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人教版A版第一章高二数学选择性必修第一册
第一章空间向量与立体几何章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为( )
A． B．1 C． D．
2．（2020·宜昌高二期末）已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
3．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
4．（2020·全国高二课时练习）若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )
A． B． C． D．与相交
5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
6．（2020·吉化第一高级中学校）已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·延安市第一中学高二月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·黑龙江大庆四中高二月考）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）
9．（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
10．（2020·福建厦门。高二期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面平面
C．面AEF D．二面角的大小为
11．（2020·江苏通州。高二期末）设，，是空间一个基底，则( )
A．若⊥，⊥，则⊥
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使
D．则＋，＋，＋一定能构成空间的一个基底
12．（多选题）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2019·重庆大足。高二期末（理））若，，，则___________．
14．（2020·四川省南充市白塔中学）已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．
15．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考）二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为________．
16．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______.
四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）
17．（2020·全国高二）如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
18．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
19．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
20．（2020·四川内江）如图，在直棱柱中，，，，，.
（1）证明：面面；
（2）求二面角的余弦值.
21．（2019·浙江高三月考）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，已知，．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（2019·河西。天津市新华中学高三月考）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；
（3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
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人教版A版第一章高二数学选择性必修第一册
第一章空间向量与立体几何章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体中，棱长为2，且E是棱AB中点，则的值为( )
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】如图所示
由正四面体的性质可得：
可得：
是棱中点
故选：
【点睛】
本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.
2．（2020·宜昌高二期末）已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若P，A，B，C四点共面，则λ＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
【答案】B
【解析】由P，A，B，C四点共面，可得共面，
，
，解得.
故选:B.
3．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底中基向量与基底基向量对应相等
【答案】C
【解析】项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底, 所以错.
项，空间基底有无数个, 所以错.
项中因为基底不唯一，所以错.
故选.
4．（2020·全国高二课时练习）若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )
A． B． C． D．与相交
【答案】C
【解析】∵直线l的方向向量为，
平面的法向量为，
∴，∴，
∴．
故选C．
5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体中，分别为，的中点，为侧面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为，则， ∴． 则． ∴异面直线与所成角的余弦值为 ,故选A．
6．（2020·吉化第一高级中学校）已知正四棱柱中，，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，面积为
7．（2020·延安市第一中学高二月考）在棱长为2的正方体中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
则M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
设平面D1EF的法向量＝（x，y，z），则 ，取x＝1，得＝（1，0，2），
∴点M到平面D1EF的距离为：d＝，N为EM中点，所以N到该面的距离为
故选：D．
8．（2019·黑龙江大庆四中高二月考）已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）
9．（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）
A． B．平面平面
C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】CD
【解析】
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，，，
所以，，
因为，所以与不垂直，故A错误；
，
设平面的一个法向量为，则
由，得，所以，
不妨取，则，
所以，
同理可得设平面的一个法向量为，
故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；
在长方体中，平面，
故是三棱锥的高，
所以，
故C正确；
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.
故选：CD.
10．（2020·福建厦门。高二期末）正方体中，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面平面
C．面AEF D．二面角的大小为
【答案】BC
【解析】由题可知，在底面上的射影为，而不垂直，
则不垂直于，则选项不正确；
连接和，E、F、G、H分别为、BC、CD、BB、的中点，
可知，所以平面，
则平面平面，所以选项正确；
由题知，可设正方体的棱长为2，
以为原点，为轴，为轴，为轴，
则各点坐标如下：
，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
得平面的法向量为，
所以，所以平面，则选项正确；
由图可知，平面，所以是平面的法向量，
则.
得知二面角的大小不是，所以不正确.
故选：BC.
11．（2020·江苏通州。高二期末）设，，是空间一个基底，则( )
A．若⊥，⊥，则⊥
B．则，，两两共面，但，，不可能共面
C．对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使
D．则＋，＋，＋一定能构成空间的一个基底
【答案】BCD
【解析】对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，所以A选项错误.
对于B选项，根据基底的概念可知，，两两共面，但，，不可能共面.
对于C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.
对于D选项，由于，，是空间一个基底，所以，，不共面.假设＋，＋，＋共面，设，化简得，即，所以，，共面，这与已知矛盾，所以＋，＋，＋不共面，可以作为基底.所以D选项正确.
故选：BCD
12．（多选题）如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A．与平面所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角的大小为时，
D．存在某个位置，使得到平面的距离为
【答案】BC
【解析】
如图所示：
A项：取的中点，连结、，
因为四边形是菱形，是线段的中点，
所以,
平面，平面，
所以平面，所以平面，
所以在平面的射影为，
即与平面所成角，
，三角形是等腰三角形，
当时，与平面所成角为，故A错误；
B项：当时，取的中点，
可得，，故平面，，故B正确；
C项：因为四边形是菱形，是线段的中点，
所以，，
因为是平面与平面的交线，
所以即平面与平面所成角，
因为二面角的大小为，所以，
因为，所以，故C正确；
D项：因为，所以如果到平面的距离为，
则平面，，，，
，则，显然不可能，故D错误，
故选：BC.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2019·重庆大足。高二期末（理））若，，，则___________．
【答案】3.
【解析】因为，，所以
所以故答案为：3
14．（2020·四川省南充市白塔中学）已知平面的一个法向量，，，且，则直线与平面所成的角为______．
【答案】
【解析】设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成的角为．故答案为：．
15．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考）二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为________．
【答案】
【解析】由条件，知，，.
.
∴，又∵，∴，∴二面角的大小为.
故答案为：.
16．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点在平面上，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是______.
【答案】
【解析】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则点到平面距离为，①
点到平面距离为，②
由①②可得，
所以到平面的距离为.
故答案为:.
四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）
17．（2020·全国高二）如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）过作于，
则，，
所以的坐标为，
又因为，所以．
（2）依题设有点坐标为，所以，，
则与的夹角的余弦值为．
18．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，．
（1）设，，，用向量，，表示，并求出的长度；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1），
因为，同理可得，
所以．
（2）因为，所以，
因为，
所以．
所以异面直线与所成角的余弦值为．
19．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】证明：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
在长方体中，，，、分别是、的中点，
，1，，，1，，，0，，
平面的法向量可设为，1，，，
平面，平面．
（2），0，，，2，，，2，，，1，，
，，
，，
，
平面．
20．（2020·四川内江）如图，在直棱柱中，，，，，.
（1）证明：面面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：平面，平面，∴.
又∵，且，平面，
∴平面.
又∵平面，
∴面面.
（2）易知、、两两垂直，
以A为坐标原点，、、所在直线分别为x轴、y轴、z轴
建立如图的空间直角坐标系，
设，则相关各点的坐标为
，，，，
，，.
从而，.
∵，∴
解之得或（舍去）.
，
设是平面的一个法向量，
则，即
令，则.
同理可求面的法向量为.
∴.
又∵二面角是锐二面角，
∴二面角的余弦值为.
21．（2019·浙江高三月考）如图，在四棱锥中，平面，，为线段的中点，已知，．
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）
证明：连接交于点，连接
,,四边形是平行四边形，
是中点，又为线段的中点，
,又平面，平面
直线平面
（2）平面,作,建立如图所示空间直角坐标系
由已知，
得,,,
,
设平面的法向量
, ，不妨取
所以直线与平面所成角的正弦值为
22．（2019·河西。天津市新华中学高三月考）如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的正弦值；
（3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）
【解析】（1）证明：四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面，
平面．
取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，则，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，
设平面的法向量，
，，
由，取，得，
又，，则，
又平面，平面；
（2）解：设平面的法向量，
，，
由，取，可得，
，
，
即平面与平面所成二面角的正弦值为；
（3）解：点在线段上，设，，，
，0，，2，，，，
又平面的法向量，设直线与平面所成角为，
，
，即，
，，．
，，，则，
的长为．
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