人教版高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
1．1.2　空间向量的数量积运算
[学习目标]　1.了解空间向量夹角的概念．　2.掌握空间向量数量积的定义、性质和运算律．　3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　4.应用空间向量数量积解决简单空间几何体中的垂直、夹角和距离问题．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　空间向量的夹角的定义，数量积的定义、性质和运算律与平面向量有区别吗？
问题2　在空间，向量a向向量b、直线l、平面α的投影分别有什么意义？
问题3　类比平面向量数量积，用空间向量数量积可解决哪几类几何问题？　　　
[预习自测]
1．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)
A
C
解析：由正方体，得a，b，c两两垂直，
∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.
0
120°
空间向量的夹角
非零向量
∠AOB
〈a，b〉
2．范围
对非零向量a，b
通常规定0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
特别地，如图，
当 时，向量a，b同向共线；
当 时，向量a，b反向共线；
〈a，b〉＝0
〈a，b〉＝π
C
1.由定义知，只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0；共线反向时，夹角为π.
2．对空间任意两个非零向量a，b有：
(1)〈a，b〉＝〈b，a〉；(2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；(3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉．
0°
90°
1．定义
已知两个非零向量a，b，则 叫做a，b的数量积，记作_____.
即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
特别地，零向量与任意向量的数量积为 .
空间向量的数量积
|a||b|cos〈a，b〉
0
a·b
a·b＝0
|a|2
≤
垂线
4．数量积的运算律
(λa)·b＝λ ，λ∈R；
a·b＝ (交换律)；
(a＋b)·c＝ (分配律)．
注意：(1)两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零．
(a·b)
b·a
a·c＋b·c
[例2]　已知三棱锥O ABC的各个侧面都是等边三角形，且边长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点．试求：
分析：求出每个向量的模及它们的夹角，然后按照数量积的定义求解．
空间向量数量积运算的方法
(1)利用定义，直接利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
(3)利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．
2.已知空间向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则a·(2a－3b)＝________.
解析：a·(2a－3b)＝2a2－3a·b＝2×1－3×1×2×cos 120°＝5.
5
空间向量数量积的应用：求距离和夹角
1．利用公式|a|＝可以解决空间中有关距离或长度的问题．
1.用数量积求两点间距离的步骤：(1)用向量表示此距离；(2)用已知模与夹角的向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；(4)|a|即为所求距离．
空间向量数量积的应用：证明垂直
利用关系 a⊥b(a，b为非零向量)可以证明空间两直线的垂直．
a·b＝0
[例4]　如图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α.
分析：要证明l⊥α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⊥m，l⊥n，得到l⊥g，那么就能解决此问题．
[证明]　在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行．由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g＝xm＋yn.
将上式两边分别与向量l作数量积运算，得
l·g＝xl·m＋yl·n.
因为l·m＝0，l·n＝0，所以l·g＝0.
所以l⊥g.
所以直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α.
用向量法证明垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题．
(2)用已知向量表示所证向量．
(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0.
(4)将向量问题回归到几何问题．
4.用向量法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直(三垂线定理)．
1．知识清单：(1)空间向量的夹角．
(2)空间向量的数量积．
(3)空间向量数量积的应用．
2．方法归纳：类比的思想、向量法、数形结合．
3．常见误区：对空间向量数量积的运算律需注意
(1)数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．
(2)数量积运算也不满足消去律，即不能由a·b＝a·c，a≠0，推出b＝c，只能得出a⊥(b－c)．
课时作业 巩固提升