课件20张PPT。25.3
用频率估计概率1.频率
在一个试验中,_________的次数与_____________的比值叫做
事件发生的频率.
2.频率的特性
对一般的随机事件,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,
一个事件出现的频率,显示出一定的_____性.事件发生试验的总次数稳定3.频率与概率的关系
在大量重复试验中,如果事件A发生的频率 稳定于某个常数b,
则该事件发生的概率P(A)=__.
4.概率的范围
对于一个随机事件A,用频率估计的概率不可能小于__,也不可能
大于__.b01【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.试验得到的频率与概率不可能相等.( )
2.只要试验的次数足够大,试验得到的频率值近似地看成该事
件的概率值.( )
3.当试验的次数很大时,概率稳定在频率附近.( )×√×知识点一 频率与概率的关系
【示范题1】(2013·青岛中考)一个不透明的口袋装有除颜色外都相同的五个白球和若干个红球,在不允许将球倒出来数的情况下,小亮为了估计其中的红球数,采用如下方法:先将口袋中的球摇匀,再从口袋里随机摸出一球,记下颜色,然后把它放回口袋中.不断重复上述过程.小亮共摸了100次,其中有10次摸到白球.因此小亮估计口袋中的红球大约有( )
A.45个 B.48个 C.50个 D.55个【思路点拨】本题考查用样本估计总体的知识,确定白球出现
的概率是解题的关键.题中白球出现的频率为 =0.1,而红、
白球总数为5÷0.1=50(个),进而可得红球个数.
【自主解答】选A.∵5个白球出现的频率为 =0.1,∴红、白
球总数为5÷0.1=50(个),得红球数为50-5=45(个).【想一想】
连续10次抛掷一枚均匀的硬币,正面朝上的次数为8次,这与计算的概率0.5相差很大,这是为什么?
提示:通过试验的方法估计正面朝上的概率,只有试验的次数足够多,事件发生的频率才可以接近概率值.【微点拨】频率与概率的区别【方法一点通】
用频率估计概率的“三个步骤”
1.判断:先判断某个试验的结果不是有限的或各种可能结果不一定是等可能的.
2.试验:大量重复试验直至某事件发生的频率在某一数值附近波动.
3.估计:用上述稳定数值估计该试验的概率.知识点二 频率与概率关系的应用
【示范题2】某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率,结果如下表所示:(1)根据表中数据,估计这种幼树移植成活的概率是多少?(精确到0.1)
(2)该地区已经移植这种幼树4万棵,那么这种幼树大约能成活多少棵?
(3)在(2)的条件下,如果该地区计划成活9万棵幼树,还需要移植这种幼树多少棵?【解题探究】
(1)根据表格中的频率,可以发现这些数值在哪个数据上下波动?
提示:0.9.
(2)在移植的4万棵幼树中,成活的数量与哪个数值有关?
提示:幼树成活的概率.
(3)要保证有9万棵成活的幼树,大约需要移植多少棵?
提示:10万.【尝试解答】(1)观察表格发现,这种幼树成活的概率是0.9.
(2)4×0.9=3.6(万).
(3)9÷0.9=10(万),10-4=6(万).【想一想】
示范题2中树苗的成活率与树苗成活的频率、树苗成活的概率有什么关系?
提示:成活率与成活的频率,都是树苗成活的棵树与总棵数的比值,当树苗的数量较大时,成活的频率稳定在某一个数值时,该数值就可以作为树苗成活的概率.【备选例题】某射手在相同的条件下进行射击训练,结果如下:(1)分别计算表中击中靶心的频率,并填表.(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率大约是多少?【解析】(1)填表如下:(2)观察表格中的数据,可以发现击中靶心的频率在0.9附近波动,即击中靶心的概率大约是0.9.【方法一点通】
频率与概率关系应用的“三个步骤”
1.准确计算出部分事件出现的频率.
2.确定合理的估计方法,得到事件的概率.
3.由概率的意义求解.提技能·题组训练
频率与概率的关系
1.以下说法合理的是( )
A.小明在10次抛图钉的试验中发现3次钉尖朝上,由此他说钉尖朝上的概率是30%
B.抛掷一枚普通的正六面体骰子,出现6的概率是的意思是每6次就有1次掷得6
C.某彩票的中奖机会是2%,那么如果买100张彩票一定会有2张中奖
D.在一次课堂进行的试验中,甲、乙两组同学估计硬币落地后,正面朝上的概率分别为0.48和0.51
【解析】选D.A项中试验的次数太少,所求的频率不够稳定,不具备代表性;对于B项和C项,概率是刻画事件发生可能性大小的一个理论数字,并不是在每次试验中一定发生;所以选项A,B,C中的说法都不正确.对于D项,用频率来估计概率时,误差是可以存在的,可以用0.48和0.51来近似地刻画硬币正面朝上的概率.
2.掷一枚质地均匀的硬币100次,下列说法正确的是( )
A.每两次必有1次正面向上
B.可能有50次正面向上
C.必有50次正面向上
D.非常可能有100次正面向上
【解析】选B.根据概率与频率的关系,每次都有可能发生两种情况,所以选项A,C,D不正确,选项B是正确的.
3.(2013·贵阳中考)在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球,通过多次摸球实验后,发现摸到白球的频率约为40%,估计袋中白球有 个.
【解析】40%×10=4.
答案:4
4.如图,均匀的正四面体的各面依次标有1,2,3,4四个数字.小明做了60次投掷试验,结果统计如下:
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
(1)计算上述试验中“4朝下”的频率是 .
(2)“根据试验结果,投掷一次正四面体,出现2朝下的概率是”的说法是
的(填“正确”或“错误”).
(3)随机投掷正四面体两次,请用列表法或画树状图法,求两次朝下的数字之和大于4的概率.
【解析】(1)“4朝下”的频率:=.
答案:
(2)因为试验的次数太少,不能用试验频率来估计概率,所以说法是错误的.
答案:错误
(3)列表如下
和
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
可知共有16种等可能情况,其中两次朝下的数字之和大于4的有10种,所以P(数字之和大于4)==.
频率与概率关系的应用
1.绿豆在相同条件下的发芽试验,结果如下表所示:
每批
粒数n
100
300
400
600
1 000
2 000
3 000
发芽的
粒数m
96
282
382
570
948
1 912
2 850
发芽的
频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
则绿豆发芽的概率估计值是( )
A.0.960 B.0.950 C.0.940 D.0.900
【解析】选B.由表格易知,绿豆在相同条件下的发芽试验,其中一批3000粒绿豆的发芽的频率为0.950,所以可以估计绿豆发芽的概率估计值是0.950.
2.(2013·扬州中考)为了估计鱼塘中鱼的条数,养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记,然后放归鱼塘,经过一段时间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中,再打捞200条鱼,发现其中带标记的鱼有5条,则鱼塘中估计有 条鱼.
【解题指南】求出带标记的鱼占的百分比,然后运用样本的特征估计总体的特征.
【解析】设鱼塘中估计有x条鱼,则5∶200=30∶x,
解得:x=1200.
答案:1200
3.一只纸杯由于上下大小不一,将它从一定高度下掷时,落地反弹后可能是杯口朝上,可能是杯口朝下,也可能是横卧,为了估计出杯子横卧的概率,同学们做了掷纸杯的试验,试验数据如表:
试验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
纸杯横卧次数
14
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.56
0.55
(1)请将数据表补充完整.
(2)画出纸杯横卧的频率分布折线图.
(3)如果试验继续进行下去,根据上表的数据,这个试验的频率将稳定在它的概率附近,请你估计这个概率是多少.
【解析】(1)所填数字为:40×0.45=18,66÷120=0.55.
(2)折线图:
(3)根据表中数据,试验频率为0.7,0.45,0.63,0.59,0.52,0.55,0.56,0.55稳定在0.55左右,故估计概率的大小为0.55.
【知识拓展】频率与误差
试验的次数不一样,试验的条件不同,试验的误差也不尽相同,得到的结论会不尽相同.我们可以用多次试验的平均值来减小误差.另外试验具有偶然性,每一次即使试验的条件相同,在试验的次数相同的情况下,得到的结论也未必完全一样.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
韩笑的爸爸这几天迷上了某一种彩票,韩笑的爸爸昨天一次买了10注这种彩票,结果中了一注一等奖,他高兴地说:“这种彩票就是好,中奖率高,中一等奖的概率是10%!”韩笑的爸爸说的对吗?
(1)错因:
(2)纠错:
.
答案：(1)由于本题试验的次数(即买彩票的注数)太少,不能较好地说明中一等奖的概率
(2)韩笑的爸爸的说法是错误的,因为:试验的次数太少,不能用中一等奖的频率去估计概率
课时提升作业(三十七)
用频率估计概率
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·扬州中考)下列说法正确的是( )
A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有80%的时间都在降雨
B.“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
C.“彩票中奖的概率是1%”表示买100张彩票肯定会中奖
D.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是2”这一事件发生的频率稳定在附近
【解析】选D.选项A表示该市明天下雨的可能性很大;概率是针对实验数据非常多时趋近的一个数,所以选项B和C所表达的意义不是说在次数很少的情况下必然发生,所以都是错的,选项D是正确的.
【知识归纳】概率与频率的关系
(1)概率是指某件事情发生的可能性大小,是在试验次数非常多的情况下趋近稳定的数值,而不是有限次地试验后必然就发生的事情.
(2)频率是波动的,而概率是一个定值,当试验的次数不多时,事件发生的频率与概率甚至差异很大.
2.某校男生中,若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查,抽到喜欢足球的同学的频率是,这个的含义是( )
A.只发出5份调查卷,其中三份是喜欢足球的答卷
B.在答卷中,喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8
C.在答卷中,喜欢足球的答卷占总答卷的
D.在答卷中,每抽出100份问卷,恰有60份答卷是喜欢足球
【解析】选C.根据频率与概率的关系,可得在答卷中,喜欢足球的答卷占总答卷的.
3.(2013·铁岭中考)在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球,它们除颜色外其他相同.通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%附近,则口袋中白球可能有( )
A.16个 B.15个 C.13个 D.12个
【解析】选D.设白球有x个,根据题意得:=25%,解得x=12.
【知识归纳】频数与频率的含义
(1)频数是指每个对象出现的次数.
(2)频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比).
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.在如图所示的图案中,黑、白两色的直角三角形都全等.将它作为一个游戏盘,游戏规则是:按一定距离向盘中投镖一次,扎在黑色区域为甲胜,扎在白色区域为乙胜,你认为这个游戏 .(填“公平”或“不公平”)
【解析】因为黑、白两色的直角三角形都全等,且个数也分别相等,所以黑、白两色直角三角形面积的和也分别相等.又因为黑、白两色的弓形的弦长都是直角三角形的斜边,所以黑、白两色弓形面积也分别相等.因此黑、白两色区域面积各占圆面积的50%,即镖扎在黑、白两色区域面积的概率均为50%,故此游戏公平.
答案:公平
【易错提醒】几何型概率涉及几何图形的长度、面积等的计算,在计算几何概率时常用到圆、三角形、四边形等知识,所以要注意复习所学知识,温故而知新,活学活用.
5.(2013·长沙中考)在一个不透明的盒子中装有n个小球,它们只有颜色上的区别,其中有2个红球,每次摸球前先将盒子中的球摇匀,随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中,通过大量重复摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定于0.2,那么可以推算出n大约是 .
【解题指南】解答此类问题的关键是先通过大量重复摸球试验,由频率去估计概率,再由概率公式建立等式,使问题得以解决.
【解析】由摸到红球的频率稳定于0.2,可推测摸到红球的概率是0.2,根据概率公式可得=0.2,解得n=10.
答案:10
6.在研究抛掷分别标有1,2,3,4,5,6的质地均匀的正六面体骰子时,提出了一个问题:连续抛掷三次骰子,正面朝上的点数是三个连续整数的概率有多大,假设下表是几位同学抛掷骰子的试验数据.请你根据这些数据估计上面问题的答案大约是 .(精确到0.01)
投掷情况
投掷次数
1
2
3
4
5
6
7
8
试验次数
100
150
200
250
300
350
400
450
三个连续整数的次数
10
12
20
22
25
33
36
41
【解析】通过试验,可知出现三个连续整数的频率分别是:0.1,0.08,0.1,0.09,0.08,0.09,0.09,0.09,据此估计,正面朝上的点数是三个连续整数的概率是0.09.
答案:0.09
三、解答题(共26分)
7.(12分)某人承包了一池塘养鱼,他想估计一下收入情况.于是让他上初三的儿子帮忙.他儿子先让他从鱼塘里随意打捞上了60条鱼,把每条鱼都作上标记,放回鱼塘;过了2天,他让他父亲从鱼塘内打捞上了50条鱼,结果里面有2条带标记的.假设当时这种鱼的市面价为2.8元/斤,平均每条鱼估计2.3斤,你能帮助他估计一下今年的收入情况吗?
【解析】设鱼塘内有x条鱼,根据题意,得=,解得x=1500.
所以今年的收入为:1500×2.3×2.8=9660(元).
答:可以估计他今年的收入为9660元.
【培优训练】
8.(14分)小红和小明在操场做游戏,他们先在地上画了半径分别为2 m和3 m的同心圆(如图),蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子,掷中阴影小红胜,否则小明胜,未掷入圈内不算,你来当裁判.
(1)你认为游戏公平吗?为什么?
(2)游戏结束,小明边走边想,“反过来,能否用频率估计概率的方法,来估算非规则图形的面积呢?”.请你设计方案,解决这一问题(要求画出图形,说明设计步骤、计算方法).
【解析】(1)不公平.∵P(阴)==,
即小红胜率为,小明胜率为,
∴游戏对双方不公平.
(2)能利用频率估计概率的试验方法估算非规则图形的面积.
设计方案:①设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来(如正方形,其面积为S).
如图所示:
②往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子,掷在图外不作记录);
③当掷点数充分大(如1万次)时,记录并统计结果,设掷入正方形内的为n次,其中m次掷入非规则图形内;
④设非规则图形的面积为S',用频率估计概率,即频率P'(掷入非规则图形内)=≈概率P(掷入非规则图形内)=,故≈,所以S'=.
