2022年秋期高中三年级期中质量评估
数学试题（文）参考答案
一、选择题
1—5 DCABD 6—10 BDBDC 11—12 CB
二、填空题
1
13. 14. 9 15． (0,2) 16．[ 1,2]
2
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分 10分)
(1)由 AB AC 2 3得bccosA 2 3，
1
又 S ABC bc sin A 3，得bcsin A 6，2
故 tan A 3，又A （0 2 ， ）,得 A ．…………………………………………5 分
3
b2 c2 a2 2 2 2
(2)cos A ，由(1)得a b c 4 3 2bc 4 3 12 3，………8 分
2bc
b2 c2 a2 4 3 1 4 3 2
故 2 2 1 4 3 ( )
2 1 ．
a a a 12 3 3
b2 c2 2
所以 2 的最小值为 ．………………………………10 分a 3
18．(本小题满分 12分)
解:(1).由bn anan 1 得，b1 a1a2 2 ，且公比为 2,
1
故b 2 2n 1
n
n 2 2 ． ……………………………………………2分
则 ana
2 2n 1
n 1 (bn ) 2 ①
2n 1
所以， an 1an 2 2 ② ………………………………………………4分
由①②得， an 2 4an． ………………………………………………………6分
(2).由（1）知数列{a2n}和数列{a2n 1}均为公比为 4的等比数列，…………7分
{#{QQABCQQEggggABJAARhCAQnwCkKQkBAACCgGAAAIIAIASANABAA=}#}
a a 4n 1 22n 1所以， 2n 2 ， a2n-1 a1 4
n 1 22n 2
c 2n 2 2n 1 n 1n a2n 1 2a2n = 2 2 2 5 4 . ………………………………9分
S 5 5 4
n 5
(4n所以， n 1) . ………………………………………………12 分1 4 3
19．（本题满分 12分）
解: (1)由题意得:
1 cos(2x 2 )
f (x) 2 3 1 cos 2x
2 2
1 1 cos 2x 3 sin 2x
2 2 2 1 cos 2x
2 2
1 3 sin 2x 3 cos2x 1 3 sin 2x
．…………………………………4分4 4 2 3
令 2k 2x
2k ,k Z, 5 k x k ，
2 3 2 12 12
∴ y f (x)
5
的单调递增区间为 k ,
k , k Z……………………6分 12 12
(2) g(x) 1 3 sin 2(x )
3
1 sin
2x 2
2 3
．
2 3
∵ y g (x)关于点 ,1 中心对称，
2
∴ 2
2 k ,k Z, 2 k ，
2 3 3 2
∵0
，∴ ．
2 3
g(x) 3∴ 1 sin(2x ) 1 3 sin 2x ．………………………………10 分
2 2
x 2
3
当
,
6 3
,2x , ∴ sin 2x ,1 3 3
2
g(x) 3 1 1 , .…………………………………………………………12 分
2 4
{#{QQABCQQEggggABJAARhCAQnwCkKQkBAACCgGAAAIIAIASANABAA=}#}
20．(本小题满分 12分)
(1)解：当 a 2 2时，由己知得 f (x) ln x x ，故 f ' (x) 1 1 2 ，
x x x2
所以 f ' (1) 4，又因为 f (1) 1，
所以函数 f (x)的图象在点 (1, f (1))处的切线方程为 4x y 5 0； …………4 分
（2）解：由 f (x) 2，得 ln x a x 2，
x
又 x 1, ，故 a x ln x x 2 2x ．…………………………………………6分
设函数 g x x ln x x2 2x，则 g x ln x x 1 2x 2 ln x 2x 1．
x
因为 x 1, ，所以 ln x 0， 2x -1> 0，所以当 x 1, 时， g x ln x 2x 1 0，
故函数 g(x)在 (1, )上单调递增．……………………………………………………8分
所以当 x 1, 时， g x g 1 1 ln1 1 2 1 1．…………………………10 分
因为对于任意 x (1, )，都有 f (x) 2成立，
即对于任意 x 1, ，都有 a g x 成立．所以 a 1．…………………………12分
21．(本小题满分 12分)
解:（1）当 n 1时，则2a1 a1 1，所以 a1 1，
因为 2Sn n(an 1) ①
所以，当 n 2时， 2Sn-1 （n -1）(an-1 1) ②…………………………2 分
①-② 得： n 2 an n 1 an 1 1, n 2 ， ③
故， n 3 an 1 n 2 an 2 1, n 3 ， ④
③-④得
2an 1 an an 2 n 3 ，所以 an 为等差数列，…………………………5 分
又 d a2 a1 3，所以， an 1 3 n 1 3n 2；…………………………6分
(2).由2Sn n an 1 n N
{#{QQABCQQEggggABJAARhCAQnwCkKQkBAACCgGAAAIIAIASANABAA=}#}
S n(3n 1) 1 2得 n ，故 ，2 Sn n(3n 1)
当 n 1 1 5时, 1
S1 3
n 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1当 时， 1 ( )，…………8 分Sn n(3n 1) 3 n(n ) 3 n(n 1) 3 n 1 n
3
T 1 1 1 1 2 1 1 1故 n ... 1 [(1 ) ( ) ... (
1 1
)] 5 2 5
S1 S2 S3 Sn 3 2 2 3 n 1 n 3 3n 3
5
综上,Tn .……………………………………………………………………12 分3
22．(本小题满分 12分)
解:
x
(1) 函数 f (x)的定义域为 R． f ' (x) e x 1
令 (x) f ' (x) ex x 1， ' (x) e x 1，
则 (x)在 ( ,0)上单调递减，在 (0, )单调递增．……………………3 分
故 (x) (0) 0，即 f ' (x) 0．
即函数 f (x)在 R上是单调增函数．…………………………………………6分
(2) 由(1)知，函数 f (x)在[ 1,1]上是单调递增的，而 f (0) 0，
f (x), x [0,1]
故 y | f (x) | ，可得M max{| f ( 1) |,| f (1) |}
f (x), x [ 1,0)
| f ( 1) | | f (1) | | 1 1 5 1 | | e | =3 e 0，
e 2 2 e
5
因此M | f (1) | e ．…………………………………………8分
2
而 N | f ' (1) | e 2 e 5 M ，…………………………………………10 分
2
故M N．………………………………………………12 分
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数学试题（文）
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则
A. B.
C. D.
2.若，则
A.1 B. C. D.2
3.已知，则
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知数列的前项和.若，则
A.9 B.10 C.11 D.12
5.若，满足则的最小值是
A.-3 B.-5 C.8 D.-7
6.已知：，，则的最大值是
A. B. C. D.
7.函数的部分图像如图所示，则的解析式可能为
A. B.
C. D.
8.若，，则
A. B. C. D.
9.在中，，，.若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是
A. B. C.1 D.
10.若将函数的图像向右平移个周期后，与函数的图像重合，则的一个可能取值为
A. B. C. D.
11.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
12.已知：，，，则
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数，则__________.
14.在中，角，，所对的边分别为，，，，，则的外接圆面积为__________.
15.若，则的解集是______________.
16.不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在中，角，，所对应的边分别为，，.，的面积等于3.
（1）求；
（2）求的最小值.
18.（本小题满分12分）
已知数列和满足：，，，，且是以2为公比的等比数列.
（1）证明：；
（2）若，求数列的通项公式及其前项和.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数的图像关于点中心对称，求在上的值域.
20.（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）当时，求函数在点处的切线方程；
（2）如果对于任意，都有，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
数列中，为的前项和，，.
（1）求证：数列是等差数列，并求出其通项公式；
（2）求证：数列的前项和.
22.（本小题满分12分）
已知.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设是的导数.当时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：.
