人教版高中数学选择性必修第一册1.4.2 第二课时 夹角问题 课件（共36张PPT）

(共36张PPT)
第二课时　夹角问题
[学习目标]　1.能用向量方法解决两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角和二面角的问题．　2.体会向量方法在研究几何问题中的作用．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　两条异面直线、直线和平面、两个平面的夹角的向量计算公式分别是什么？
问题2　直线和平面的夹角与直线方向向量、平面法向量的夹角有什么关系？
问题3　两个平面的夹角和二面角有什么区别？
问题4　用向量解决空间线面夹角问题的一般步骤是什么？　　　
D
2．已知二面角α l β，其中平面α的一个法向量m＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n＝(0，－1,1)，则二面角α l β的大小可能为(　　)
A．60° B．120°
C．60°或120° D．135°
C
60°
两条异面直线所成的角
[例1]　如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A和B1B的中点，求CM和D1N所成角的余弦值．
分析：本题主要考查空间直角坐标系的相关坐标运算．先建立空间直角坐标系，再分别求相关点的坐标，再求相关向量的坐标，最后结合空间直角坐标系中异面直线的夹角公式求解即可．
[解析]　以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的各个棱长均为2，
则C(0,2,0)，D1(0,0,2)，M(2,0,1)，N(2,2,1)，
1.如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值．
　直线与平面所成的角
[例2]　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC＝AB＝4，AA1＝6，点E，F分别为CA1与AB的中点．求B1F与平面AEF所成角的正弦值．
分析：本题考查了利用空间向量求线面所成的角．
[解析]　以A1为原点建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz，
则A(0,0,6)，B1(0,4,0)，E(2,0,3)，F(0,2,6)．
　　利用向量方法求直线与平面所成角的步骤
　2.在棱长为4的正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP.求直线AP与平面BCC1B1所成的角的正切值．
解析：以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图的空间坐标系，
由棱长为4，得D(0,0,0)，A(4,0,0)，C(0,4,0)，
D1(0,0,4)，B(4,4,0)，P(0,4,1)，
　两个平面所成夹角与二面角
1．平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
3．利用向量方法求二面角：平面α，β的法向量分别为m，n，则二面角α l β与〈m，n〉 ．
90°
相等或互补
[例3]　在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．求平面AEF与平面BAF夹角的余弦值．
分析：本题考查两个平面夹角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．建立空间直角坐标系．求出平面ABCD的一个法向量和平面AEF的一个法向量，利用向量法能求出平面AEF与平面BAF夹角的余弦值．
[解析]　在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，F(0,1,0)，E(2,1,2)，
平面ABCD的一个法向量为n1＝(0,0,1)，
设平面AEF的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
设平面CEF的法向量为n2＝(x，y，z)，
1．知识清单：(1)用向量求两条异面直线所成的角．
(2)用向量求直线与平面所成的角．
(3)用向量求两个平面的夹角．
2．方法归纳：向量法．
课时作业 巩固提升