11.2.1.2 直角三角形的性质与判定同步训练（含答案）【知识梳理+例题+练习】
文档属性
| 名称 | 11.2.1.2 直角三角形的性质与判定同步训练（含答案）【知识梳理+例题+练习】 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-20 17:05:49 | ||
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文档简介
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质与判定
【知识重点】
1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 .
几何语言：在△ABC中，
∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
2.直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC.
注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.
3.直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三
角形.
特别解读：在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.
【经典例题】
【例1】如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______.
解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.
【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形.
解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形.
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB.
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB 的夹角为直角.
【同步练习】
一、选择题
1．把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为( )
A.65° B.60° C.45° D.30°
第1题图 第2题图 第5题图
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
5．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＋∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A＝∠B＝∠C
7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
8．直角三角形的三个内角的度数之比可以是 ( )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶5 C．4∶5∶6 D．3∶3∶6
9．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝( )度．
A．70 B．65 C．60 D．55
第9题图 第13题图 第14题图
10．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
二、填空题
11．直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形ABC可以写成__________．
12．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是 .
13．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 .
14．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 .
三、解答题
15．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC上一点，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F，且∠AEF＝∠AFE.求证：△BED是直角三角形．
18．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．
19．【2021·广陵区校级期中】已知：如图①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图②，若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE＝∠CEF.
20．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？
(2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
(3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______.
解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.
解：∵∠BOD＝35°，∴∠AOC＝35° .
又∵ AC⊥CD，∴∠ACD＝90° .
∴ ∠A＝90° －∠AOC＝90°－35°＝55° .
【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形.
解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形.
证明：∵ AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
又∵ EP平分∠BEF，FP 平分∠DFE，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∴△EFP是直角三角形.
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB.
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB 的夹角为直角.
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠CDA＝90°. ∴ CD⊥AB.
【同步练习】
一、选择题
1．把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为( C )
A.65° B.60° C.45° D.30°
第1题图 第2题图 第5题图
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( D )
A．120° B．90° C．60° D．30°
4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
5．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( B )
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是 ( D )
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＋∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A＝∠B＝∠C
7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
8．直角三角形的三个内角的度数之比可以是 ( D )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶5 C．4∶5∶6 D．3∶3∶6
9．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝( A )度．
A．70 B．65 C．60 D．55
第9题图 第13题图 第14题图
10．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
二、填空题
11．直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形ABC可以写成__________．
【答案】 互余 Rt△ Rt△ABC
12．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是 .
【答案】30°
13．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 .
【答案】60°
14．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 .
【答案】60°或90°
三、解答题
15．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．
理由如下：
∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，
△ADE是直角三角形．
∴∠1＋∠A＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
解：∵CD是AB上的高，
∴∠DBC＝90°－∠DCB＝90°－45°＝45°.
∵BE是AC上的高，
∴∠EBC＝90°－∠ECB＝90°－67°＝23°.
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝45°－23°＝22°.
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC上一点，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F，且∠AEF＝∠AFE.求证：△BED是直角三角形．
证明：∵在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，
∴∠ABF＋∠AFE＝90°.
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBD.
∵∠AEF＝∠AFE，∠BED＝∠AEF，
∴∠BED＝∠AFE.∴∠EBD＋∠BED＝90°.
∴△BED是直角三角形．
18．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．
解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.
∴△EFP为直角三角形．
19．【2021·广陵区校级期中】已知：如图①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
在△ABC中，CD是高，
∴∠CDA＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠DCB，∴∠DCB＋∠ACD＝90°.
∴∠ACB＝90°.∴△ABC是直角三角形．
(2)如图②，若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE＝∠CEF.
证明：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠DAF＝∠CAE.
∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°，
∴∠AFD＝∠CEA.
∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEA，
即∠CFE＝∠CEF.
20．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．
理由：∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.∴∠BCD＝∠A.
(2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．
理由：∵ED⊥AB，∴∠B＋∠BED＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.∴∠BED＝∠A.
(3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．
理由：∵ED⊥AB，∴∠B＋∠E＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.∴∠E＝∠A.
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质与判定
【知识重点】
1.直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余 .
几何语言：在△ABC中，
∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
2.直角三角形的表示 直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC可以写成Rt △ABC.
注意：“Rt △”后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用．如“直角三角形的边”不能写成“Rt△的边”.
3.直角三角形的判定 有两个角互余的三角形是直角三
角形.
特别解读：在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系，可结合两个锐角互余求出每个锐角的大小，不需要再利用三角形内角和定理求解.
【经典例题】
【例1】如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______.
解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.
【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形.
解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形.
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB.
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB 的夹角为直角.
【同步练习】
一、选择题
1．把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为( )
A.65° B.60° C.45° D.30°
第1题图 第2题图 第5题图
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
5．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是 ( )
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＋∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A＝∠B＝∠C
7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
8．直角三角形的三个内角的度数之比可以是 ( )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶5 C．4∶5∶6 D．3∶3∶6
9．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝( )度．
A．70 B．65 C．60 D．55
第9题图 第13题图 第14题图
10．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
二、填空题
11．直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形ABC可以写成__________．
12．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是 .
13．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 .
14．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 .
三、解答题
15．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC上一点，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F，且∠AEF＝∠AFE.求证：△BED是直角三角形．
18．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．
19．【2021·广陵区校级期中】已知：如图①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图②，若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE＝∠CEF.
20．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？
(2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
(3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
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参考答案
【经典例题】
【例1】如图，AB，CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD＝35°，则∠A＝_______.
解题秘方：根据直角三角形中两锐角之间的数量关系求出角的度数.
解：∵∠BOD＝35°，∴∠AOC＝35° .
又∵ AC⊥CD，∴∠ACD＝90° .
∴ ∠A＝90° －∠AOC＝90°－35°＝55° .
【例2】如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P. 求证：△EFP是直角三角形.
解题秘方：如果三角形中有两个角的和等于90°(互余)就可证明该三角形为直角三角形.
证明：∵ AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
又∵ EP平分∠BEF，FP 平分∠DFE，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∴△EFP是直角三角形.
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B. 求证：CD⊥AB.
解题秘方：利用直角三角形的性质与判定求出CD，AB 的夹角为直角.
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵∠ACD＝∠B，∴∠A＋∠ACD＝90°.
∴∠CDA＝90°. ∴ CD⊥AB.
【同步练习】
一、选择题
1．把一把直尺与一块三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为( C )
A.65° B.60° C.45° D.30°
第1题图 第2题图 第5题图
2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是( D )
A．120° B．90° C．60° D．30°
4．已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能
5．【2021·毕节】将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( B )
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是 ( D )
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＋∠B＝2∠C
C．∠A＝∠B＝30° D．∠A＝∠B＝∠C
7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
8．直角三角形的三个内角的度数之比可以是 ( D )
A．2∶3∶4 B．3∶4∶5 C．4∶5∶6 D．3∶3∶6
9．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝( A )度．
A．70 B．65 C．60 D．55
第9题图 第13题图 第14题图
10．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D )
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A ∶∠B ∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝∠B＝3∠C
二、填空题
11．直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号“________”表示，直角三角形ABC可以写成__________．
【答案】 互余 Rt△ Rt△ABC
12．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是 .
【答案】30°
13．如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD＝30°，PQ∥ON，则∠MPQ的度数是 .
【答案】60°
14．如图，已知∠AOD＝30°，点C是射线OD上的一个动点．在点C的运动过程中，△AOC恰好是直角三角形，则此时∠A所有可能的度数为 .
【答案】60°或90°
三、解答题
15．如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
解：△ABC是直角三角形．
理由如下：
∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，
△ADE是直角三角形．
∴∠1＋∠A＝90°.
又∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠A＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
16．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
解：∵CD是AB上的高，
∴∠DBC＝90°－∠DCB＝90°－45°＝45°.
∵BE是AC上的高，
∴∠EBC＝90°－∠ECB＝90°－67°＝23°.
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝45°－23°＝22°.
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC上一点，BF平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，F，且∠AEF＝∠AFE.求证：△BED是直角三角形．
证明：∵在Rt△ABF中，∠BAF＝90°，
∴∠ABF＋∠AFE＝90°.
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBD.
∵∠AEF＝∠AFE，∠BED＝∠AEF，
∴∠BED＝∠AFE.∴∠EBD＋∠BED＝90°.
∴△BED是直角三角形．
18．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试说明△EFP为直角三角形．
解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝×180°＝90°.
∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.
∴△EFP为直角三角形．
19．【2021·广陵区校级期中】已知：如图①，在△ABC中，CD是高，若∠A＝∠DCB.
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
在△ABC中，CD是高，
∴∠CDA＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.
∵∠A＝∠DCB，∴∠DCB＋∠ACD＝90°.
∴∠ACB＝90°.∴△ABC是直角三角形．
(2)如图②，若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证：∠CFE＝∠CEF.
证明：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠DAF＝∠CAE.
∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°，
∴∠AFD＝∠CEA.
∵∠AFD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEA，
即∠CFE＝∠CEF.
20．(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，图中有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．
理由：∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.∴∠BCD＝∠A.
(2)如图②，把图①中的D点向右移动，作ED⊥AB交BC于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．
理由：∵ED⊥AB，∴∠B＋∠BED＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.∴∠BED＝∠A.
(3)如图③，把图①中的D点向左移动，作ED⊥AB交BC的延长线于点E，图中还有与∠A相等的角吗？为什么？
解：有．
理由：∵ED⊥AB，∴∠B＋∠E＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠A＝90°.∴∠E＝∠A.