人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1第一课时空间向量及其线性运算 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
二十世纪七十年代以来，由国家教委组织编写的《中学数学实验教材》、人教社主编的高中《数学》试验课本，都在不同程度上将向量知识渗透到中学数学，用向量方法来处理传统的几何、三角等问题.2002年教育部制定的《中学数学教学大纲》中，除了包含必修的“平面向量”，还在“直线、平面、简单几何体”中增添了“空间向量”.2003年教育部颁发的《普通高中数学课程标准(实验)》和2017年教育部制定的《普通高中数学课程标准》中都将“平面向量”作为必
修知识，“空间向量与立体几何”作为选择性必修知识．空间向量知识的引进，使我们能用代数的观点和方法解决立体几何问题，用计算代替逻辑推理和空间想象、用数的规范性代替形的直观性，从而大大降低了立体几何问题的求解难度．
空间向量与立体几何是在学习了必修内容“平面向量”和“立体几何初步”之后，在选择性必修中将要学习的一个重要内容，包含空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用，应用空间向量探究空间线面的平行垂直、夹角与距离.“立体几何初步”的学习侧重几何直观和逻辑推理，“空间向量与立体几何”中将空间向量作为研究空间图形位置关系和度量的工具，让我们可以用代数的观点和方法研究解决空间几何问题.空间向量的学习要类比
平面向量，将几何问题转化为向量问题解决是本章学习的目的.空间向量与立体几何是高考的重点，一般以解答题型出现，通常解答题中平行、垂直的证明侧重几何逻辑推理，角和距离的求解侧重向量法.
1.1　空间向量及其运算
1．1.1　空间向量及其线性运算
第一课时　空间向量及其线性运算
[学习目标]　1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．　2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．　3.掌握空间向量的线性运算．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　如何类比平面向量的概念推广得到空间向量的概念？
问题2　空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区别吗？为什么？
问题3　如何借助平行六面体理解空间向量加法运算的运算律？
问题4　两个不共线向量的加法有平行四边形法则，三个不共面向量的加法有什么法则？　　　
BC
C
0
　空间向量的概念
1．空间向量
在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的 或 ．
大小
方向
长度
模
a，b，c
3．空间向量的相关概念
(1)零向量：长度为0的向量，记为 .
(2)单位向量：模为 的向量．
(3)相反向量：与向量a长度相等而方向 的向量，叫做a的相反向量，记为－a.
(4)相等向量：方向相同且模相等的向量．
(5)共线(平行)向量：表示若干空间向量的有向线段所在的直线___________或 ，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，规定零向量与任意向量平行．
0
相反
互相平行
重合
1
[例1]　给出下列命题：
①若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
③空间中任意两个单位向量必相等；
④若空间向量a，b，c满足a＝b，b＝c，则a＝c；
B
分析：根据空间向量的有关概念进行判断．
[解析]　①错误，两个向量模相等，但方向不一定相同；②错误，两个空间向量相等，只需模相等、方向相同，与起点、终点位置无关；③错误，任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同；④⑤正确．
1.向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可．
2．单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1.
3．两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
4．由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的．
1.下列命题中，假命题是(　　)
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
D
空间向量的加、减运算
2．运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
[例2]　如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：
　1.(1)空间中任意两个向量都可以平移到一个平面内(平面不唯一)，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示．
(2)涉及空间中任意两个向量之间的问题，平面向量的有关结论仍然适用．
2．(1)空间向量的加法、减法运算可借助三角形法则或平行四边形法则进行．
(2)空间向量的减法运算也可借助相反向量，将向量的减法运算转化为加法运算．
(3)首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.
ABC
　空间向量的数乘运算
1．空间向量的数乘运算
实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
相同
相反
2．运算律
设λ，μ是实数，则
(1)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb；
(2)结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
分析：根据数乘向量及三角形法则、平行四边形法则求解．
　1．平行六面体体对角线的向量表示：一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体体对角线所表示的向量．
　3.已知正方形ABCD，P是平面ABCD外的一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：
1．知识清单：
(1)空间向量的相关概念．
(2)空间向量的线性运算．
2．方法归纳：数形结合、类比的思想、方程的思想．
3．常见误区：对零向量、单位向量的认识．
(1)零向量的特点：
①长度为0；②方向任意．
(2)单位向量的特点：
①长度为1；
②方向与已知条件有关，一般地，在空间的任意方向上都有单位向量，且在某一确定的方向上有唯一一个单位向量．
(3)对数乘向量的认识：
①非零向量λa与a所在的直线可能平行，也可能重合．
②当λ＝0时，λa＝0；
当λ≠0，a＝0时，λa＝0.
因此若λa＝0，则λ＝0或a＝0.
③实数λ与向量a可以进行乘法运算，但不可以进行加减运算，如λ＋a，λ－a无法运算．
课时作业 巩固提升