人教版数学九年级下册第26章 反比例函数复习课教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册第26章 反比例函数复习课教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 260.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-21 07:25:05 | ||
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文档简介
《反比例函数》复习课教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
反比例函数的概念、图象、性质及其应用.
2.内容解析
反比例函数是人教版义务教育教科书安排的最后一类函数，其学习基础是函数的概念、函数的表示方法以及反比例关系；函数是初中数学重要的概念，对函数的研究方法一脉相承，因此，我们类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究了反比例函数的概念、图象、性质及其应用.反比例函数不仅在现实世界中具有众多原型，而且在现实世界中具有广泛的应用.
3.设计思想
本课将以反比例节函数的图象为载体，以数形结合的思想为主线，回归基础，通过类比整体建构知识框架,掌握研究函数问题的一般路径和方法,提高学生知识梳理整合能力及综合应用能力，为后续学习其他的函数做好准备.
反比例函数的图象和性质是在学习了一次函数和二次函数之后进行的，相比较前两类函数要简单一些，在增减性的理解上由于分了两个象限，所以比较容易出错，特别是自变量的取值范围选择上是理解的难点；第二点是几何图形面积的应用，数形结合的思想建立，因为几何图形变化多，函数图象也是变量之间的关系变化，比固定的关系理解上更有难度.
反比例函数知识点多，方法灵活，对学生的思维要求高.如何进行组织反比例函数专题复习，使教学更有效呢？笔者试图从学生认知线索与函数的核心思想为出发点，在设计中力求体现一个原则：以学生为主体原则；突出一种思想：数形结合思想；体现一个价值：数学建模的价值；渗透一个意识：应用建模意识.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题，体会数形结合的思想方法.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）经历复习并巩固反比例函数的相关知识点的过程，掌握反比例函数图象及其性质，能灵活运用数形结合思想解决一些问题；
（2）通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动，进一步发展学生的演绎推理能力、发散思维能力和数学表达能力；
（3）体会数形结合思想、类比思想在数学中的应用，发展学生数学抽象和逻辑推理能力.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生在教师的问题引领下，能够准确回答出反比例函数的相关的知识点，并解决相关问题；
达成目标（2）的标志是：通过自主学习、合作交流等探究活动，在问题解决的过程中提高学生的相关能力；
达成目标（3）的标志是：在应用过程中体会数学思想，感悟数学的本质，提升数学核心素养.
三、学情分析
学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的相关内容，对于函数学习的一般方法和路径有一定的了解，九年级学生也具有一定的对函数图象和性质的分析能力、思维能力和语言表达能力，同时也具有了一定的类比观察能力；但反比例函数与其它函数综合时，学生综合解决问题的能力还不够强，这时需要教师适时的引导和恰当的点拨，形成解决相关问题的基本方法.
从学生学习情况分析，反比例函数的增减性与一次函数增减性容易相混，用函数观点看待方程、不等式、函数间的关系在理解上、思维方式上存在一定困难，用反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，需要一定的生活背景知识，对学生有较高的要求.基于以上分析，从学习函数最本质的思想——数形结合思想为立意，设计脚手架——函数图象，在学生疑难问题解决过程中加深对反比例函数的理解.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：熟练掌握知识之间的关联与转化，提升思维的灵活性和深刻性.
教学支持条件分析
根据本节课内容的特点，利用电脑动画直观的展示图象的形成及变化过程.
五、教法、学法分析
教法：提问法、引导点拨法
学法：自主探究法、合作交流法
在教学中，我很重视让学生主动参与和互相学习，调动学生的多种感官参与学习过程，强调一些学习习惯的养成，力求最大限度地发挥学生的主动性，合作性、发展性、创造性，从而达到激发兴趣、启迪心智、感悟积淀的效果。
六、教学过程设计
1.初步梳理
问题1：到目前为止，我们学习了哪几类函数？我们是从哪几个方面来研究这些函数的？
师生活动：教师提出问题，学生直接口答，并借助课件展初步的思维导图.
设计意图：复习课就是使学生从一个新的高度去审视思考学过的内容，达到优化知识结构，提高能力的目的，让学生感知知识之间的联系，引导学生体会研究函数的一般路径.
问题2：下表是自变量x与函数y的几组对应值，请根据表格数据完成下列问题：
x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
y … 4 2 1 …
（1）请求出该函数的解析式并画出相应函数图象；
（2）在函数图象取A(2，a），B（3，b），C(5,c）
三点，写出a、b、c的大小关系；
（3）当2（4）已知反比例函数 与一次函数y2=kx+n的
图象交于点A(2,a),B(b,-2)：
①求一次函数解析式；
②利用图象直接写出不等式 的解集;
③过点A作AC⊥x轴于C，求△ABC的面积.
师生活动：针对以上每一个问题，教师引导并提出下列问题，学生回答下列问题的同时师生共同构建反比例函数学习的一般路径和方法.
（1）这个表格中每一组对应的x值和y值之间有什么数量关系？
（2）具有这种数量关系的两个变量之间存在一种什么样的函数关系呢？
（3）什么样的函数是反比例函数？如何求反比例函数的解析式？
（4）反比例函数的图象是什么形状？怎么画出它的的图象？
（5）在双曲线上任取一点，向坐标轴作两垂线，围成的矩形面积是多少？三角形面积
是多少？
（6）要想判断a、b、c的大小关系，你有哪些方法？
（7）把A(2，a）改为A（-2，a），a、b、c的大小关系又如何呢？
（8）已知自变量的值，我们可以对函数值进行比较；那已知函数值的范围，是否也可
以求出自变量的范围呢？
（9）当-2（10）如何利用图象解不等式？
设计意图：通过问题解决，引领学生完成反比例函数的梳理，按照一定的逻辑关系将所学知识进行重新建构，使其在深刻理解数学知识的基础上，获取解决问题的一般方法和思路；第（4）问将一次函数与反比例函数融合，建立知识之间的联系，培养学生综合解决问题的能力.
2.类比探究
问题3：小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，进一步研究了
，其研究过程如下：
（1）绘制函数图象：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m= ，n= ；
x … -7 -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 5 …
y … -1 -2 -3 -6 6 m 2 n 1 …
②描点：根据表中的数值描点（x，y），
请补充描出点（1，3）和（3， ）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，
请把图象补充完整；
（2）探究函数性质：
判断下列说法是否正确：
①函数图象与直线x=-1没有交点；
②函数图象关于原点对称；
③函数值y随x的增大而减小.
师生活动：教师引导学生再次经历画图的过程并结合图象进行性质的探究，在进行性质辨析时从以下几个问题去引导学生发现问题的本质：
（1）从图象看，函数图象与直线x=-1没有交点，但函数图象是有延伸性
的，你能从其他角度说明说明为什么函数图象与直线x=-1没有交点吗？
（2）函数与函数之间有什么关系呢？
（3）我们主要从哪几个方面来研究函数的性质？
设计意图：通过平移得到新的研究对象，学生从运动的角度感受函数之间的内在联系，通过类比来研究新函数的图象和性质，从整体上搭建函数学习的一般路径和方法，在学生经历新函数性质的探究过程中，加深对知识的理解和认识.
3.扩展应用
问题4 :已知平行四边形ABCD中，AB边的长为x，AB边上的高为y，平行四边形ABCD的面积为6．
（1）写出y关于x的函数关系式是________，x的取值范围是________；
（2）如图，小明同学经历了列表、描点、连线
的过程，在平面直角坐标系中画出了该函数的图象，
请你在此图中画出该图象关于y轴的对称图形；
（3）请观察、分析(2)中整个图象的特征，写
出符合条件的新函数的解析式________；
（4）观察图象，写出该函数的性质 .
师生活动：学生思考并解答上述题目，对于第（3）
问，进行以下的引导：
（1）观察图象，自变量x和函数y的取值分别有什
么特点？
（2）自变量互为相反数，如何保证函数值为正且相等？
追问：这节课我们分别研究了三个函数、、，大家思考一下：他们之间有什么关联吗？
设计意图：以实际问题为背景建构反比例函数模型，借助函数图象由“形”思“数”，通过分析，得到新的函数，再次探究函数性质，同时通过图形的变换，沟通不同形式的函数之间的联系，让学生关注数学的本质，培养学生思维的灵活性和深刻性，发展学生的逆向思维能力.
4.总结反思
教师与学生一起回顾本节课的主要内容，请同学们回答以下问题：
（1）本节课主要研究对象是什么？
（2）对于反比例函数，我们从哪几个方面进行研究的？
（3）我们在应用函数解决问题时，常用到哪些思想方法？
师生活动：在学生总结交流的基础上，教师再次进行概括，引导学生从宏观角度去了解研究函数的基本路径和方法，构建完整的知识体系.
设计意图：通过小结，学生再次回顾本章学习内容，梳理本章知识间的内在联系，总结方法，建构数学知识、方法、策略体系.
5.布置作业
教科书复习题26
必做题：第2、3、4、5；
选做题：第8、10.
设计意图：回归教材，巩固本节课的复习内容，让学生通过做作业获得成功的体验.作业采用分层形式，面向全体，注重学生的个性差异，让不同的学生在数学上得到不同的发展.
七、学习评价
1.知识复习图形化.知识要点复习不是简单的罗列，而是让学生在观察图形中获取信息，以形助数，梳理知识，形成网络.
2.例题设计层次化.例题设计以数形结合的数学思想为主线，通过问题串形式，层层深入，步步逼近.为了帮助学生更好内化所学的方法，精选了两个尝试练习让学生必要的巩固与深化，促进学生体会反比例函数图象的作用与数行结合的思想，加强对函数的本质理解.
八、目标检测设计
1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
① y = 3x－1 ② y = 2x2
⑤ y = 3x
2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则 k 的值是（ ）
A. 3 B. －3 C. D.
3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
4. 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A.y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
5.如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D的坐标为(2，－3)，点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
6.在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图象解决问题”的学习过程.我们可以借鉴这种方法探究函数 的图象性质．
（1）补充表格，并画出函数图象；
①列表：
x … -3 -1 0 2 3 5 …
y … -1 -4 4 1 …
②描点并连线，画图：
（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征： ；
（3）函数 的图象是由函数的图象如何平移得到的 写出对称中心的坐标； （4）根据上述经验，猜猜函数图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围 ．
设计意图:习题的选择与上课所讲例题相似，及时了解学生对本节知识掌握的情况，体现复习的时效性．
一、内容和内容解析
1.内容
反比例函数的概念、图象、性质及其应用.
2.内容解析
反比例函数是人教版义务教育教科书安排的最后一类函数，其学习基础是函数的概念、函数的表示方法以及反比例关系；函数是初中数学重要的概念，对函数的研究方法一脉相承，因此，我们类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究了反比例函数的概念、图象、性质及其应用.反比例函数不仅在现实世界中具有众多原型，而且在现实世界中具有广泛的应用.
3.设计思想
本课将以反比例节函数的图象为载体，以数形结合的思想为主线，回归基础，通过类比整体建构知识框架,掌握研究函数问题的一般路径和方法,提高学生知识梳理整合能力及综合应用能力，为后续学习其他的函数做好准备.
反比例函数的图象和性质是在学习了一次函数和二次函数之后进行的，相比较前两类函数要简单一些，在增减性的理解上由于分了两个象限，所以比较容易出错，特别是自变量的取值范围选择上是理解的难点；第二点是几何图形面积的应用，数形结合的思想建立，因为几何图形变化多，函数图象也是变量之间的关系变化，比固定的关系理解上更有难度.
反比例函数知识点多，方法灵活，对学生的思维要求高.如何进行组织反比例函数专题复习，使教学更有效呢？笔者试图从学生认知线索与函数的核心思想为出发点，在设计中力求体现一个原则：以学生为主体原则；突出一种思想：数形结合思想；体现一个价值：数学建模的价值；渗透一个意识：应用建模意识.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题，体会数形结合的思想方法.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）经历复习并巩固反比例函数的相关知识点的过程，掌握反比例函数图象及其性质，能灵活运用数形结合思想解决一些问题；
（2）通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动，进一步发展学生的演绎推理能力、发散思维能力和数学表达能力；
（3）体会数形结合思想、类比思想在数学中的应用，发展学生数学抽象和逻辑推理能力.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生在教师的问题引领下，能够准确回答出反比例函数的相关的知识点，并解决相关问题；
达成目标（2）的标志是：通过自主学习、合作交流等探究活动，在问题解决的过程中提高学生的相关能力；
达成目标（3）的标志是：在应用过程中体会数学思想，感悟数学的本质，提升数学核心素养.
三、学情分析
学生已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数的相关内容，对于函数学习的一般方法和路径有一定的了解，九年级学生也具有一定的对函数图象和性质的分析能力、思维能力和语言表达能力，同时也具有了一定的类比观察能力；但反比例函数与其它函数综合时，学生综合解决问题的能力还不够强，这时需要教师适时的引导和恰当的点拨，形成解决相关问题的基本方法.
从学生学习情况分析，反比例函数的增减性与一次函数增减性容易相混，用函数观点看待方程、不等式、函数间的关系在理解上、思维方式上存在一定困难，用反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，需要一定的生活背景知识，对学生有较高的要求.基于以上分析，从学习函数最本质的思想——数形结合思想为立意，设计脚手架——函数图象，在学生疑难问题解决过程中加深对反比例函数的理解.
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：熟练掌握知识之间的关联与转化，提升思维的灵活性和深刻性.
教学支持条件分析
根据本节课内容的特点，利用电脑动画直观的展示图象的形成及变化过程.
五、教法、学法分析
教法：提问法、引导点拨法
学法：自主探究法、合作交流法
在教学中，我很重视让学生主动参与和互相学习，调动学生的多种感官参与学习过程，强调一些学习习惯的养成，力求最大限度地发挥学生的主动性，合作性、发展性、创造性，从而达到激发兴趣、启迪心智、感悟积淀的效果。
六、教学过程设计
1.初步梳理
问题1：到目前为止，我们学习了哪几类函数？我们是从哪几个方面来研究这些函数的？
师生活动：教师提出问题，学生直接口答，并借助课件展初步的思维导图.
设计意图：复习课就是使学生从一个新的高度去审视思考学过的内容，达到优化知识结构，提高能力的目的，让学生感知知识之间的联系，引导学生体会研究函数的一般路径.
问题2：下表是自变量x与函数y的几组对应值，请根据表格数据完成下列问题：
x … -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 …
y … 4 2 1 …
（1）请求出该函数的解析式并画出相应函数图象；
（2）在函数图象取A(2，a），B（3，b），C(5,c）
三点，写出a、b、c的大小关系；
（3）当2
图象交于点A(2,a),B(b,-2)：
①求一次函数解析式；
②利用图象直接写出不等式 的解集;
③过点A作AC⊥x轴于C，求△ABC的面积.
师生活动：针对以上每一个问题，教师引导并提出下列问题，学生回答下列问题的同时师生共同构建反比例函数学习的一般路径和方法.
（1）这个表格中每一组对应的x值和y值之间有什么数量关系？
（2）具有这种数量关系的两个变量之间存在一种什么样的函数关系呢？
（3）什么样的函数是反比例函数？如何求反比例函数的解析式？
（4）反比例函数的图象是什么形状？怎么画出它的的图象？
（5）在双曲线上任取一点，向坐标轴作两垂线，围成的矩形面积是多少？三角形面积
是多少？
（6）要想判断a、b、c的大小关系，你有哪些方法？
（7）把A(2，a）改为A（-2，a），a、b、c的大小关系又如何呢？
（8）已知自变量的值，我们可以对函数值进行比较；那已知函数值的范围，是否也可
以求出自变量的范围呢？
（9）当-2
设计意图：通过问题解决，引领学生完成反比例函数的梳理，按照一定的逻辑关系将所学知识进行重新建构，使其在深刻理解数学知识的基础上，获取解决问题的一般方法和思路；第（4）问将一次函数与反比例函数融合，建立知识之间的联系，培养学生综合解决问题的能力.
2.类比探究
问题3：小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，进一步研究了
，其研究过程如下：
（1）绘制函数图象：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m= ，n= ；
x … -7 -5 -4 -3 -2 0 1 2 3 5 …
y … -1 -2 -3 -6 6 m 2 n 1 …
②描点：根据表中的数值描点（x，y），
请补充描出点（1，3）和（3， ）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，
请把图象补充完整；
（2）探究函数性质：
判断下列说法是否正确：
①函数图象与直线x=-1没有交点；
②函数图象关于原点对称；
③函数值y随x的增大而减小.
师生活动：教师引导学生再次经历画图的过程并结合图象进行性质的探究，在进行性质辨析时从以下几个问题去引导学生发现问题的本质：
（1）从图象看，函数图象与直线x=-1没有交点，但函数图象是有延伸性
的，你能从其他角度说明说明为什么函数图象与直线x=-1没有交点吗？
（2）函数与函数之间有什么关系呢？
（3）我们主要从哪几个方面来研究函数的性质？
设计意图：通过平移得到新的研究对象，学生从运动的角度感受函数之间的内在联系，通过类比来研究新函数的图象和性质，从整体上搭建函数学习的一般路径和方法，在学生经历新函数性质的探究过程中，加深对知识的理解和认识.
3.扩展应用
问题4 :已知平行四边形ABCD中，AB边的长为x，AB边上的高为y，平行四边形ABCD的面积为6．
（1）写出y关于x的函数关系式是________，x的取值范围是________；
（2）如图，小明同学经历了列表、描点、连线
的过程，在平面直角坐标系中画出了该函数的图象，
请你在此图中画出该图象关于y轴的对称图形；
（3）请观察、分析(2)中整个图象的特征，写
出符合条件的新函数的解析式________；
（4）观察图象，写出该函数的性质 .
师生活动：学生思考并解答上述题目，对于第（3）
问，进行以下的引导：
（1）观察图象，自变量x和函数y的取值分别有什
么特点？
（2）自变量互为相反数，如何保证函数值为正且相等？
追问：这节课我们分别研究了三个函数、、，大家思考一下：他们之间有什么关联吗？
设计意图：以实际问题为背景建构反比例函数模型，借助函数图象由“形”思“数”，通过分析，得到新的函数，再次探究函数性质，同时通过图形的变换，沟通不同形式的函数之间的联系，让学生关注数学的本质，培养学生思维的灵活性和深刻性，发展学生的逆向思维能力.
4.总结反思
教师与学生一起回顾本节课的主要内容，请同学们回答以下问题：
（1）本节课主要研究对象是什么？
（2）对于反比例函数，我们从哪几个方面进行研究的？
（3）我们在应用函数解决问题时，常用到哪些思想方法？
师生活动：在学生总结交流的基础上，教师再次进行概括，引导学生从宏观角度去了解研究函数的基本路径和方法，构建完整的知识体系.
设计意图：通过小结，学生再次回顾本章学习内容，梳理本章知识间的内在联系，总结方法，建构数学知识、方法、策略体系.
5.布置作业
教科书复习题26
必做题：第2、3、4、5；
选做题：第8、10.
设计意图：回归教材，巩固本节课的复习内容，让学生通过做作业获得成功的体验.作业采用分层形式，面向全体，注重学生的个性差异，让不同的学生在数学上得到不同的发展.
七、学习评价
1.知识复习图形化.知识要点复习不是简单的罗列，而是让学生在观察图形中获取信息，以形助数，梳理知识，形成网络.
2.例题设计层次化.例题设计以数形结合的数学思想为主线，通过问题串形式，层层深入，步步逼近.为了帮助学生更好内化所学的方法，精选了两个尝试练习让学生必要的巩固与深化，促进学生体会反比例函数图象的作用与数行结合的思想，加强对函数的本质理解.
八、目标检测设计
1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
① y = 3x－1 ② y = 2x2
⑤ y = 3x
2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则 k 的值是（ ）
A. 3 B. －3 C. D.
3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
4. 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ( ) A.y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
5.如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2＝的图象分别交于C、D两点，点D的坐标为(2，－3)，点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数y2＝的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
6.在函数的学习中，我们经历了“确定函数表达式--画函数图象--利用函数图象研究函数性质--利用图象解决问题”的学习过程.我们可以借鉴这种方法探究函数 的图象性质．
（1）补充表格，并画出函数图象；
①列表：
x … -3 -1 0 2 3 5 …
y … -1 -4 4 1 …
②描点并连线，画图：
（2）观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征： ；
（3）函数 的图象是由函数的图象如何平移得到的 写出对称中心的坐标； （4）根据上述经验，猜猜函数图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围 ．
设计意图:习题的选择与上课所讲例题相似，及时了解学生对本节知识掌握的情况，体现复习的时效性．