较到归纳分析知识的能力，这样可以充分调动学生学习几何的积极性．
教师为了使学生真正了解图中圆心角、弧、弦、弦心距之间的内在联系，有意识找两位差一些的学生回答：“指出圆心角∠AOB所对的弧是______，所对的弦是______，所对弦的弦心距是______．
接下来我们来讨论：在⊙O中，如果圆心角∠AOB=∠A′OB′，那么它们所对的 和 ，弦AB和A′B′、弦心距OM和OM′是否也相等呢？
教师利用电脑演示，一边讲解，我们把∠AOB连同AB沿着圆心O旋转，使射线OA与OA′重合．由圆的旋转不变性，射线OB与OB′重合．因为∠AOB=∠A′OB’，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与点A′重合，AB与A′B′重合，从点O到AB的垂线OM和点O到A′B′的垂线OM′也重合．
即， = ，AB=A′B′，OM=OM′．
于是由一名学生总结定理内容，教师板书：
定理：在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
教师进一步提出这样一个问题：这个命题不加“在同圆或等圆”这个前题条件是否是一个真命题呢？
学生分小组讨论，由小组代表发表自己的意见．教师概括如下：
这个定理的题设是：“在同圆或等圆中”、圆心角相等；结论是：“所对的弧相等”、“所对弦相等”、“所对弦的弦心距相等”．
值得注意的是：在运用这个定理时，一定不能丢掉“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论．
教师为了培养学生的思维批判性，请一名同学画一个只能是圆心角相等的这个条件的图，虽然∠AOB=∠A′OB′，但由于OA≠OA′，OB≠OB′．通过举出反例强论对定理的理解．
这时教师分别把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示；两条弦的弦心距用④表示，我们就可以得出这样的结论．
事实上，由于在“同圆或等圆中”这个前提下，将题设和结论中任何一项交换都是正确的．于是得到了这个定理的推论，
为了巩固所学习的定理，黑板上出示例1：
例1 如图7-23，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．求证：AB=CD．
这道题的证明思路，教师引导学生分析：要证明两弦AB=CD，根据本节课所学的定理及推论，只要能证出圆心角、弧、弦心距三个量之中的一个相等即可．由于已知PO是∠EPF的平分线，利用角平分线的性质可知点O到AB、CD的距离相等，即弦心距相等，于是可证明AB=CD．
学生回答证明过程，教师板书：
证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N为垂足．
接着教师请同学们观察幻灯片，教师一边演示，一边讲解：如果将例1的∠EPF的顶点P看成是沿着PO这条直线运动，（1）当顶点在⊙O上时；（2）当顶点P在⊙O内部时，是否能得到例1的结论？请同学们课后思考完成．
课堂练习：教材P．88中1、2、3．
三、课堂小结：
本节课主要学习的内容是
（1）圆的旋转不变性；
（2）同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系．
本节课学习方法是（1）增加了证明角相等、弧相等的新方法；
（2）利用本节课的定理可以证明弦、弦心距相等的方法．
四、布置作业
教材P．99中1（1）、2、3．初三代数教案
第七章：圆
第3课时：过三点的圆
教学目标：
1、本节课使学生了解“不在同一条直线上三点确定一个圆”的定理及掌握它的作图方法．
2、了解三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念．
3、培养学生观察、分析、概括的能力；
教学重点：
经过不在一条直线上三点确定圆的定理．
教学难点：
理解“不在一条直线上”确定圆的条件．
教学过程：
一、新课引入：
某一个城市在一块空地上新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上．要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等．请问同学们这所中学建在哪一个位置？你怎么确定这个位置呢？教师提出问题，学生思考回答．
接着教师进一步提出这样一个问题，初一我们学习了直线公理，直线公理内容是什么？教师重复学生的回答：“经过两点确定一条直线．”对于一个圆来说，是否也有由几点确定的问题呢？此时教师出示课题：“7．2经过三点的圆”，教师这种引导虽然简短，但在学生的心理上起到了一定的定势作用，使学生明确了本节课的教学目标，学生带着一种好奇心，兴致勃勃去探索研究怎么作圆，从而调动学生学习积极性．
二、新课讲解：
学生在教师的引导下，亲自动手试验发现经过三点的圆，这三点的位置要进行讨论．有两种情况；①在一条直线上三点；②不在一条直线上三点，通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆．怎样才能做出这个圆呢？这时教师出示幻灯片．
例1作圆，使它经过不在同一直线上三点．
由学生分析首先得出这个命题的题设和结论．
已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过A、B、C三点．
接着教师进一步引导学生分析要作一个圆的关键是要干什么？由于一开课在设计学校的位置时，学生已经有了印象，学生会很快回答是确定圆心，确定圆心的方法：作△ABC的三边垂直平分线，三边垂直平分线的交点O就是圆心．圆心O确定了，那么要经过三点A、B、C的圆的半径可以选OA或OB都可以．作图过程教师示范，学生和老师一起完成．一边作图，一边指导学生规范化的作图方法及语言的表达要准确．
定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆．
注意：经过在同一条直线上三点不能确定一个圆．
这样做的目的，不是教师“填鸭式”的往里灌，而是学生自己经过探索确定圆的条件，这样得到的结论印象深刻，效果要比全部由老师讲更好．
接着，由于学生完成了作圆的过程，引导学生观察这个圆与△ABC的顶点的关系，得出：
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
强调“接”指三角形的顶点在圆上，“内接”、“外接”指在一个图形的“里面”和“外面”．理解这些术语的意义，指出语言表达的规范化．为了更好的掌握新概念，出示小黑板的练习题．
练习1：按图7-4填空：
（1）△ABC是⊙O的________三角形；
（2）⊙O△ABC的________圆．
这组题的目的就是理解“内接”，“外接”的含意，
练习2：判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（ ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（ ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（ ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（ ）
（5）三角形的外心到三角形各顶点的距离相等．（ ）
这组练习题主要巩固对本节课的定理和有关概念的理解，加深学生对概念辨析的准确性．
练习3：
经过4个（或4个以上的）点是不是一定能作圆？
练习4：
选择题：钝角三角形的外心在三角形 [ ]
A．内部
B．一边上
C．外部
D．可能在内部也可能在外部
练习3、4两道小题，引导学生动手画一画，和对定理的理解是否深刻，训练学生思维的广阔性和准确性有关．
练习5：教材P．73中4题（略）．
三、课堂小结：
师生共同完成总结．
知识点方面：
2．（1）三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；（2）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；（3）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
3．
方法方面：
1．用尺规作三角形的外接圆的方法．
2．重点词语的区别：“内接”，“外接”．
四、布置作业：
1．教材P．83中7、8、9．
2．补充作业：已知一个破损的轮胎，要求在原轮胎的基础上补一个完整的轮胎．初三几何教案
第七章：圆
第5课时：垂直于弦的直径（二）
教学目标
1、使学生掌握垂径定理的两个推论；
2、会利用推论1作一些简单的作图题．
3、继续培养学生观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能；
教学重点：
垂径定理的两个推论．
教学难点：
垂径定理的推论1．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆的重要性质垂径定理．请两名中等生回答定理内容，并说出这个定理的题设和结论．这时教师引导学生观察．若（1）过圆心；（2）垂直于弦；则（3）平分弦；（4）平分这条弦所对的优弧；（5）平分这条弦所对的劣弧．将（2）和（3）对调，得到一个命题，将（1）和（3）对调，得到一个命题；然后将（2）和（4）或（5）对调，又得到一个命题．接着又将直径CD旋转到和弦AB平行时，又出现一个新命题．这时教师点题．“9．3垂直于弦的直径（二）”．刚才得到的四个命题，就是我们本节要学习的垂径定理的两个推论．教师这样做的目的是让学生明白垂径定理的两个推论，就是在原来定理的题设和结论做一小小的调换而得到的，使学生感觉新知识不新，容易产生兴趣，减轻学生的心理压力，使学生充满着自信投入到教学活动中．
二、新课讲解：
为了使学生真正体验垂径定理的重要，在取材处理上，没有象教科书那样直接给出推论1、推论2．而是将垂径定理的题设和结论进行对调，发现新命题，总结新命题，教师概括出推论1．再进一步将垂径定理的直径旋转到和弦AB平行时，又得到一个新命题，也就是推论2．这样不仅让学生了解了新知识与旧知识之间的联系，也体现了知识的连贯性和系统性．这样既开发了学生的智力，又调动了学生学习的积极性和主动性．同时又增强了学生应用数学的意识．
学习提问：
请回答垂径定理内容，并叙述定理的题设和结论．学生回答，教师板书，画出图形．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
若①过圆心，②垂直于弦，则③平分弦④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧．
题 设 结 论
将②和③对调，可得新命题为：
由于一个圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．所以得到上面命题的结论，必须加上“弦不是直径”这一条件．教师用文字叙述为：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
将①和③对调，又得新命题为：
④直线CD平分ACB，⑤直线CD平分ADB．
从而得到：
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．以上三条是垂径定理的推论1；
请同学继续观察，当直径CD旋转与弦AB平行时，可得新的命题为：
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．教师引导学生回述证明过程．
数学表述成为：AB∥CD = ．
接着做练习：
练习1：“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗？为什么？
练习2：按图7-14填空：在⊙O中，
（1）若MN⊥AB，MN为直径，则______，______，______；
（2）若AC=BC，MN为直径，AB不是直径，则______，______，______；
（3）若MN⊥AB，AC=CB，则______，______，
（4）若 = ，MN为直径，则______，______，______．
这两个练习题学生回答，学生评价．练习题做完后教师接着讲例3．
例3 平分已知弧 ．教师引导学生回答已知，求作．
已知： ．
求作： 的中点．
分析：要将 两等分，如何确定 的中点呢？
学生在教师的启发下，想出作圆的方法，这时教师
进一步提出问题；连结AB，作AB的垂直平分线交 于点E，为什么可以说E点是 的中点呢？根据什么？作图由学生自己完成．
教师这样做的目的是引导学生学习平分弧的方法，通过积极思考得到解决办法，这样理解深刻，不容易出错．
练习3：P．80中3（由学生完成）略．
三、课堂小结：
本节课主要学习了垂径定理的两个推论．利用推论1举出平分弧的作图．
四、布置作业
P．84中14题．
补充作业：
1．已知：如图7-15，AB为⊙O的直径，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，垂足分别为C，D．求证：AE=BF．
2．已知：如图7-16，AB为⊙O直径，CD为弦，AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F．
求证：（1）CF=DE（2）∠OEF=ZOFE初三几何教案
第七章：圆
第4课时：垂直于弦的直径（一）
教学目标：
1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性；
2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程；
3、能初步应用垂径定理进行计算和证明．
4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
垂径定理及应用．
教学难点：
垂径定理的证明．
教学过程：
一、新课引入：
请同学们回答下列问题：
1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做________；那么这条直线叫做________．
2、等腰三角形是轴对称图形吗？
3、“圆”是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？
教师利用提问1．，2．的形式，复习轴对称图形的概念．提问3．的目的是引出本节课的第一个知识点．
在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形．教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时学生回答，教师板书．
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．
接着电脑继续演示，教师讲解：
由图7-9（1）中CD为⊙O的直径；变到图7-9（2）中在⊙O上任意取一点A；再变到图7-9（3）从点A作直径CD的垂线交⊙O于另一个交点B．这时我们可以看出图（3）中的点B与点A是否是对称点呢？A、B是关于什么对称．教师进一步提出当直径CD垂直于弦AB，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容．“7．3垂直于弦的直径（一）”．教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验——观察——感性——理性的认识过程．逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发学生的学习动机．
二、新课讲解：
为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图7-9（1）可知CD所在直线是⊙O的对称轴；到图7-9（2）从⊙O上取一点A，过点A作直径CD的垂线交⊙O于点B，得到图7-9（3），这时沿着CD折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论．通过实验——观察——猜想获得感性认识．这个实验结论是否正确，还需要证明．学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去．学生回答证明过程，教师板书．
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE=EB， = ， = ．
证明：连结OA，OB，则OA=OB．又CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是△O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合， 、 分别和 、 重合．因此，AE=BE， = ， = ．从而得到圆的一条重要性质．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条
垂径定理是由演示实验——观察——感性——理性的全过程．为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．
〈2〉 〈1〉〈3〉 〈4〉〈5〉
把直径化分为（1）；把垂直于弦化分为（2）；把平分弦化为（3）；平分优弧化为（4）；平分劣弧化分为（5）．
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．这样做目的是加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混．
接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题．
例1 如图7-10，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
教师分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，
学生回答，教师板书计算过程．
解：连结OA，作OE⊥AB，垂足为E．
∵OE⊥AB，∴AE=EB．
∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，
在Rt△AOE中，
∵⊙O的半径为5cm．
教师强调：从例1可以知道作“弦心距”是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样．
求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来．
例2 已知：如图7-11，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．
例2由学生分析证明思路，学生板书证明过程．师生共同参与评价．
练习1：教材P．78中1题．
练习2：教材P．78中2题．
练习1，2两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价．这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识．
最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成．每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高．
三、课堂小结：
小结由学生完成，教师进一步强调．
1．本节课学习的知识点
（1）圆的轴对称性；
（2）垂径定理及应用．
2．方法上主要学习了
（1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形．
（2）在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距．
（3）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足（1）过圆心；（2）垂直于弦；则可得（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．
四、布置作业
教材P．84中11、12、13初三几何教案
第七章：圆
第10课时：圆周角（二）
教学目标：
1、本节课使学生在掌握圆周角的定义和圆周角定理的基础上，进一步学习圆周角定理的三个推论；
2、掌握三个推论的内容，并会熟练运用推论1、推论2证明一些问题．
3、通过推论1、推论2的教学，培养学生动手操作能力和独立获得知识的能力．
4、结合例2的教学进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力．
教学重点：
圆周角定理的三个推论的应用．
教学难点：
理解三个推论的“题设”和“结论”．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆周角的概念及圆周角定理，请两位中等学生回答这两个问题．
接着请同学们看这样一个问题：
已知：如图7-34，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，求证：AE·EB=DE·EC．
师生共同分析：欲证明AE·EB=DE·EC，只有化乘积式为比例
角形相似条件为∠AED=∠CEB．
当学生分析得到∠AED=∠CEB，发现两个三角形相似条件不充分，只有一对角相等，不符合相似三角形的判定，这时教师补充到：如能填加∠A=∠C这个条件，能不能得到这两个三角形相似呢？请同学观察∠A、∠C是什么角呢？这节课我们继续学习“7．5圆周角（二）”本节课我们就来解决∠A=∠C的问题．教师利用一道题创设问题的情境，有意制造一种悬念，就是为了以需要激发学生的情趣，用需要这个动力源泉激发学生的积极性．
二、新课讲解：
为了把教师的教变成学生自己要学习．学生们带着要解决∠A=∠C的问题，思维处于积极探索状态时，教师及时提出问题：
请同学们画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？
这时教师要求学生至少画出三个，要求学生用量角器度量一个这三个角有什么关系？
请三名同学将量得答案公布于众．得到结果都是一致的，三个角均相等．通过度量我们可以知道∠A=∠A1=∠A2，想一想还有没有别的方法来证明这三个角相等呢？
学生分析证明思路，师生共同评价．教师概括总结出方法：要证明∠A=∠A1=∠A2，只要构造圆心角进行过渡即可．
接下来引导学生观察图形；在⊙O中，若 = ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若∠C=∠G，是否得到 = 呢？学生思考，议论，最后得到结论．
若 = ，则∠C=∠G，反过来当∠C=∠G，在同圆或等圆中，可得若 = ，否则不一定成立．
这时教师要求学生举出反面例子：
若∠C=∠G，则 ≠ ，从而得到圆周角的又一条性质．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
强调：同弧说明是“同一个圆”；
等弧说明是“在同圆或等圆中”．
“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？教师提出这样的问题后，学生通过争论得到的看法一致．
接下来出示一组练习题：
1．半圆所对的圆心角是多少度？半圆所对的圆周角呢？为什么？
2．90°的圆周角所对的弧是什么？所对的弦呢？为什么？
由学生自己证明得到了推论2：
推论2：半圆或（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
巩固练习1：判断题：
1．等弧所对的圆周角相等；（ ）
2．相等的圆周角所对的弧也相等；（ ）
3．90°的角所对的弦是直径；（ ）
4．同弦所对的圆周角相等．（ ）
这组练习题的目的是强化对圆周角定理的推论1、推论2的理解，加深对推论1、推论2的理解，掌握并准确运用．
接下来出示幻灯片：
形呢？
O上．
∴∠ACB=90°，∴△ACB是直角三角形．于是得到推论3．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
数学表达式：
教师告诉学生这是证明一个三角形是直角三角形的判定定理．
这时教师提醒学生开课时的问题能否解决：学生回答出解决思路和方法，最后教师强调．
接下来教师给出例1
已知：如图7-41，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．
求证：AB·AC=AE·AD．
由学生分析证明思路，教师把分析过程写在黑板上：
有证明△ABE～△ADC即可．
引导学生总结：在解决圆的有关问题中，常常需要添加辅助线，构成直径上的圆周角．
接下来教师提示，把例1中的AD延长交⊙O于F，求证：BE=FC．
由学生分析，两名同学证明出两种不同方法写在黑板上．
（法一）：连结EF．
EF∥BC = BE=FC
（法二）：△ABE～△ACF ∠BAE=∠FAC = BE=FC．
巩固练习P．95中1、2、3．
三、课堂小结：
本节课知识点：
本节课所学方法：
常用引辅助线的方法①构造直径上的圆周角；②构造同弧所对的圆周角．
四、布置作业
教材P．100中8、9、10、11、12．初三几何教案
第七章：圆
第2课时：圆(二)
教学目标：
1、本节课使学生理解弦、弧、弓形、同心圆、等圆、等孤的概念．
2、初步会运用本节的概念判断真假命题．
3、逐步培养学生亲自动手实践，总结出新概念的能力．
教学重点：
理解圆的有关概念．
教学难点：
对“等圆”、“等弧”的定义中的“互相重合”这一特征的理解．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们学习了圆的定义、点和圆的位置关系．教师提问学生回答上节课的知识点，学生之间互相补充、评价．
接着启发学生在练习本上画一个圆，要求学生在圆上任取两点A、B．请同学们一边画图，一边观察，一边思考教师提出的问题．这两点A、B之间的部分是什么？连结两点得到线段AB又是什么？AB把圆分成两部分得到图形又叫做什么？在学生想说又叫不准的情况下，教师出示板书．这节课我们学习“7．1圆(二)”，本节专门研究圆的有关概念．
二、新课讲解：
学生画图后观察出圆的一些概念，由学生回答出概念的名称和内容．如果学生回答的很准确，教师不必重复．在学生回答中，教师板书出重点概念．
1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．教师提问一名中下生，“一个圆有多少条弦？”找一名中等生回答“在这些弦中，最长的弦是什么？怎么定义这个最长的弦？”
2．直径：经过圆心的弦是直径．
直径与半径之间关系找一名中下学生回答．
3．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧．简称弧．教师讲清弧的符号“ ”的表示．以A、B为端点的弧，记作 ，读作“圆弧AB”或“孤AB”．
这时教师引导学生观察圆中的圆弧有几种情况？通过学生观察、比较、归纳出三种圆弧，师生一起总结出这三种弧的定义．半圆弧：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆弧．
优弧：大于半圆的弧叫优弧．
优弧CBA，记作“ ”是优弧．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
这时幻灯打出一组练习题：
练习1 判断下列语句是否正确？为什么？
1．半圆是弧．
2．弧是半圆．
3．两个劣弧之和等于半圆．
4．两个劣弧之和等于圆周长．
这样做的目的使学生对圆弧的定义加以理解．
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．了解到弓形定义，为了使学生更好地了解圆中一条弦能得到两个弓形，引导学生观察得到，这样对今后学习弦所对的圆周角的问题起奠基作用．
接下来讲同心圆、等圆、等弧的三个概念时，从字意义让学生探索出概念的内含外延．培养学生通过理解字意感受到图形与概念的有机结合，是学习好几何的基本保障．
例如同心圆：即圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
等圆的讲解以投影演示，让学生观察、比较得出等圆是互相重合两个圆．由等圆可以证明半径相等，直径相等．反过来半径相等，直径相等两个圆是等圆．同时告诉学生同圆或等圆的半径相等．
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
等弧是本节的难点，教师从引导学生能“理解互相重合”入手，联系到如果互相重合．说明同圆的半径相等，进一步证明满足同圆或等圆的前提条件．这样分析的好处是让学生真正认识到等圆、等弧都是从“互相重合”得到的，进一步理解“等弧”的条件已经具备同圆或等圆，这样又消除对等弧不理解的心理障碍，从而顺理成章的让学生从认识→到理解→最后到准确应用．
接下来给学生一组练习题巩固已学过的知识．学生回答，学生之间参与评价．
练习2 判断题：
1．直径是弦；
2．弦是直径；
3．半圆是弧，但弧不一定是半圆；
4．半径相等的两个半圆是等弧；
5．长度相等的两条弧是等弧；
例2 如图在圆O中，AB、CD为直径．求证：AD∥BC．
由学生分析，学生写出证明过程，学生纠正存在问题．
巩固练习：
教材P．66中2、3题(学生自己完成)．
三、课堂小结：
本节小结引导学生自己做出总结：
1．本节所学的知识点有：
2．方法上要进一步理解的有：
①弦与直径，
②弧与半圆，
③同心圆、等圆指两个图形，
④等圆，等弧是互相重合得到，等弧的条件作用．
3．新定义符号“ ”的表示方法．
四、布置作业：
教材P．83中5题，P．82中1(3)、(4)．
参考题：
一、判断题（40分）
（1）直径是弦，但弦不一定是直径。（ ）
（2）半径相等的两个圆叫等圆。（ ）
（3）直径相等的两个圆是等圆。（ ）
（4）半圆是弧，但弧不一定是半圆。（ ）
（5）长度相等的两条弧是等弧。（ ）
（6）连接圆上任意两点所得的图形叫圆弧。（ ）
（7）等弧的长度一定相等。（ ）
（8）经过圆心的直线是直径。（ ）
二、单选题（30分）
（1）下列说法正确的是（ ）
　（A）半圆是弧（B）弧是半圆（C）劣弧大于半圆（D）优弧小于半圆
（2）过圆O内一点的最长弦长为10cm，那么圆的直径是（ ）
　（A）20cm　　（B）10cm　　（C）5cm　　　　 （D）以上都不对
（3）下列说法中正确的是（ ）
　（A）四边形的四个顶点都在同一个圆上　（B）菱形的四个顶点在同一个圆上
　（C）矩形的四个顶点在同一个圆上　　　（D）平行四边形的四个顶点在同一个圆上
三、解答题（30分）
（1）如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC交AC于D，OD=4cm，求BC的长。
（2）如图，已知Rt △ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,∠A=30°,E是AC的中点,以D为圆心,DE为半径作圆,问:(1)A、B、C三点与⊙D的位置关系如何？说明理由。(2)若BC=1，能否求出A点距离D的最短距离？初三几何教案
第七章：圆
第32课时：正多边形和圆(一)
教学目标：
1、使学生理解正多边形概念；
2、使学生了解依次连结圆的n等分点所得的多边形是正多边形；过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是正多边形．
3、通过正多边形定义教学培养学生归纳能力；
4、通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力．
教学重点：
(1)正多边形的定义；
(2)n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
教学难点：
对正n边形中泛指“n”的理解．
教学过程：
一、新课引入：
同学们思考以下问题：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？[安排中下生回答] 3．等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？[安排中上生回答：各边相等、各角相等]．
各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．这就是我们今天学习的内容“7.15正多边形和圆”．
二、新课讲解：
正多边形在生产实践中有广泛的应用性，因此，正多边形的知识对学生进一步学习和参加生产劳动都是必要的．因此本节课首先给出正多边形的定义，然后根据正多边形的定义和圆的有关知识推导出正多边形与圆的第一个关系定理，即n等分圆周就可得到圆的内接或外切正n边形，它是正多边形画图的理论依据，因此也是本节课的重点之一．
同学回答：什么是正多边形？[安排中下生回答：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．]
如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
幻灯展示图形：
上面这些图形都是正几边形？[安排中下生回答：正三角形，正四边形，正五边形，正六边形．]
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？[安排中下生回答：矩形不是正多边形，因为边不一定相等．菱形不是正多边形，因为角不一定相等．]
哪位同学记得在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距关系定理？[安排记起来的学生回答：在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么其余量都相等．]
要将圆三等分，那么其中一等份的弧所对圆心角度数是多少？要将圆四等分、五等分、六等分呢？[安排中下生回答：将圆三等分，其中每等份弧所对圆心角120°、将圆四等分，每等份弧所对圆心角90°、五等分，圆心角72°、六等分，圆心角60°]
哪位同学能用量角器将黑板上的圆三等分、四等分、五等分、六等分？[接排四名上等生上黑板完成，其余学生在下面练习本上用量角器等分圆周．]
大家依次连结各分点看所得的圆内接多边形是什么样的多边形？[学生答：正多边形．]
求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形．
以幻灯所示五边形为例，哪位同学能证明这五边形的五条边相等？[安排中等生回答：]
哪位同学能证明这五边形的五个角相等？[安排中等生回答：]
前面的证明说明“依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形”的观察后的猜想是正确的．如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？[安排学生们充分讨论]．
因为在同圆中，弧等弦等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等．又n边形的每个内角对圆的(n-2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，根据弧等、圆周角相等，证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性．
定理：把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？大家讨论讨论看看．
经过圆的五等分点作圆的切线，大家观察以相邻切线的交点为顶点的五边形是不是正五边形？
PQ、QR、RS、ST分别是经过分点A、B、C、D、E的⊙O的切线．
求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形．
由弧等推得弦等、弦切角等，哪位同学能说明五边形PQRST的各角都相等？[安排中上生回答]哪位同学能证明五边形PQRST的各边都相等？[安排中等生回答．]
前面同学的证明，说明“经过圆的五等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正五边形．”同样根据弧等弦等、弦切角等就可证明经过圆的n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n个等腰三角形全等，从而证明了这个圆的以它n等分点为切点的外切n边形是正n边形．
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．
定理(2)中少“相邻”两字行不行？少“相邻”两字会出现什么现象？同学们相互间讨论研究看看．
三、课堂小结：
本堂课我们学习的知识：
1．学习了正多边形的定义．
2．n等分圆周(n≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
四、布置作业
教材P.147．练习2、3；P.172中2、3、4(1)．初三几何教案
第七章：圆
第13课时：圆的内接四边形
教学目标：
1、使学生掌握圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理；
2、使学生初步会运用圆的内接四边形的性质定理证明和计算一些问题．
3、培养学生观察、分析、概括的能力；
4、培养学生言必有据和准确简述自己观点的能力．
教学重点：
圆内接四边形的性质定理．
教学难点：
理解“内对角”这一重点词语的意思．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，前面我们学习了圆内接三角形和三角形的外接圆的概念．本节课我们学习圆的内接四边形概念，那么什么叫做圆的内接四边形呢？教师板书课题“7．6圆内接四边形”．根据学生已有的实际知识水平及本节课所要讲的内容，首先点题，有意让学生从圆内接三角形的概念正向迁移到圆内接四边形的概念．这样做一方面让学生感觉新旧知识有着密切的联系，另一方面激发学生从已有知识出发探索新知识的主动性．
二、新课讲解：
为了使学生能够顺利地从圆内接三角形正向迁移得到圆内接四边形的概念，在本节课的圆内接四边形的教学中，首先由复习旧知识出发．
复习提问：
1．什么叫圆内接三角形？
2．什么叫做三角形的外接圆？
通过学生复习圆内接三角形的定义后，引导学生来模仿圆内接三形的定义，来给圆内接多边形下定义，再由一般圆内接多边形的定义归纳出圆内接四边形的概念．
这样做的目的是调动学生成为课堂的主人，通过学生积极参与类比、联想、概括出来所要学的知识点．不是教师牵着学生走，而是学生积极主动地探求新的知识．这样学到的知识理解得更深刻．
接下来引导学生观察圆内接四边形对角之间有什么关系？
学生一边观察，教师一边点拨．从观察中让学生首先知道圆内接四边形的对角是圆周角，由圆周角性质定理可知一条弧所对的圆周角等于它们对的圆心角的一半．如何建立圆周角与圆心角的联系呢？由学生联想到了构造圆心角，从而得到对角互补这一结论．
接着由学生自己探索得到一外角和内对角之间的关系．教师首先解释“内对角”的含义后，引导学生思考，议论、发现结论．由学生口述证明结论的成立．这样由学生通过观察、比较获得圆内接四边形的性质的过程，促使知识转化为技能，发展成能力，从而提高应用的素养．
由学生自己通过观察、探索得到圆内接四边形的性质．
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一外角都等于它的内对角．
为了巩固圆内接四边形的性质出示练习题．
在⊙O中，A、B、C、D、E都在同一个圆上．①指出图中圆内接四边形的外角有几个？它们是哪些？
②∠DCH的内对角是哪一个角，∠DBG呢？
③与∠DEA互补的角是哪个角？
④∠ECB+（ ）=180°．
这组练习题的目的是巩固圆内接四边形的性质，加强对性质中的重点词语“内对角”的理解，同时也逐步训练学生在较复杂的几何图形中，能准确地辨认图形，较熟练地运用性质．
接着幻灯出示例题：
例 已知：如图7-47，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．
求证：CE∥DF．
分析：欲证明CD∥DF，只需证明∠E+∠F=180°，要证明∠E与∠F互补，连结AB，只有证明∠BAD+∠F=180°，因为∠BAD=∠E．
师生分析证题的思路后，教师强调连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决．
此时，教师请一名中等学生证明例题，教师把证明过程写在黑板上：
证明：连结AB．
∵ABCE是⊙O1的内接四边形，
∴∠BAD=∠E．
又∵ADFB是⊙O2的内接四边形，
∴∠BAD+∠F=180°，
∴∠E+∠F=180°．
∴CE∥DF．
接着引导学生一起研究出例题的两种变式的情况．
提问问题：
①、说出（2）图的证明思路；
②、说出（3）图的证明思路；
③、总结出引辅助线AB后你都用了本节课的哪些知识点？
出这些问答题的目的是进一步让学生知道一道几何题的图形有不同的画法，将来遇问题要多观察、比较、分析，善于挖掘题目中的一些隐含条件，总结出证题的一般规律．
师生共同总结：
图7-47（1）连结AB后，构造出两个圆内接四边形，最后应用同旁内角互补，证明二直线平行．
图7-47（2）连结AB后，构造出一个圆内接四边形和圆弧所对的圆周角．最后运用内错角相等，证明二直线平行．
图7-47（3），连结AB后，可以看成构造一个圆内接四边形，也可以看成构造两组圆弧所对的圆周角，最后可以运用同位角相等，证明二直线平行或利用同旁内角证明二直线平行．
教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新，把学生从题海里解脱出来．
巩固练习：教材P．98中1、2．
三、课堂小结：
1、本节课主要学习的内容：
2．本节课学到的思想方法：
①构造圆内接四边形；
②一题多解，一题多变．
四、布置作业
教材P．101中15、16、17题．
教材P．102中B组5题初中几何教案
第七章：圆
第22课时：弦切角(二)
教学目标
1、使学生熟练掌握弦切角定理及其应用．
2、通过对具体习题的解答培养学生的分析问题能力；
3、培养学生的综合运用能力．
教学重点：
使学生较熟练运用弦切角定理证明有关几何问题．
教学难点：
学生不能准确地找到解题思路将弦切角定理及其推论灵活运用．
教学过程：
一、新课引入：
上一节我们已经学习了弦切角定理及其推论，这一节我们来学习将定理和推论熟练应用于解题之中．
弦切角也是圆的一个重要的角，它同圆心角、圆周角相互关联，是证明或计算几何综合性习题一个重要途径．当我们从题目中看到圆的切线时，不光想到切线的性质、切线长，还要想到弦切角，同学们将从下面的习题中感悟到这一点．
二、新课讲解：
练习一，如图7-75，AC是⊙O的弦，AD是切线，CB⊥AD于B，CB交⊙O于E．如果EA平分∠BAC，那么∠C=______．
(答案30°)
练习二，P是直径AB的延长线上一点，PC为⊙O的切线，C为切点，若∠PCB=25°，则∠P=______
(答案40°)
练习三，BC是⊙O的弦，P是BC延长线上一点，PA与⊙O相切于点A，∠ABC=25°，∠ACB=80°，求∠P的度数．
(答案63°)
练习四，弦切角的弦分圆成两部分，其中一部分比另一部分大44°，求这个弦切角的度数．
(答案79°、101°．为什么是两种？教师指导学生弄清楚．)
练习五，AB是⊙O的弦，PA切⊙O于A，C为⊙O上除A、B外任意一点，若∠PAB=42°，则∠ACB的度数为______．
P．124 例2已知：如图7-76，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C，AD是⊙O的切线⊙O′于点D
求证：AB2=BC·BD．
学生在教师的指导下完成分析过程．
△ABD∽△ABC即可，而题目中分别给出两圆切线，可产生弦切角定理，从而命题得证．
注意，例题证明过程板书时，应参照教材改成推出法．
练习六，P．124练习1．如图7-77，AB是⊙的弦，CD是经过⊙O上一点M的切线，求证：(1)AB∥CD时，AM=MB．
(2)AM=MB时，AB∥CD．
提醒学生注意到，本题目的两个结论，正好是互逆，在处理这类问题时，只要把其中一个问题分析透彻即可．
练习七，P．124中2．在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，⊙O过点A，且和BC切于D，和AB、AC分别交于E、F．
求证：EF∥BC．
教师指导学生分析，要证EF∥BC，如果从角相等来考虑，同位角比较困难，可连结DE(或DF)证内错角相等．弦切角定理∠1=∠3，圆周角定理推论∠2=∠4，而∠3=∠4，从而∠1=∠2，命题得证．想一想，本题还可以怎样证？你能就这个图形，编绘出另外一道题吗？
1．另外一个证法是连结OD，运用垂径定理和切线性质定理来证．
2．另编题：如图7-78，BC切△AEF的外接圆O于D，且EF∥BC．
求证：AD平分∠BAC．
证明由学生独立完成．教师着重于启发，引导学生的思维．
三、课堂小结：
教师指导学生总结出本课主要内容：
1．弦切角的概念：反映了两个方面的问题；(1)角的顶点也就是切点．(2)角的两边中一边与圆相交，一边与圆相切，要准确判断圆的切线与割线间的角不是弦切角，因为它的项点不在圆上．
2．弦切角定理：这个重要的定理确定了弦切角的度量，即弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
3．在证明中使用弦切角定理的前提是必须出现圆的切线，务必使学生明白这一点，提醒学生在今后的证明中，如果需要，可以过圆上某一点作圆的切线，以造成弦切角定理的使用前提．
四、布置作业
本节作业均为课外补充作业，用题签的形式发给学生，详见习题参考答案．初三几何教案
第七章：圆
第9课时：圆周角（一）
教学目标：
一、新课引入：
1、通过本节的教学使学生理解圆周角的概念，掌握圆周角定理．
2、准确地运用圆周角定理进行简单的证明计算．
3、通过圆周角定理的证明使学生了解分情况证明数学命题的思想方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力．
4、继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力．
教学重点：
圆周角的概念和圆周角定理．
教学难点：
认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性．
教学过程：
一、新课引入：
同学们，上节课我们已经学习了圆心角的定义、圆心角的度数和它所对的弧的度数的相等关系．学生在复习圆心角的定义基础上，老师通过直观演示将圆心角的顶点发生变化．满足顶点在圆上，而角的两边都与圆相交，得到与圆有关的又一种角．学生通过观察，对比着圆心角的定义，概括出圆周角的定义．教师板书：“7．5圆周角（一）．”通过圆心角到圆周角的运动变化，帮助学生完成从感性认识到理性认识的过渡．一方面激发学生学习几何的兴趣，同时让学生感受到图形在学生眼中动起来．
二、新课讲解：
为了进一步使学生真正理解圆周角的概念，教师利用电脑进一步演示得到三种不同状态的圆周角．
教师提问，学生回答，教师板书．
你能仿照圆心角的定义给圆周角下一个定义吗？
圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
这时教师向全体学生提出这样两个问题：
①顶点在圆上的角是圆周角？
②圆和角的两边都相交的角是圆周角？
教师不做任何解释，指导学生画图并回答出答案对与否．选择出有代表性的答案用幻灯放出来，师生共同批改．这样做的好处是学生自己根据题意画出图形，加深了对概念的理解，师生共同批改，使学生抓住概念的本质特征，这时由学生归纳出圆周角的两个特征．
接下来给学生一组辨析题：
练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由．
通过这组练习题，学生就能很快的深入理解圆周角的概念，准确的记忆圆周角的定义．
这时教师启发学生观察电脑演示的圆周角的三个图，说明圆心和圆周角的位置关系的三种情况．
在圆周角定理的证明时，不是教师直接告诉学生的定理内容，而是让学生把自己课前准备好的圆拿出来，在圆上画一个圆周角，然后再画同弧所对的圆心角，由同桌两人用量角器量出这两个角的度数，请三名同学把量得数据告诉同学们，亲自试验发现它们之间的关系．这时由学生总结出本节课的定理，然后教师把定理内容写在黑板上．
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
这时教师提问一名中下生：“一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？”
教师概括：虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况．下面我们就来证明这个定理的成立．
已知：⊙O中， 所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC．
分析：（1）如果圆心O在∠BAC的一边AB上，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明．
如果圆心O不在∠BAC的一边AB上，我们如何证明这个结论成立呢？
教师进一步分析：“能否把（2）、（3）转化为（1）圆心在角的一边上的特殊情况，那么只要作出直径AD，将∠BAC转化为上述情况的两角之和或差即可，从而使问题得以解决．
这样分析的目的，在几何定理的证明中，分情况逐一证明肯定命题的正确性，这还是第一次接触．因而教师分析就应从教会学生解决问题的方法上入手，教会学生由圆心O的特殊位置的证明为基础，进而推到一般情况．同时要向学生渗透证明过程体现了由已知到未知、由特殊到一般的思维规律．
本题的后两种情况，师生共同分析，证明过程由学生回答，教师板书：
证明：分三种情况讨论．
（1）图中，圆心O在∠BAC的一边上．
（2）图中，圆心O在∠BAC的内部，作直径AD．利用（1）的结果，有
（3）图中，圆心O在∠BAC的外部，作直径AD，利用（1）的结果，有
接下来为了巩固所学的圆周角定理，幻灯片上出示例1．
例1 如图7-30，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC．
例1由教师引导学生结合图形分析证明思路，证明过程请一名中等生上黑板完成，其它同学把证明写在练习本上．
这样处理例1的目的，是让学生通过自己的思维活动得到解题思路的探索过程，由学生自己完成证明，使学生切实从应用上加深对圆周角的理解．
为了坚持面向全体学生，遵循因材施教的原则，使不同层次的学生学有所得，教师有目的设计两组习题．
第一组练习题是直接巩固定理，难度较小，可提问较差的学生．
求圆中的角x的度数？
第二组练习题是间接巩固定理，需要以圆心角的度数为过渡，可提问中等偏上的学生．
如图7-32，已知△ABC内接于⊙O， ， 的度数分别为80°和110°，则△ABC的三个内角度数分别是多少度？
三、课堂小结：
这节课主要学习了两个知识点：
1．圆周角定义．
2．圆周角定理及其定理应用．
方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思想．
四、布置作业：
教材P．100中A6、7．
补充作业：
如图7-33在⊙O中，DE=2BC，∠EOD=64°，求∠A的度数？初三几何教案
第七章：圆
第41 课时：圆、扇形、弓形的面积(三)
教学目标：
1、简单组合图形的分解；
3、通过简单组合图形的分解，培养学生的观察能力、发散思维能力和综合运用知识分析问题、解决问题的能力．
4、通过对S△与S扇形关系的探讨，进一步研究正多边形与圆的关系，培养学生抽象思维能力和归纳概括能力．
教学重点：
简单组合图形的分解．
教学难点：
正确分解简单的组合图形．
教学过程：
一、新课引入：
上节课学习了弓形面积的计算，并且从中获得了简单组合图形面积的计算可转化为规则图形的和与差来解决的方法．今天我们继续学习“7．20圆、扇形、弓形的面积(三)”，巩固化简单组合图形为规则图形和与差的方法．
学生在学习弓形面积计算的基础上，获得了通过分解简单组合图形，计算其面积的方法．但要正确分解图形，还需一定题量的练习，所以本堂课为学生提供练习题让学生们互相切磋、探讨．通过正多边形的有关计算的复习进一步理解正多边形与圆的关系，随着正多边形边数增加，周长越来越趋向于圆的周长，面积越来越趋向于圆的面积，使学生初步体会极限的思想，了解S△与S扇形之间的关系．
二、新课讲解：
(复习提问)：1．圆面积公式是什么？2．扇形面积公式是什么？如何选择公式？3．当弓形的弧是半圆时，其面积等于什么？4．当弓形的弧是劣弧时，其面积怎样求？5．当弓形的弧是优弧时，其面积怎样求？(以上各题均安排中下生回答．)
(幻灯显示题目)：如图7-168，已知⊙O上任意一点C为圆心，以R
从题目中可知⊙O的半径为R，“以⊙O上任意一点C为圆心，以R为半径作弧与⊙O相交于A、B．”为我们提供的数学信息是什么？(安排中上生回答：A、B到O、C的距离相等，都等于OC等于R．)
转化为弓形面积求呢？若能，辅助线应怎样引？(安排中等生回答：能，连结AB．)
大家观察图形不难发现我们所求图形实质是两个弓形的组合，即
倍？(安排中下生回答：因已知OA=OC=AC所以△OAC是等边三角
同学们讨论研究一下，S△AOB又该如何求呢？(安排中上等生回答：求S△AOB，需知AB的长和高的长，所以设OC与AB交点为D．∵∠AOC=60°，OA=R∴解Rt△AOD就能求出AB与高OD．)连结OC交AB于D怎么就知OD⊥AB？(安排中等生回答：根据垂径定理∵C是AB中点．)
同学们互相研究看，此题还有什么方法？
下面给出另外两种方法，供参考：
幻灯展示题目：正方形的边长为a，以各边为直径，在正方形内画半圆，求所围成的图形(阴影部分)的面积．
请同学们仔细观察图形，思考如何分解这个组合图形．同学间互相讨论、研究、交流看法：
现将学生可能提出的几种方案列出，供参考：
方案1．S阴=S正方形-4S空白．观察图形不难看出SⅡ+SⅣ=S正方形-
方案2．观察图形，由于正方形ABCD∴∠AOB=90°，由正方形的轴对称性可知阴影部分被分成八部分．观察发现半圆AOB的面积-△
即可．即S阴=4S瓣而S瓣=S半⊙-S△AOB∴S阴=4．(S半⊙-S△AOB)=2S⊙-4S△AOB=2S⊙-S正方形．
方案4．观察扇形EAO，一瓣等于2个弓形，一个S弓形=S扇OA-
方案5．观察Rt△ABC部分．用半圆BOC与半圆AOB去盖Rt△ABC，发现这两个半圆的和比Rt△ABC大，大出一个花瓣和两个弓形，而这两个弓形的和就又是一个瓣．因此有2个S瓣=2个S半圆-SRt△ABC=
方案6．用四个半圆盖正方形，发现其和比正方形大，大的部分恰是S即：
在学生们充分讨论交流之后，要求学生仔细回味展示出来的不同解法．尤其要琢磨这些解法是怎样观察、思考的．
幻灯展示练习题：1．如图7-176，已知正△ABC的半径为R，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；
2．如图7-177，已知正方形ABCD的半径R，则它的外接圆周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆面积是____；它的内切圆面积
3．如图7-178，已知正六边形ABCDEF的半径R，则它的外接圆的周长是____；内切圆周长是____；它的外接圆
将上面三片复合到一起．如图7-179，让学生观察，随着正多边形边数的增加，周长和面积有什么变化？(安排中等学生回答：随着正多边形边数的增加，周长越来越接近圆的周长，面积越来越接近圆的面积．)正因为如此，所以古代人用增加正多边形边数的方法研究圆周率π，研究圆的周长与圆的面积的计算．
大家再观察，随着正多边形边数的增加，边长越来越接近于弧，再看正多边形的边心距越来越接近于圆的半径，所以以边长为底，边心距
三、课堂小结：
安排学生归纳所学知识内容：1．简单组合图形的分解；2．复习了正多边形的计算以及以此为例，复习了圆周长、弧长、圆面积、扇形面积、弓形面积的计算．进一步理解了正多边形和圆的关系定理．
四、布置作业
教材P185．练习1、2、3；P．187中8、11．初三几何教案
第七章：圆
第40课时：圆、扇形、弓形的面积(一)
教学目标：
1、复习圆面积公式，并在它的基础上推导扇形面积公式．
2、应用圆面积公式和扇形面积公式进行一些有关计算．
3、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力；
4、通过一些有关圆面积和扇形面积的计算培养学生正确、迅速的运算能力．
5、通过扇形面积公式的灵活运用，培养学生发散思维能力．
教学重点：
扇形面积公式的导出及应用．
教学难点：
对有关练习题的分析．
教学过程：
一、新课引入：
前面我们在推导弧长公式时是将360°的圆心角分成360等份，这些角的边将圆周分成360等分，每一等份，我们称其为1°的弧．在此基础上，我们推导了弧长公式．大家想想看，将360°的圆心角分成360等份后，这些角的边不仅将周长分成360等份，面积不也同时分成360等份了吗？圆被这些角的边分割后所成的图形就是我们今天所要学习的扇形．
二、新课讲解：
由于在推导弧长公式中，若将360°的圆心角360等分，就得到了360等份的弧．在这个过程中不难发现圆周被分割成360等份的同时，面积也被分割成360等份，于是就要研究这每一份的面积，从而推导了扇
由于扇形应用很广泛，它同其它规则图形一样是一些不规则图形的组成部分，尤其是跟圆弧有关的不规则图形中，在分解这些图形过程中扇形起着举足轻重的作用，而且它还是后面要学习的圆锥的基础，所以扇形面积公式的推导与计算是我们这堂课的重点．
如图7-161，圆心角的两边将圆分割成两部份，分割后所成的图形，我们称之为扇形．
哪位同学能给扇形下一个定义？(安排上等生回答：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形．)
将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成360个
哪位同学记得圆的面积公式？(安排中下生回答：S=πR2)
哪位同学知道，圆心角1°的扇形其面积应等于什么？(安排中下
如果一个扇形的圆心角为n°，则它的面积又应该是多少？(安排
公式中的“n”与弧长公式中的“n”意义完全相同，它表示1°的倍数，n的值与n°的值相同．
幻灯提供练习题：
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则这个扇形的面积，S扇=____．
R=____．
=____．
S扇=____．
长=____．
幻灯显示练习题：已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，则S扇=____．
幻灯显示练习题：已知一扇形的面积240πcm2，它的圆心角度数是150°，则这扇形的弧长是____；
哪位同学分析一下这题的解题思路？(安排中上生回答：通过公式
案：20πcm)
幻灯显示练习题：已知一扇形的面积240πcm2，它的弧长是20πcm，则这扇形的圆心角是____．
哪位同学分析一下这题的解题思路：(安排中下生回答：通过公式
幻灯显示练习题：一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等，求这个扇形的圆心角．
哪位同学分析一下这题的解题思路？(安排中上生回答：设扇形半
请同学们完成此题．(答案：n°=90°)
例1 如图7-162，已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
哪位同学知道圆环的面积怎么求？(安排中下生回答：外接圆的面积—内切圆的面积)，如果设外接圆的半径为R，内切圆的半径为r3，
哪位同学发现R、r3与已知边长a有什么联系？
幻灯显示练习题：
1．已知正方形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
2．已知正五边形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
(安排学生在练习本上完成)
通过前面3题的练习，你有什么发现？(安排中上学生回答：如果正
三、课堂小结：
四、布置作业：教材P．181．练习1、2、3、4；P．187中10．初三几何教案
第七章：圆
第11课时：圆周角（三）
教学目标：
1、通过本节课的教学使学生能够系统地、掌握圆周角这大节的知识点．并能运用它准确地判断真假命题．
2、熟练地掌握圆周角定理及三个推论，并能运用它们准确地证明和计算．
3、结合本节课的教学培养学生准确地计算问题的能力；
4、进一步培养学生观察、分析、归纳及逻辑思维能力．
教学重点：
圆周角定理及推论的应用．
教学难点：
理解圆周角定理及推论及辅助线的添加．
教学过程：
一、新课引入：
本节课是圆周角的第三课时，是引导学生在掌握圆周角定义、圆周角定理及三个推论的基础上，进行的一节综合习题课．
二、新课讲解：
由于是一节综合习题课，教学一开始由学生总结本大节知识点，教师板书知识网络图，给学生一个完整的知识结构，便于学生进一步理解和掌握．
提问：
（1）什么叫圆周角？圆周角有哪些性质？
教师提出问题，学生回答问题，教师板书出知识网络图：
（2）出示一组练习题（幻灯上）．
通过这组选择题巩固本节课所要用到的知识点，通过师生评价，使知识掌握更准确．
1、选择题：
①、下列命题，是真命题的是 [ ]
A．相等的圆周角所对的弧相等
B．圆周角的度数等于圆心角度数的一半
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．长度相等的弧所对的圆周角相等
②下列命题中，假命题的个数 [ ]
（1）、顶点在圆上的角是圆周角
（2）、等弧所对的圆周角相等
（3）、同弦所对的圆周角相等
（4）、平分弦的直径垂直于弦
A．1． B．2． C．3． D．4．
为了遵循素质教育的学生主体性、层次性的原则，题目的设计和选择要根据学生的实际情况，做到因材施教．教师在提问学生回答问题中分三个层次进行，使得不同层次的学生有所得．
这组选择题是比较容易出错的概念问题，教师为了真正使学生理解和准确地应用，教师有意利用电脑画面演示，从生动而直观再现命题的正、反例子，把知识学习寓于趣味教学之中，大大激发学生的兴趣，从而加深对知识的深化．
接下来和学生一起来分析例3．
例3 如图7-43，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD和BD的长．
分析，所要求的三线段BC，AD和BD的长，能否把这三条线段转化为是直角三角形的直角边问题，由于已知AB为⊙O的直径，可以得到△ABC和△ADB都是直角三角形，又因为CD平分∠ACB，所以可得 = ，可以得到弦AD=DB，这时由勾股定理可得到三条线段BC、AD、DB的长．
学生回答解题过程，教师板书：
解：∵AB为直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴ = ．
在等腰直角三角形ADB中，
接下来练习：
练习1：教材P．96中1题．
如图7-44，AB为⊙O的直径，弦AC=3cm，BC=4cm，CD⊥AB，垂足为D．求AD、BD和CD的长．
分析第一种方法时，主要由学生自己完成．
分析1：要求AD、BD、CD的长，
①AB的长，由于AB为⊙O的直径，所以可得到△ABC是直角三角形，即可用勾股定理求出．
②求CD的长，因CD是Rt△ABC斜边AB上的高，所以可以根据三角形面积公式，得到CD×AB=AC·CB来解决．
④求DB的长，用线段之间关系即可求出．
方法二由教师分析解题过程：
分析2：
①求AB的长．（勾股定理）
（cm）．
③求BD的长，可用相似三角形也可以用线段之间关系解决．
这道练习题的目的，教师引导学生对一些问题思维要开朗，不能只局限于一种，要善于引导学生发散性思维，一题多解．
练习2：教材P．96中2题．
已知：CD是△ABC的中线，AB=2CD，∠B=60°．求证：△ABC外接圆的半径等于CB．
学生分析证明思路，教师适当点拨．
证明过程由学生写在黑板上：
证明：（法一）
△ABC外接圆的半径等于CB．
法二：略．
三、课堂小结：
师生共同从知识、技能、方法等方面进行小结．
1、知识方面：
2、技能方面：
根据题意要会画图形，构造出直径上的圆周角，同弧所对的圆周角等．
3、方法方面：
①数形结合．
②一题多解．
四、布置作业
教材P．101中14题；P．102中3、4题．初中几何教案
第七章：圆
第24课时：和圆有关的比例线段(二)
教学目标：
1、使学生理解切割线定理及其推论；
2、使学生初步学会运用切割线定理及其推论．
3、通过对切割线定理及推论的证明，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力；
4、通过对切割线定理及其推论的初步运用，培养学生的分析问题能力．在上节我们曾经学到相交弦定理及其推论，它反映了圆中两弦的数量关系；我们可以用同样的方法来研究圆的一条切线和一条割线的数量关系．
教学重点：
使学生理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．
教学难点：
学生不能准确叙述切割线定理及其推论，针对具体图形学生很容易得到数量关系，但把它用语言表达，学生感到困难．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学过相交弦定理及其推论，现在我们用同样的数学思想方法来研究圆的另外的比例线段．
二、新课讲解：
现在请同学们在练习本上画⊙O，在⊙O外一点P引⊙O的切线PT，切点为T，割线PBA，以点P、B、A、T为顶点作三角形，可以作几个三角形呢？它们中是否存在着相似三角形？如果存在，你得到了怎样的比例线段？可转化成怎样的积式？现在请同学们打开练习本，按要求作⊙O的切线PT和割线PBA，后研究讨论一下．
学生动手画图，完成证明，教师巡视，当所有学生都得到数量关系式时，教师打开计算机或幻灯机用动画演示．
最终教师指导学生把数量关系转成语言叙述，完成切割线定理及其推论．
1．切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
关系式：PT2=PA·PB
2．切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线．这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
数量关系式：PA·PB=PC·PB．
切割线定理及其推论也是圆中的比例线段，在今后的学习中有着重要的意义，务必使学生清楚，真正弄懂切割线定理的数量关系后，再把握定理叙述中的“从”、“引”、“切线长”、“两条线段长”等关键字样，定理叙述并不困难．
练习一，P．128中1、选择题：如图7-86，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是 [ ]
A．PC·CA=PB·BD
B．CE·AE=BE·ED
C．CE·CD=BE·BA
D．PB·PD=PC·PA
答案：(D)，直接运用和圆有关的比例线段进行选择．
练习二，P．128中2、如图7-87，已知：Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm、4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求BD的长．
此题已知Rt△ABC中的边AC、BC，则AB可知．容易证出BC切⊙O于C，于是产生切割线定理，BD可求．
练习三，P．128中3．如图7-88，线段AB和⊙O交于C、D，AC=BD，AE、BF分别切⊙O于E、F．
求证：AE=BF．
本题可直接运用切割线定理．
例3 P．127，如图7-89，已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=8cm，PO=10.9cm．
求⊙O的半径．
此题要通过计算得到⊙O的半径，必须使半径进入一个数量关系式，观察图形，可知只要延长PO与圆交于另一点，则可产生切割线定理的推论，而其中一条割线恰好经过圆心，在线段中自然可以参与进半径，从而由等式中求出半径．必须使学生清楚这种数学思想方法，结合图形，正确使用和圆有关的比例线段，则关系式中必有两条线段是半径的代数式构成，只要解关于半径的一元二次方程即可．
解：设⊙O的半径为r，PO和它的长延长线交⊙O于C、D．
(10.9-r)(10.9+r)=6×14
r=5.9(取正数解)
答：⊙O的半径为5.9．
三、课堂小结：
为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材P．127—P．128．总结出本课主要内容：
1．切割线定理及其推论：它是圆的重要比例线段，它反映的是圆的切线和割线所产生的数量关系．需要指出的是，只有从圆外一点，才可能产生切割线定理或推论．切割线定理是指一条切线和一条割线；推论是指两条割线，只有使学生弄清前提，才能正确运用定理．
2．通过对例3的分析，我们应该掌握这类问题的思想方法，掌握规律、运用规律．
四、布置作业：
1．教材 P．132中10；2．P．132中11．初三几何教案
第七章：圆
第33课时：正多边形和圆(二)
教学目标：
1、使学生了解在任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆；正多边形都是轴对称图形，有偶数条边的正多边形又是中心对称图形；边数相同的正多边形都相似．
2、使学生理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．
3、通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力；
4、通过正多边形有关概念的教学，培养学生的阅读理解能力．
教学重点：
正多边形的性质；正多边形的有关概念．
教学难点：
对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解．
教学过程：
一、新课引入：
上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．那么给定正多边形能否得到圆呢？为解决此问题本堂课继续研究正多边形和圆．
正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的性质．例如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合．正多边形也是轴对称图形，正n边形就有n条对称轴，当n为偶数时，它又是中心对称图形，而且绕中
的联系．根据“任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆”这个定理和圆的有关概念，得到了“正n边形的半径和边心矩把正n边形分成2n个全等的直角三角形”这个定理，从而使正多边形的有关计算转变为解直角三角形问题．
二、新课讲解：
复习提问：1．作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？[安排记起来的学生回答]．2．作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？[请回忆起来的学生回答]．
请两名中上学生到黑板前一人画不等边三角形的外接圆与内切圆，另一人画正三角形的外接圆与内切圆，其余学生在练习本上画上述两种三角形的外接圆与内切圆．
教师引导：通过作图不难发现，不等边三角形都既有一个外接圆，又都有一个内切圆．大家观察黑板上两种三角形的外接圆与内切圆，结合你画的图，你发现正三角形的外接圆与内切有什么特殊之处？(学生思考、回答：正三角形的外接圆与内切圆是同心圆．)
教师引导：正方形是不是既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心呢？[学生讨论]在学生讨论的基础上，教师依次提问如下问题：
1．正方形外接圆的圆心在哪？(安排中上生回答：正方形对角线的交点．)
2．根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？(安排中上生回答)
3．正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？(安排中上生回答)．
引导：通过大家画图实践与理论探讨发现正方形既有一个外接圆又有一个内切圆并且两圆同心．大家再看看矩形、菱形是否具有这条性质？(学生在练习本上画、前后左右讨论得出矩形只有外接圆，菱形只有内切圆结论)
引导：我们发现正三角形既有外接圆又有内切圆且两圆同心，发现正方形也是如此，我们猜想正多形是否都具备这个性质呢？
挂出预先画好一个正五边形ABCDE的小黑板．
讲解：如果正五边形ABCDE有外接圆，则A、B、C、D、E五点应都在同一个圆上，且它们到圆心的距离相等．大家知道不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨过正五边形ABCDE的顶点A、B、C作⊙O，连结OA、OB、OC、OD、OE．OA=OB=OC；证OD=OA、OE=OA即可．
板书：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD．
分析、启发、提问：1．证点D在⊙O上就是证OD=OA，你打算证哪两个三角形全等？(安排中下生回答)．2．要证△AOB≌△COD已具备了哪些全等条件？(安排中下生回答)．3．要证△AOB≌COD还缺少什么条件？(安排中下生回答)．4．谁能证∠3=∠4？(安排中上生完成)
板书：
△OAB≌△ODC
ABCDE有一个外接圆⊙O．
讲授：照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形不都应当有一个外接⊙O吗？
分析、启发、提问：既然正五边形有一个外接⊙O，那么正五边形的五条边也就应是⊙O的五条等弦．根据弦等、弦心距相等，可知点O到五边的距离相等．那么正五边形有无内切圆呢？圆心是谁？半径是谁？(按中等生回答)．同样，正n边形也应有一个内切⊙O，且两圆同心．哪位同学能叙述一下正多边形的这个性质定理？(安排中上生回答)
板书：定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
引导，正n边形既有一个外接圆又有一个内切圆，而且两圆同心就给正多边形带来了一系列的有关概念，请阅读教材P.158下数第2自然段．学生看书，教师板书：1．正多边形中心；2．正多边形半径；3．正多边形的边心距；4．正多边形的中心角．
幻灯显示练习题，教师提问：
1．O是正△ABC的中心，它是正△ABC的______圆与______圆的圆心；
2．OB叫正△ABC的______它是正△ABC的______圆的半径；
3．OD叫作正△ABC的______，它是正△ABC的______圆的半径．
4．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
5．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
6．⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE的______，它是正五边形ABCDE的圆的半径．
7．∠AOB叫做正五边形ABCDE的______角，它的度数是______．
8．图中正六边形ABCDEF的中心角是______，它的度数是______．
9．你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量关系？为什么？
10．正三角形的一个外角度数是______；正方形的一个外角度数是______；正五边形的一个外角度数是______；正六边形的一个外角度数是______；正n边形的一个外角度数是______．
11．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
教师引导：下面我们研究正多边形都具有哪些性质？
教师提问：根据正多边形的定义，你想到它应具有什么性质？(安排中下生回答)
板书：正多边形性质：1．各边都相等；2．各角都相等．
教师提问：1．什么叫轴对称图形？(安排记起来的学生回答)．2．正三角形是不是轴对称图形？(让中下生答)．3．它有几条对称轴？(中等生回答)．4．正方形是不是轴对称图形？(中下生回答)．5．它有几条对称轴？(中等生回答)
幻灯演示：观察图中正五边形、正六边形是不是轴对称图形？如果是，它们又各应有几条对称轴？(学生思考、讨论)
引导：以此类推，对正n边形又该有什么结论？(让中下生回答)
板书：性质3．正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
教师提问：1．什么叫中心对称图形？(让记起来的学生回答)．2．正三角形是不是中心对称图形？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？3．什么样的正多边形是中心对称图形？(安排中等学生回答)．
板书：续性质3 边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
教师提问：1．所有的等边三角形都相似吗？为什么？(安排中上生回答)．2．所有的正方形都相似吗？为什么？(安排中等生回答)．3．所有的边数相同的正多边形都相似吗？为什么？(由中下生回答)．
板书：性质4．边数相同的正多边形相似．
(教师讲解)：大家都记得相似多边形的周长比等于相似比．面积的比等于相似比平方，不难证明，相似正多边形的边心距、半径的比都等于相似比．
板书：续性质4，它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
性质5：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．
三、课堂小结：
本堂课主要学习了正多边形的两部分有关内容：1．概念；2．性质．
教师提问：1．你学习了正多边形的哪些有关概念？2．正多边形有哪些性质？
四、布置作业
教材P.172中4；P.159中练习1、2、3．初三几何教案
第七章：圆
第30课时：两圆的公切线(二)
教学目标：
1、使学生学会两圆内公切线长的求法．2．使学生会求出公切线与连心线的夹角或公切线的夹角．
2、使学生在学会求两圆内公切线长的过程中，探索规律，培养学生的总结、归纳能力．
3、培养学生会根据图形分析问题，培养学生的数形结合能力．
教学重点：
使学生进一步掌握两圆公切线等有关概念，会求两圆内公切线长及切线夹角．
教学难点：
两圆内公切线和内公切线长容易搞混．
教学过程：
一、新课引入：
上一节我们学会了求两圆的外公切线长，这一节我们将学习两圆内公切线长的求法及两圆公切线夹角的求法．
实际上，我们首先要清楚，什么样的两圆的位置关系存在两圆内公切线？有几条？什么样的两圆位置关系有内公切线长？请同学们打开练习本，动手画一画，结合图形，考虑上面的问题．
学生动手画图，教师巡视，当所有学生都画完图后，教师打开计算机或幻灯作演示，演示过程由学生回答上述三个问题，并认定只有两圆外离时，存在内公切线长．
二、新课讲解：
有了上一节求两圆外公切线长的基础，学生不难想到求两圆的内公切线长也要在一个直角三角形中完成，只要稍加提示，学生便会作出直角三角形，同时教师要提醒学生注意两种公切线长的求法中，三角形的边有所不同．
例2 如图7-106，P．142已知⊙O1、⊙O2的半径分别为4cm和2cm，圆心距为10cm，AB是⊙O1、⊙O2的内公切线，切点分别为A、B．
求：公切线的长AB．
分析：仿照上节的辅助线方法作辅助线，我们会发现，不论从O1或O2向另一条半径作垂线，垂足都落在半径的延长线上，因此O2C是两圆半径之和．
例题解法参照教材P．142例2．
结论：由于圆是轴对称图形，1．两圆的两条外公切线长相等，两条内公切线长相等．2．如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在连心线上．
练习一，如图7-107，已知⊙O1、⊙O2的半径分别为1.5cm和2.5cm，O1O2=6cm．
求内公切线的长．
此题分析类同于例题．
解：连结O2A、O1B，过点O2作O2C⊥O1B交O1B的延长线于C．
在Rt△O2CO1中：
∵O1O2=6，O1C=O1B+BC=4，
结论：在由公切线长、圆心距、两圆半径的和或差构成的Rt△中，已知任意两量，都可以求出第三量来，同时，我们也可以求出所需角来．
例3 P．143要做一个如图7-108．那样的V形架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为20mm和80mm，求V形角α的度数．
分析：首先指导学生将实际问题转化为两圆外公切线问题，V形角α实际上就是求两圆公切线的夹角．由矩形、外公切线的基本图形知，矩形ABO2C的边O2C∥AB，则Rt△O1CO2中的锐角∠CO2O1=∠
解：设两圆管的圆心分别为O1、O2，它们与V形架切于点A、B，AB与O1O2交于点P，连结O1A，O2B，过点O2作O2C⊥O1A，垂足为C．
∴∠CO2O1=25°23′．
∴∠α=50°46′
练习二，P．145中1．如图7-109，⊙A、⊙B外切于点C，它们的半径分别为5cm，2cm，直线l与⊙A、⊙B都相切．求直线AB与l所成的角．
分析：这是两圆外公切线与两圆连心线夹角问题，属于两圆外公切线的基本图形，只要在Rt△ADB中求出∠ABD的度数即可．
解：设l与⊙A、⊙B分别切于点M、N，连结AM、BN，过点B作BD⊥AM，垂足为D．
∴∠ABD=25°23′．
∴∠1=25°23′．
答：直线AB与l所成的角为25°23′．
三、课堂小结：
为培养学生阅读教材的习惯，让学生看教材P．142—P．145，从中总结出本课主要内容：
1．求两圆的内公切线，仍然归结为解直角三角形问题，注意基本图形中的直角三角形，圆心距仍然为斜边，内公切线长、两半径之和作直角边，三个量中已知任何两个量，都可以求出第三个量来．
2．如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上．
3．求两圆两外(或内)公切线的夹角．要根据基本图形，归结为求Rt△中的锐角．从而根据平行线的同位角相等，进而求出两公切线的夹角．
四、布置作业
教材P．153中12、13、14．初三几何教案
第七章：圆
第39 课时：圆周长、弧长(二)
教学目标：
1、应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题．
2、通过应用题的教学，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，培养用数学的意识；
3、通过应用题的教学培养学生综合运用知识、分析问题、解决问题的能力．
教学重点：
运用圆周长、弧长公式，综合其它方面的知识解有关的应用题．
教学难点：
从实际问题中抽象出数学模型，综合运用其它知识解决问题．
教学过程：
一、新课引入：
上节课我们复习了圆的周长公式，学习了弧长公式，我们说圆的周长公式与弧长公式应用很广泛，并且跟其它知识联系很密切，今天我们继续学习“7．19圆周长、弧长”继续研究它的应用．
由于圆的周长和弧长公式有广泛的应用性，所以在解决实际应用问题中不仅复习了这两个公式而且学会了从中抽象数学模型的方法．由于这两个公式跟其它知识有密切的联系，所以在解决实际问题中又复习了一系列的相关知识，而且又培养了学生综合分析问题解决问题的能力．
二、新课讲解：
(复习提问)1．哪位同学回答圆的周长公式？(安排中下生回答：C=2πR)，2．如果⊙O的周长为C，它的半径R，设这个圆的半径增加a，那么它的周长增加多少？(在学生思考、计算后，安排中等生回答：2π
周长是多少？(在学生思考，计算后，安排中下生回答：内切圆周长2π，外接圆周长4π)．
(幻灯供题)：火车机车上的主动轮直径为1.2米，主动轮每分转400转，火车每小时行几公里(精确到1公里)？
哪位同学知道机车轮子转一圈，在轨道上走多远距离？(安排中上学生回答：1.2π米)你计算的依据是什么？(轮子转一圈，在轨道上的距离就是圆的一个周长．)
请同学们计算出这题的结果(约90公里)．
弧长公式中的n与中心角度数n°有什么联系和区别？(安排中上生回答：公式中的n表示1°弧长的n倍，它在数值上恰等于中心角的度数的数值．)
如果已知条件中中心角的度数不仅有度还有分，还有秒，要计算此角所对弧长应首先做什么工作，(安排中等生回答：将度、分、秒转化为度，从而得到公式中所需的n)
同学们请计算这样一道题：在半径10cm的⊙O中，圆心角为32°
幻灯供题：如图7-158，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=40m，拱形的半径R=29m，求拱形的高和拱形的弧长(保留4个有效数字．)
哪位同学知道，“有一圆弧形桥拱”这句话给我们解题提供什么信息？(找中上生回答，桥拱的弧是一个圆的一部分．)
“拱上跨度AB=40m”又为我们提供什么信息？(安排中上生回答：AB是桥拱弧所在圆的弦，其长40m)．
“拱形的半径R=29m”又为我们提供什么信息？(安排中下生回答：桥拱弧所在圆的半径29m)
哪位同学能画出解决此实际问题的几何图形？(安排一名上等生上黑板画，其余学生在练习本上画)
在这个图形中，拱形的高是哪条线段．为什么是它？(安排中上生回答：CD，概括弓形高的定义．)看到这个图，你想到了什么定理？(安排中等生回答：垂经定理．)哪位同学能叙述一下垂径定理？(安排中等生回答)请同学们研究一下拱高怎么求？(安排中下生回答：先用勾股定理求出OD，然后用半径减OD即可)．
要求拱形弧长，半径已知，还缺少什么条件？(安排中下生回答，少弧所对中心角的度数)
中心角∠AOB的度数你打算通过什么方法求出来？(中图7-159上生回答：作直角三角形AOD)．
请同学们完成这题，(安排上等生上黑板)
答：拱形的高8m，拱形弧的长约44.14m．
幻灯供题：如图7-160，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别为0.65m和0.24m．(1)求皮带长(保留三个有效数字)；(2)如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转．
“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？(安排中等生回答：两个圆的圆心距为2.1m)
题目中皮带长，在图形中指的是哪几部分的和？(安排中等生回答： +DC+ +AB)
AB、CD与⊙O1、⊙O2具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？(安排中下生回答：AB与CD是⊙O1与⊙O2的公切线，AB=CD，根据的是两圆外公切线长相等．)
前面单元大家已学过了公切线长的求法，哪位同学还记得计算两圆外公切线长的途经？(安排中上学生回答：构造由圆心距、半径差和切线长的平移线段组成的直角三角形，解这个三角形即可)
请同学们把切线长AB求出来，(安排一名中上生到黑板做)
解：(1)作过切点的半径O1A、O1D、O2B、O2C，作O2E⊥O1A，垂足为E
要求 的长度，已具备了什么条件，还缺少什么条件？(安排中下生：已具备了半径0.325，缺少 所对圆心角的度数)，观察图形，你打算通过什么途径求出 所对圆心角α1？(安排中上生：α1=360°-2α，而α可通过解Rt△O1EO2解决)．
请同学们求出 的长度．(安排一名中上生到黑板前完成此题)
同样要求 的长度，半经0.12，∠BO2C怎么求？请同学们观察图形，哪位同学谈谈看法：(安排上等生回答：∠BO2C=2∠α=168.8°，因O1A∥O2B，O1D∥O2C所以∠BO2C=2∠α)
请同学们求出 的长度，(安排一名中上生到黑板完成)
∴皮带长l=l1+l2+2AB=5.62(m)．
现在我们解决第(2)个问号，大轮与小轮的半径不同，转数不同，由于皮带传动的作用，大轮与小轮具备一个什么等量关系？(安排中上学生回答：小轮与大轮每分钟所走的路程相等)
如果设大轮每分钟转数为n，哪位同学能列出方程？(安排中等生回答，0.65·π·n=0.24·π×750)
请同学们计算出n来．(安排一中下生报答案：n≈277(转))
三、课堂小结：
本节课复习了圆的周长和弧长公式，并在做题中综合复习了正多边形、垂经定理、两圆公切线等有关知识，学习了从实际问题中抽象出数学模型的方法．
四、布置作业
教材P．178．练习1、2、3；教材P．187中6、7初三几何教案
第七章：圆
第42课时：圆柱和圆锥的侧面展开图(一)
教学目标
1、使学生了解圆柱的特征，了解圆柱的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆柱的侧面展开图是矩形．
2、使学生会计算圆柱的侧面积或全面积．
3、通过圆柱形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力；
4、通过圆柱侧面积的计算，培养学生正确、迅速的运算能力；
5、通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力．
教学重点：
(1)圆柱的形成手段和圆柱的轴、母线、高等概念及其特征；
(2)会用展开图的面积公式计算圆柱的侧面积和全面积．
教学难点：
对侧面积计算的理解．
教学过程：
一、新课引入：
在小学，大家已学过圆柱，在生活中我们也常常遇到圆柱形的物体，涉及到圆柱形物体的侧面积和全面积的计算问题如何计算呢？这就是今天“7．21圆柱的侧面展开图”要研究的内容．
圆柱是生产、生活实际中常遇到的几何体，它是怎样形成的，如何计算它的表面积？为了回答上述问题，首先在小学已具有直观感知的基础上，用矩形旋转、运动的观点给出圆柱体有关的一系列概念，然后利用圆柱的模型将它的侧面展开，使学生认识到圆柱的侧面展开图是一个矩形，并能将这矩形的长与宽跟圆柱的高(或母线)、底面圆半径找到相互转化的对应关系．最后应用对应关系和面积公式进行计算．
二、新课讲解：
(幻灯展示生活中常遇的圆柱形物体，如：油桶、铅笔、圆形柱子等)，前面展示的物体都是圆柱．在小学，大家已学过圆柱，哪位同学能说出圆柱有哪些特征？(安排举手的学生回答：圆柱的两个底面都是圆面，这两个圆相等，侧面是曲面．)
(教师演示模型并讲解)：大家观察矩形ABCD，绕直线AB旋转一周得到的图形是什么？(安排中下生回答：圆柱)．大家再观察，圆柱的上、下底是由矩形的哪些线段旋转而成的？(安排中下生回答：上底是以A为圆心，AD旋转而成的，下底是以B为圆心，BC旋转而成的．)上、下底面圆为什么相等？(安排中下生回答：因矩形对边相等，所以上、下底半径相等，所以上、下底面圆相等．)大家再观察，圆柱的侧面是矩形ANCD的哪条线段旋转而成的？(安排中下生回答：侧面由DC旋转而成的．)
矩形ABCD绕直线AB旋转一周，直线AB叫做圆柱的轴，CD叫做圆柱的母线．圆柱侧面上平行于轴的线段都叫做圆柱的母线．矩形的另一组对边AD、BC是上、下底面的半径．圆柱一个底面上任意一点到另一底面的垂线段叫做圆柱的高，哪位同学发现圆柱的母线与高有什么数量关系？(安排中下生回答：相等．)哪位同学发现圆柱上、下底面圆有什么位置关系？(安排中下生回答：平行)A、B是两底面的圆心，直线AB是轴．哪位同学能叙述圆柱的轴的这一条性质？(安排中等生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心)哪位同学能按轴、母线、底面的顺序归纳有关圆柱的性质？(安排中上学生回答：圆柱的轴通过上、下底面的圆心，且垂直于上、下底，圆柱的母线平行于轴且长都相等，等于圆柱的高，圆柱的底面圆平行且相等．)
(教师边演示模型，边启发提问)：现在我把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，观察这个侧面展开图是什么图形？(安排中下生回答，矩形)这个圆柱展开图——矩形的两边分别是圆柱中的什么线段？(安排中下生回答：一边是圆柱的母线，一边是圆柱底面圆的周长)．大家想想矩形面积公式是什么？哪位同学能归纳圆柱的面积公式？(安排中下生回答：S圆柱侧=底面圆周长×圆柱母线)大家知道圆柱的母线与高相等，所以圆柱的面积公式还可怎样表示？(安排中下生回答：S圆柱侧=底面周长×高)
幻灯展示例1 如图7-181，把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD．已知AD=18cm，AB=30cm，求这个圆柱形木块的表面积(精确到1cm2)．
矩形的AD边是圆柱底面圆的什么？(安排中下生回答：直径．)题目中的哪句话暗示了AD是直径？(安排中上生回答：第一句，“把一个圆柱形木块沿它的轴剖开，得矩形ABCD”．因圆柱轴过底面圆的圆心，矩形过轴则意味AD过底面圆圆心，所以AD是圆柱底面圆直径．)AB=30cm是告诉了圆柱的什么线段等于30cm？(安排中下生回答：圆柱的高等于30cm)什么是圆柱的表面积？哪位同学知道？(安排中上生回答：圆柱侧面积与两底面圆面积的和．)
同学们请完成这道应用题．(安排一中上生上黑板做题，其余在练习本做)
解：AD是圆柱底面的直径，AB是圆柱母线，设圆柱的表面积为S，则
=162π+540π≈2204(cm2)．
答：这个圆柱形木块的表面积约为2204cm2．
幻灯展示例2 用一张面积为900cm2的正方形硬纸片围成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的底面直径(精确到0.1cm)．
请同学们任拿一正方形纸片围围看．哪位同学发现正方形相邻两边，一边是圆柱的什么线段，另一边是圆柱底面圆的什么？(安排中下生回答：一边是母线，另一边是底面圆周长．)此题要求的是底面圆直径，所以只要求出正方形的什么即可？(安排中下生回答：边长．)边长可求吗：(安排中下生回答：可求，因为已知中给了正方形的面积．)
请同学们完成此题．(安排一中等生上黑板完成，其余在练习本完成)
解：设正方形边长为x，圆柱底面直径为d．
答：这个圆柱的底面的直径约为9.6cm．
三、课堂小结：
本节课学习了圆柱的形成、圆柱的概念、圆柱的性质、圆柱的侧面展开图及其面积计算．
然后按总结顺序；依次提问学生，此过程应重点提问中下生．
四、布置作业
教材P．194练习1、2；P．199中2、3、4．初中几何教案
第七章：圆
第24课时：和圆有关的比例线段(三)
教学目标：
1、使学生能在证题或计算中熟练应用和圆有关的比线段．
2、培养学生对知识的综合运用．
3、训练学生注意新旧知识的结合，不断提高综合运用知识的能力；
4、学会分析一些基本图形的结构及其所具有的关系式；
5、善于总结一些常见类型的题目的解法和常用的添加辅助线的方法．
教学重点：
指导学生分析好题目，找出正确的解题思路．
教学难点：
将和圆有关的比例线段结合原有知识的过程中，学生的分析不到位，很容易对题目产生无从入手的感觉．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习了和圆有关的比例线段，现在我们将综合这一部分知识，结合原有知识解决一些几何问题．
在证明线段相等、角相等、线段成比例等问题中，相交弦定理和切割线定理同切线长定理、弦切角定理一样重要．这两个定理并不难掌握，由于习题的综合性，故对于一些知识点较多、运用知识较灵活的习题中，大家证起来往往感到困难，因此除了复习好原有知识外，更重要的是搞好题目分析，这是证题关键．就本课P．129例4，指导学生搞好题目分析，并完成证明．
二、新课讲解：
P．129例4如图7-90，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E．AB=12，AO=15，AD=8．
求：两圆的半径．
分析：题目要求的圆半径显然应该连结过切点的半径OB、OC．由切线的性质知∠ABO=∠ACO=Rt∠，因此OB，OC分别是Rt△的一边，利用勾股定理计算是最直接了当的了．(1)在Rt△ABO中，已知AB、AO，故BO可求．(2)OC在Rt△ACO中，仅知道AO的长，必须得求出AC，才可以求OC．
AC是大⊙O的割线ADE的一部分．AC=AD=DC，AD已知，只
所以应该先求AE．在大⊙O中，由切割线定理：AB2=AD·AE，AE可求，则DC可求，AC可求，从而OC可求．
解：连结OB、OC．
练习一，P．130中1、如图7-91，P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B、C，且PB=BC．如图OA=7，PA=2，求PC的长．
此题中OP经过圆心O，属于切割线定理的一种基本图形．辅助线是延长PO交⊙O于D，由于半径OA已知，所以PD已知，而已知PB=BC，则由切割线定理的推论，可先求出PB，PC亦可求．
解：延长PO交⊙O于D．
PBC、PAD都是⊙O的割线
PB·2PB=2×16
PC=8
练习二，P．130中2．已知：如图7-92，⊙O和⊙O′都经过A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q、M，交AB的延长线于N．求证：PN2=NM·NQ．
观察图形，要证的数量关系中，线段属于不同的两圆，NP是⊙O的切线，NMQ是⊙O′的割线，能够把这两条线联系在一起的是两圆的公共割线NBA．具备了在两圆中运用切割线定理及其推论的条件．
练习三，如图7-93，四边形ABCD内接于⊙O，AB长7cm，CD=10cm，AD∶BC=1∶2，延长BA、CD相交于E，从E引圆的切线EF．求EF的长．
此题中EF是⊙O的切线，由切割线定理：EF2=ED·EC=EA·EB，故要求EF的长，须知ED或EA的长，而四边形ABCD内接于⊙O，可
EB长为2x，应用割线定理，可求得x，于是EF可求．
证明：四边形ABCD内接于⊙O
△EAD∽△ECB
EB=2x
x(x+10)=(2x-7)·2x
x=8
EF2=8×(8+10)
EF=12
答：EF长为12cm．
三、课堂小结：
让学生阅读P．129例4，并就本节内容总结出以下几点：
1．要经常复习学过的知识，把新旧知识结合起来，不断提高综合运用知识的能力．
2．学习例题时，不要就题论题，而是注重研究思路、体会和掌握方法，学会分析问题和解决问题的一般方法．
3．学会分析一些基本图形的结构及所具有的基本关系式．
4．总结规律：本课练习3以方程的思想方法为指导，利用代数方法，即通过方程或方程组的求解解决所求问题，设未知数时，可直接或间接设，本题属于间接设．列方程或方程组时，寻求已知量与未知量之间的关系．而几何定理是列方程的根据．本题方程是根据割线定理列出．
四、布置作业：
1．教材P133中12、13． 2． P．133至P．134中1、2、3、4、5．初三几何教案
第七章：圆
第31课时：两圆的公切线(三)
教学目标：
1、使学生理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用；2．掌握辅助线规律，并能熟练应用．
2、通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
使学生学会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能熟练应用于几何题证明中．
教学难点：
在证明中学生引出辅助线后，新旧知识结合得不好，难以打开证题思路．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习了圆的切线在几何证明中的重要作用，这节课，我们来学习两圆公切线在证明中的作用．
实际上两圆的公切线，对两圆起着一个桥梁的作用，首先，对于每一个圆，公切线都会产生切线的性质．另外公切线和过切点的两圆的弦，会产生弦切角定理运用的前提，从而把两个圆中的圆周角建立相等关系，我们有下面的例子．
二、新课讲解：
例4 教材P.144如图7-110，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B、C为切点．
求证：AB⊥AC．
分析：题目中已知⊙O1和⊙2外切于点A．这是一个非常特殊的点，过点A我们引两圆的内公切线，产生了三种可能：①运用弦切角定理．②切线的性质定理．③切线长定理．在一道关于两圆相切的问题中，作出公切线后，还要针对已知条件，选择之，本例中已知两圆的外公切线BC，所以过点A的内公切线与之相交，必然产生切线长定理运用的前提，使问题得证．
证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点O．
练习一，P.145中2如图7-111，⊙O1和⊙O2相切于点T，直线AB、CD经过点T，交⊙O1于点A、C，交⊙O2于点B、D，求证：AC∥BD．
分析：欲证AC∥BD，须证∠A=∠B，图(1)中∠A和∠B是内错角，图(2)中∠A和∠B是同位角．而∠A和∠B从图形中的位置看是两个圆中的圆周角，必须存在第三个角，使∠A和∠B都与之相等，从而∠A和∠B相等．
证明：过点T作两圆的内公切线TE．
练习二，P.153中14 已知：⊙O和⊙O′外切于点A，经过点A作直线BC和DE，BC交⊙O于点B，交⊙O′于点C，DE交⊙O于点D，交⊙O′于E，∠BAD=40°，∠ABD=70°，求∠AEC的度数．
分析：已知⊙O中的圆周角求⊙O′中的圆周角，而两圆外切，作内公切线即可．
解：过点A作⊙O和⊙O′的内公切线AF．
练习三，P.153中15．经过相内切的两圆的切点A作大圆的弦AD、AE，设AD、AE分别和小圆相交于B、C．
求证：P.153中AB∶AC=AD∶AE．
分析：证比例线段，一是三角形相似，二是平行线．由题设两圆相切，可作出切线，证平行线所成比例线段．
证明：连结BC、DE．过点A作两圆的公切线AF．
三、课堂小结：
学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面；(让学生自己总结，并全班交流)．
1．由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．
2．公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．
3．常用的辅助线：
(1)两圆在各种情况下常考虑添连心线；
(2)两圆外切时，常添内公切线；
(3)两圆内切时，常添外公切线；
(4)计算公切线长时，常平移公切线，使它过其中一个圆的圆心．
四、布置作业：
1．教材P.154中B组2．初三数学复习教案
圆的有关性质、直线和圆的位置关系
一、知识点：
1、圆的定义：
到定点的距离等于定长的点的集合
2、点和圆的位置关系：
在圆内、在圆上、在圆外（由点和圆心的距离与圆的半径大小来确定）
3、弦、直径、孤、弓形、半圆、同心圆、等圆、等孤等概念
等弧一定要强调要在同圆或等圆中；半圆不包括直径。
4、过三点的圆（三角形的外心）
经过三角形三个顶点的圆叫三角形外接圆；外接圆的圆心叫三角形的外心；三角形的外心是三条边中垂线的交点，到三个顶点距离相等；直角三角形外心在斜边上、锐角三角心外心在三角形内、钝角三角形外心在三角形外。
5、垂径定理及其推论：
定理及推论1：直线过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五要素中用其中两个要素做条件就能推导出其它三个要素都成立。若用过圆心、平分弦做条件时要强调被平分的弦不是直径。
推论2：平行弦所夹的弧相等。
6、圆心角、弦、弦心距、弧的关系：
圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系必须要在同圆或等圆中才能成立；
弧的度数就等于它所对圆心角的度数。
7、圆周角定理及推论：
圆周角的定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交。
圆周角的定理：圆周角等于同弧所对圆心角的一半。
推论1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角相等，它所对的弧也相等。
推论2：直径和半圆所对的圆周角等于90度，90度的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。
推论3、三角形一边的中线等于这一边的一半时，这个三角形是直角三角形。
8、圆内接四边形：
定义：四个顶点都在圆上的四边形。
定理：圆内接四边形对角互补。
推论：圆内接四边形的外角等于它的内对角。
9、直线和圆的位置关系：
相交、相切、相离（由公共点个数或圆心到直线距离和圆的半径大小来确定）
10、切线的判定和性质：
定义：与圆只有一个公共点的直线。
判定定理：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
性质定理：经过切点的半径必垂直于切线。
推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
11、三角形内切圆：
定义：与三角形三边都相切的圆叫三角形内切圆、内切圆的圆心叫三角形内心。内心是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
12、切线长定理：
定理：圆外一点到圆的两条切线的长相等，这个点与圆心的连线要平分两条切线的夹角。
（圆内切四边形对边相加相等）
13、弦切角：
定义：一条边是圆的切线，顶点是切点，另一条边与圆相交的角；
定理：弦切角等于它所夹弧对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，这两个弦切角相等。
14、和圆有关的比例线段：
相交弦定理及推论、切割线定理及推论
二、练习及例题讲评：
复习试卷几何之二、三初三几何教案
第七章：圆
第37课时：画正多边形(二)
教学目标：
1、使学生能应用画正多边形解决实际问题；
2、会应用“口诀”画正五边形的近似图；
3、能对较复杂的几何图形进行分解，然后通过画正多边形进行组合．
4、通过解决实际问题培养学生会从实际问题中抽象出数学模型的抽象能力及用数学意识；
5、通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力；
6、通过对民间正五边形近似画法依据的探索，培养学生探索问题的能力；
7、通过有关图形的分解与组合培养学生的观察能力、分解组合能力以及画图能力．
教学重点：
应用正多边形的计算与画图解决实际问题
教学难点：
从实际问题中抽象出数学模型，然后正确运用正多边形的有关计算，画图知识解决问题．
教学过程：
一、新课引入：
上节课我们学习了运用量角器等分圆周画正多边形和运用尺规画特殊的正多边形，这节课我们继续研究正多边形的画法在实际问题中的应用等．
二、新课讲解：
在前几课学习了正多边形的有关计算和画法的基础上系统复习本部分内容并会综合运用解决实际问题．本节有关“地基”问题的例题就是通过复习正方形画法进而画正八边形，并对正八边形进行有关计算．通过此例不仅复习了正多边形的画法、计算，而且复习了查三角函数表，解直角三角形的方法，更为重要的是培养了学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，从而提高学生分析问题、解决问题的能力．通过正五边形的民间近似画法的教学弘扬民族文化，揭示其科学性，渗透实践出真知的观点．
上节课我们学习了正多边形的画法，哪位同学能叙述用量角器等分圆法画半径3cm的正十边形？(安排中等生回答：先画出半径3cm的圆⊙O，然后用量角器画出36°的中心角，然后依次画36°的中心角，或者用圆规量出36°中心角所对弦长，依次截取即得正十边形)出现误差积累应如何处理？(安排中等生回答：1)适当调节正十边形的边长，2)可能情况下，重新设计画图步骤，减少产生误差的机会)
安排五名学生上黑板分别画半径3cm的圆内接正六边形、内接正三角形、内接正十二边形、内接正方形、内接正八边形，其余学生在下面画，然后师生共同评价所画图形的准确性．
幻灯给出题目，如图7-152，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正八边形，(1)用1∶200的比例尺画出地基平面图；(2)求地基的边长a8(精确到0.01m)和面积S8(精确到0.1m2)
哪位同学知道亭子的地基指的是哪个地方？(安排知道的学生回答)哪位同学记得，什么是比例尺？(安排中下生回答，
面图上正八边形的半径应是多少？(安排中下生回答：R=2cm)
请同学们画出这个地基平面图．
大家回忆一下，怎样求正八边形的边长？具体步骤是什么？(安排中等生回答：首先画出基本计算图，然后算出中心角的一半，∠AOC=22°30′．然后选三角函数)请同学们计算这个正八边形的边长．(a8≈3.06(m))
Pn·rn)，现在要求这个正八边形的面积，边长已求出，周长自然知，还需求边心距，哪位同学告诉我，求r8应选什么三角函数？(安排中下生回答：选∠AOC的余弦)请同学们求出r8来．(r8≈3.70(m))请同学们计算出这个地基的面积．(S8≈45.3(m2))
我国民间相传有五边形的近似画法，画法口诀是：“九五顶五九，八五两边分”，它的意义如图：(幻灯展示)，如果正五边形的边长为10，作它的中垂线AF，取AF=15.4，在AF上取FM=9.5，则AM=5.9，过点M作BE⊥AF，在BE上取BM=ME=8．连结AB、BC、DE、EA即可．
例 用民间相传画法口诀，画边长为20mm的正五边形．
分析：要画边长20mm的正五边形，关键在于计算出口诀中各部分的尺寸，由于要画的正五边形与口诀正五边形相似，所以要画的正五边形的各部分应与口诀正五边形各部分对应成比例，由于口诀给出的是正五边形的各部分的比例数，所以不妨设口诀正五边形的边CD=10mm．由已知知道要画正五边形的边C′D′=20mm，因此可知要画的正五边形与口诀正五边形的相似比为2∶1，因此只要将口诀正五边形的各部分尺寸×2即得要画的正五边形的各部分尺寸．请同学们算出各部分的尺寸，并按口诀画出正五边形A′B′C′D′E′(安排一中等生上黑板画，其余同学在练习本上画)
虽然这种画法是近似画法，但是这种画法的精确度却是很高的，哪位同学知道在五边形ABCDE中∠CAD的度数是多少？(中上生回答：36°，因正五边形每一内角108°，AB=BC ∴∠BAC=36°，同理∠DAE=36°∴∠CAD=36°)当然△CAD为顶角36°的等腰三角形，为什么？(中等生回答：∵△ABC≌AED(S．A．S)，∴AC=AD．)前面
取2.24作近似值，大家计算AC等于多少？(16.2)AC≈16.2也可说AC
AF≈15.4)刚才计算AC≈16.2，那么BM≈8.1，由于AB=10，请大家计算AM又应等多少？(AM≈5.9)刚才算出AF≈15.4，AM≈5.9，那么MF显然约为9.5．至此我们已将口诀中的所有数据的来源探索清楚，从而证明我国民间的这种正五边形的近似画法精确度还是很高的．
幻灯给出下列图案：
请同学们观察这两个图形是怎么画出来的，先看第一图形，哪位同学知道 的圆心和半径？(安排中上生回答： 中点是圆心，OA长是半径)同理 的圆心是 的中点， 的圆心是 的中点，哪位同学发现这三个圆心与A、B、C三点恰好是圆O的什么点？(安排中下生回答：六等分点)
请同学们画出这个图形．
请同学们观察第二个图形，花瓣与⊙O的交点恰是⊙O的什么点？
是半径)．
请同学们画出这个几何图案．
三、课堂小结：
本节课我们复习了正多边形的画法和有关计算，并运用这些知识去解决实际问题，学习了民间画正五边形的近似画法并对其科学性进行了探讨，最后学习了分解与组合有关正多边形的几何图案．
四、布置作业
教材P．171中练习1；P．173中12；P．173中14．初三几何教案
第七章：圆
第43课时：圆柱和圆锥的侧面展开图(二)
教学目标：
1、使学生了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底面、高、轴、母线、过轴的截面等概念，了解圆锥的侧面展开图是扇形．
2、使学生会计算圆锥的侧面积或全面积．
3、通过圆锥的形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力；
4、通过圆锥的面积计算，培养学生正确迅速的运算能力；
5、通过实际问题的教学，培养学生空间想象能力，从实际问题中抽象出数学模型的能力．
教学重点：
(1)圆锥的形成过程和圆锥的轴、母线、高等概念及其性质；
(2)会进行圆锥侧面展开图的计算，计算圆锥的表面积．
教学难点：
准确进行圆锥有关数据与展开图有关数据的转化．
教学过程：
一、新课引入：
在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在生活中我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这些圆锥形物体的表面积是怎样计算出来的？这就是本节课“7．21圆锥的侧面展开图”所要研究的内容．
和圆柱一样，圆锥也是日常生活或实践活动中常见物体，在学生学过圆柱的有关计算后，进一步学习圆锥的有关计算，不仅对培养学生的空间观念有好处，而且能使学生体会到用平面几何知识可以解决立体图形的计算，为学习立体几何打基础．
圆锥的侧面展开图不仅用于圆锥表面积的计算，而且在生产中常用于画图下料上，因此圆锥侧面展开图是本课的重点．
本课首先在小学已具有圆锥直观感知的基础上，用直角三角形旋转运动的观点给出圆锥的一系列概念，然后利用圆锥的模型，把其侧面展开，使学生认识到圆锥的侧面展开图是一个扇形，并能将圆锥的有关元素与展开图扇形的有关元素进行相互间的转化，最后应用圆锥及其侧面展开图之间对应关系进行计算．
二、新课讲解：
[幻灯展示生活中常遇的圆锥形物体，如：铅锤、粮堆、烟囱帽]
前面屏幕上展示的物体都是什么几何体？[安排回忆起的学生回答：圆锥]在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有哪些特征？[安排举手的学生回答：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高．]
[教师边演示模型，边讲解]：大家观察Rt△SOA，绕直线SO旋转一周得到的图形是什么？[安排中下生回答：圆锥．]大家观察圆锥的底面，它是Rt△SOA的哪条边旋转而成的？[安排中下生回答：OA]圆锥的侧面是Rt△SOA的什么边旋转而得的？[安排中下生回答，斜边]，因圆锥是Rt△SOA绕直线SO旋转一周得到的，与圆柱相类似，直线SO应叫做圆锥的什么？[安排中下生回答：轴．]大家观察圆锥的轴SO应具有什么性质？[安排学生稍加讨论，举手发言：圆锥的轴过底面圆的圆心，且与底面圆垂直，轴上连接圆锥顶点与底面圆心的线段就是圆锥的高．]圆锥的侧面是Rt△SOA的斜边绕直线SO旋转一周得到的，同圆柱相类似，斜边SA应叫做圆锥的什么？[安排中下生回答：母线．]给一圆锥，如何找到它的母线？[安排中上生回答：连结圆锥顶点与底面圆任意一点的线段都是母线．]圆锥的母线应具有什么性质？[安排中下生回答：圆锥的母线长都相等．]
[教师边演示模型，边启发提问]：现在我把这圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，哪位同学发现这个展开图是什么图形？[安排中下生回答：扇形．]请同学们仔细观察：并回答：1．圆锥展示图——扇形的弧长l等于圆锥底面圆的什么？扇形的半径其实是圆锥的什么线段？[安排中下生回答：扇形的弧长是底面圆的周长，即l=2πr，扇形
弧长已知，圆锥母线已知则展开图扇形的半径已知，因此展开图扇形的面积可求，而这个扇形的面积实质就是圆锥的侧面积，因此圆锥的侧面积也就可求．当然展开图扇形的圆心角也可求．
[教师边演示模型，边启发提问]：如图7-183，现在将圆锥沿着它的轴剖开，哪位同学回答，经过轴的剖面是一个什么图形？[安排中下生回答：等腰三角形．]这个等腰三角形的腰与底分别是圆锥的什么？[安排中下生回答：腰是圆锥的母线，底是圆锥的直径．]这个等腰三角形的高也就是圆锥的什么？[安排中下生回答：高]．这个经过轴的剖面，我们称之谓“轴截面”，在轴截面里包含了有关圆锥的所有元素：轴、高、母线，底面圆半径．这个等腰三角形的顶角，我们称之谓“锥角”，大家不难
给定旋转一周得圆锥的那个直角三角形，当然给定半径、母线；圆锥侧面展开图——扇形的面积、圆心角可求、因此可以说有关圆锥的计算问题，其实质就是解这个直角三角形的问题．
幻灯展示例题：如图7-184，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80cm，母线长50cm，(1)计算这个展开图的圆心角及面积；(2)画出它的展开图．
要计算展开图的面积，哪位同学知道展开图扇形的弧长是圆锥底面圆的什么？[安排中下生回答：周长．]展开图形的半径是圆锥的什么？[安排中下生回答：母线．]
请同学们计算这个展开图的面积．[安排一中等生上黑板完成，其余学生在练习本上做]．
解：圆锥底面圆直径80cm，∴底面圆周长=80πcm，又母线长50cm
=2000π(cm2)．
哪位同学到前面计算一下这个扇形的圆心角？[安排一名中下生上前，其余在练习本上做]．
同学讨论一下这个扇形怎样画？[安排一中上学生回答：首先画一个
弧的扇形，r就是所要画的展开图．]
幻灯展开例题：图7-185中所示是一圆锥形的零件经过轴的剖面，它的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥底面的直径，按图中标明的尺寸(单位mm)，求：
(1)圆锥形零件的母线长l；
(2)锥角(即等腰三角形的顶角)α；
(3)零件的表面积．
图中给出等腰三角形的哪些尺寸？[安排中下生回答：高40，底边长34]哪位同学会计算圆锥形零件的母线长l？[安排一中等生上黑板，其余同学练习本上做][答案：l=43.5mm]锥角α打算如何求？[安排一中等
∠DSB的正切．]请同学们求出α．[安排一中等生上黑板，其余在练习本上做]，[答案：α≈46°4′]
零件的表面积等于什么？[安排中下生回答：圆锥的侧面积加上底面圆面积．]计算圆锥侧面积所需条件已具备了吗？计算底面圆面积所需条
请同学们把表面积求出来．[S≈3230mm2]
三、课堂小结：
请同学们回顾一下，本堂课我们学了些什么知识？[可安排中下生相互补充完整：1．圆锥的特征；2．圆锥的形成及有关概念；3．圆锥的展示图；4．圆锥的轴截面．]
四、布置作业
教材P．198；练习1、2；P．200中5、6、7、8．初三几何教案
第七章：切线长定理
第20课时：切线长定理
教学目标：
1、使学生理解切线长定义．
2、使学生掌握切线长定理，并能初步运用．
教学重点：
切线长定理，它在以后的证明中经常使用．
教学难点：
切线长定理的归纳．学生在观察后可以叙述内容，但语言可能是不规范的．
教学过程:
一、新课引入：
我们已经学习了圆的切线的性质，今天我们继续来学习圆的切线的其它性质．
经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎样的情形呢？请同学们打开练习本画一画．
学生动手画，教师巡视．当学生把可能的位置情况画完后，教师指导全班同学交流并得到结论：1．经过圆内已知点不能作圆的切线；2．经过圆上已知点可作圆的唯一一条切线；3．经过圆外一已知点可作圆的两条切线．
二、新课讲解：
观察从圆外一点所引圆的切线上，有一条线段，线段的端点一边是已知点，一边是切点．务必使学生清楚，我们是把这样的一条线段的长度定义为切线长．提醒学生注意，直线是没有长度的事实．然后让学生观察从圆外一点引圆的两条切线会产生什么样的结论？开始不要害怕学生的语言不简炼，教师最终指导学生把握“从”、“引”、“它们”、“连线平分”、“夹角”，完成切线长定理．
1．在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
练习一，已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．
提示，如图7-66，连结OE，由切线的性质定理得Rt△POE，已知OE=3，OP=6，勾股定理求出PE后，再求∠1，然后2倍的∠1．
练习二，如图7-67，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于D、E，交AB于e．
(1)写出图中所有的垂直关系．
(2)写出图中所有的全等三角形．
例1 P．119例1已知：如图7-68，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．
分析：欲证AC∥OP．题中已知BC为⊙O的直径，可想到CA⊥AB，若能证出OP⊥AB，问题便得到解决．可指导学生考虑切线长定理，证三角形PAB为等腰三角形，再根据“三线合一”的性质，证得OP⊥AB，证法参考教材P．119例1．
在证明AC∥OP时，除了上面的方法，还可以从角的相等关系来证．
例2 P．119，圆外切四边形的两组对边的和相等．
已知：如图7-69，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N，P．
求证：AB+CD=AD+BC．
分析：这是本书中唯一在今后可做为定理使用的例题．首先教师指导学生根据文字命题正确地使用已知，求证的形式把命题具体化．然后指导学生完成证明，证明过程参照教材．
练习三，P．120中3．已知：如图7-70，在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长．
分析：这是一道利用几何图形的性质，采用代数的解题方法的一道计算题．教学中教师要注意引导学生通过解三元一次方程组来得到切线长．
解：∵AB、AC分别切⊙O于F、E，
∴AF=AE．
同理：BF=BD，CD=CE．
设AF=x，BD=y，CE=z．
答：切线长AF=4厘米，BD=9厘米，CE=5厘米．
三、课堂小结：
让学生阅读教材P．118至P．120，并总结归纳出本课的主要内容．
1．切线长定义．
2．切线长定理及其应用．
提醒学生注意由切线长可得到一个等腰三角形．这一点和圆心的连线不但平分两切线的夹角，还垂直平分两切点间的线段．
四、布置作业：
1．教材P．131习题7．4 2、3、4．
2．教材P．133B组3．