课件24张PPT。25.2 用列举法求概率
第2课时1.列表法求概率
(1)使用条件:可能出现的结果较多、有限、各种结果出现的
可能性_____.
(2)适用范围:一次试验要涉及_____因素.
(3)具体方法:选择其中的一次操作或一个条件为_____,另一次
操作或另一个条件为_____,列出表格计算概率.均等两个横行竖列2.树状图法求概率
当一次试验涉及_________的因素时,列表法就不方便了,为不
重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用_________.
(1)使用条件:可能出现的结果较多、有限,各种结果出现的可
能性_____.两个以上树状图法均等(2)适用范围:一次试验要涉及_________________因素.
(3)具体方法:先画出第一个因素产生的_____________,再在第
一步的每个可能结果的分支上画出___________产生的可能结
果,以此类推.两个及两个以上的可能性的结果第二个因素【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.“同时抛两枚骰子”与“把一枚骰子连续抛两次”所涉及的
因素不相同.( )
2.小红上学要经过三个十字路口,每个路口遇到红、绿灯的机
会都相同,小红希望上学时经过每个路口都是绿灯,但实际这样
的机会是 .( )
3.投一枚均匀的小正方体,小正方体的每个面上分别标有数字
1,2,3,4,5,6.每次试验投两次,两次朝上的数字的和为7的概率
是 .( )×√√知识点一 列表法求事件的概率
【示范题1】(2013·包头中考)甲、乙两人在玩转盘游戏时,把2个可以自由转动的转盘A,B分别分成4等份、3等份的扇形区域,并在每一区域内标上数字(如图所示),指针的位置固定,游戏规则:同时转动两个转盘,当转盘停止后,若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数时,甲胜,若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时,乙胜,如果落在分割线上,则需要重新转动转盘.(1)试用列表的方法,求甲获胜的概率.
(2)请你判断该游戏对双方是否公平.【思路点拨】(1)转动转盘A,得到的各种结果做为横行,转动转盘B,得到的各种结果做为竖列,列表后得出事件的各种结果数,求出甲获胜的概率.(2)求出乙获胜的概率,然后利用(1)中的结果比较两者获胜的概率是否相等.【自主解答】(1)列表如下:因为共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，所以
P(甲胜)=
(2)因为“和是4的倍数”的结果有3种，所以P(乙胜)=
因为 所以这个游戏不公平.【想一想】
示范题1中用列表法求事件的概率,表中的(3,4)和(4,3)所表示的含义相同吗?
提示:不相同.尽管在有些情况下的结果是相等的,但(3,4)和(4,3)不是相同的事件.【备选例题】(2013·茂名中考)在某校举行的“中国学生营养日”活动中,设计了抽奖环节:在一只不透明的箱子中有3个球,其中2个红球,1个白球,它们除颜色外均相同.
(1)随机摸出一个球,恰好是红球就能中奖,则中奖的概率是多少?
(2)同时摸出两个球,都是红球就能中特别奖,则中特别奖的概率是多少?【解析】(1)P(中奖)=
(2)列表得:∴P(中特别奖)=【方法一点通】
列表法求概率的“三个步骤”
1.列表:分清一次试验所涉及的两个因素,一个为行标,另一个为列标,制作表格.
2.计数:通过表格中的数据,分别求出某事件发生的数量n与该试验的结果总数m.
3.计算:代入公式P(A)= .知识点二 用树状图求事件的概率
【示范题2】甲口袋中装有两个相同的小球,它们的标号分别为2和5,乙口袋中装有两个相同的小球,它们的标号分别为4和9,丙口袋中装有三个相同的小球,它们的标号分别为1,6,7.从甲、乙、丙3个口袋中各随机地取出1个小球.若用取出的三个小球的标号分别表示三条线段的长,求这些线段能构成三角形的概率.【解题探究】
(1)从甲、乙和丙口袋中随机各取1个球,一共有几种情况?
提示:一共有12种情况,标号分别是:2,4,1;2,4,6;2,4,7; 2,9,1;2,9,6;2,9,7;5,4,1;5,4,6;5,4,7;5,9,1;5,9,6;5,9,7.
(2)三条线段符合什么条件就可以组成一个三角形?
提示:两短边的和大于最长边.【尝试解答】画树状图,如下:
一共有12种情况,能够组成三角形的有4种情况.即能构成三角
形的概率P= 【想一想】
在一次试验中分为两个步骤,如果第一个步骤有2种可能性,第二个步骤有3种可能性,那么这个试验一共有几种可能性?有什么规律?
提示:6种可能性;这个试验可能性的结果数等于每一个步骤结果数的乘积.【备选例题】(2013·淄博中考)假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同.如果三枚卵全部成功孵化，则三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是( )【解析】选B.画树状图如下(C代表雌鸟,X代表雄鸟):
从树状图可以看出,一共有8种可能性,其中符合条件的有3种,
即 【方法一点通】
用树状图求概率的“四个步骤”
1.定:确定该试验的几个步骤、顺序、每一步可能产生的结果.
2.画:列举每一环节可能产生的结果,得到树状图.
3.数:数出全部均等的结果数m和该事件出现的结果数n.
4.算:代入公式P(A)= .提技能·题组训练
列表法求事件的概率
1.(2013·天津中考)在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸出一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号之和等于4的概率是 .
【解析】列表如下:
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
一共有16种情况,标号和为4的情况有3种情况,所以P(标号的和为4)=.
答案:
2.(2013·佛山中考)在1,2,3,4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数,则组成的两位数大于40的概率是 .
【解析】用列表法列出所有可能事件数:
1
2
3
4
1
12
13
14
2
21
23
24
3
31
32
34
4
41
42
43
所有可能事件数为12,而符合条件的有3种,所以概率为=.
答案:
3.(2013·聊城中考)某市举办“体彩杯”中学生篮球赛,初中男子组有市直学校的A,B,C三个队和县区学校的D,E,F,G,H五个队.如果从A,B,D,E四个队与C,F,G,H四个队中各抽取一个队进行首场比赛,那么参加首场比赛的两个队都是县区学校队的概率是 .
【解析】用列表法列出所有可能事件数:
A
B
D
E
C
(C,A)
(C,B)
(C,D)
(C,E)
F
(F,A)
(F,B)
(F,D)
(F,E)
G
(G,A)
(G,B)
(G,D)
(G,E)
H
(H,A)
(H,B)
(H,D)
(H,E)
从表格中可以看出所有可能的情况一共有16种,两个队都是县区学校队的有(F,D),(F,E),(G,D),(G,E),(H,D),(H,E),共有6种,因此两个队都是县区学校队的概率是=.
答案:
4.小明与甲、乙两人一起玩“手心手背”的游戏.他们约定:如果三人中仅有一人出“手心”或“手背”,则这个人获胜;如果三人都出“手心”或“手背”,则不分胜负,那么在一个回合中,如果小明出“手心”,则他获胜的概率是 .
【解析】列表如下:
乙
甲
手心
手背
手心
手心、手心
手心、手背
手背
手背、手心
手背、手背
∵小明出的是手心,甲、乙两人出手心、手背的所有可能有4种,其中都是手背的情况只有1种,∴P(小明获胜)=.
答案:
5.如图,有一个可以自由转动的转盘被平均分成3个扇形,分别标有1,2,3三个数字.小王和小李各转动一次转盘为一次游戏,当每次转盘停止后,指针所指扇形内的数为各自所得的数,一次游戏结束得到一组数(若指针指在分界线时重转).
(1)请你用列表的方法表示出每次游戏可能出现的所有结果.
(2)求每次游戏结束得到的一组数恰好是方程x2-3x+2=0的解的概率.
【解析】(1)列表如下:
小王
小李
1
2
3
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(2)解方程x2-3x+2=0得x1=1,x2=2,因为共有9种结果,有2种是方程的解,所以P(是方程的解)=.
用树状图求事件的概率
1.(2013·东营中考)2013年“五一”期间,小明与小亮两家准备从东营港、黄河入海口、龙悦湖中选择一景点游玩,小明与小亮通过抽签方式确定景点,则两家抽到同一景点的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选A.画出树状图得:
一共有9种可能结果,其中小明和小亮抽到同一景点的有3种可能结果,所以小明和小亮抽到同一景点的概率P=.
2.如图,电路图上有四个开关A,B,C,D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯泡发光.任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】选C.画树状图如图:
结果任意闭合其中两个开关的情况共有12种,其中能使小灯泡发光的情况为有D的情况,有6种,小灯泡发光的概率是.
3.(2013·济宁中考)甲、乙、丙三人站成一排合影留念,则甲、乙二人相邻的概率是 .
【解析】画树状图得:
∵共有6种等可能的结果,甲、乙二人相邻的有4种情况,
∴甲、乙二人相邻的概率是:=.
答案:
【知识归纳】列表法和树状图法适用的范围
(1)在一次试验中,如果包括两个步骤或两个因素,列表法和树状图法都可以用来分析事件发生的可能性.
(2)在一次试验中,如果包括两个以上步骤或两个以上因素,为了直观地分析事件发生的可能性,一般采用树状图法.
4.(2013·仙桃中考)有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙能打开同一把锁,第三把钥匙能打开另一把锁.任意取出一把钥匙去开任意的一把锁,一次能打开锁的概率是 .
【解析】分别用a与b表示锁,用A1、A2表示能打开a锁的钥匙,用B表示能打开b锁的钥匙.画树状图得:
则可得共有6种等可能的结果;∵一次打开锁的有3种情况,∴一次能打开锁的概率是=.
答案:
5.(2013·常德中考)某书店参加某校读书活动,并为每班准备了A,B两套名著,赠予各班甲、乙两名优秀读者,以资鼓励.某班决定采用游戏方式发放,其规则如下:将三张除了数字为2,5,6不同外其余均相同的扑克牌,字朝下随机平铺于桌面,从中任取2张,若牌面数字之和为偶数,则甲获A名著;若牌面数字之和为奇数,则乙获A名著.你认为此规则合理吗?为什么?
【解析】我认为此规则不合理.画树状图如下:
可知等可能的6种结果中,和为偶数的有2次,和为奇数的有4次,
∴P==,P==,则乙获得A名著的概率大些,所以此规则不合理.
【错在哪？】作业错例 课堂实拍
现有一本故事书,姐妹俩商定通过摸球游戏定输赢,游戏规则是:用4个完全相同的小球,分别标上1,2,3,4后放进一个布袋内,姐妹俩同时从布袋中任意摸出一个小球,若两人摸出的小球标号之和为偶数,则姐姐赢,两人摸出的小球标号之和为奇数,则妹妹赢.这个游戏规则对双方公平吗?请利用列表法说明理由.
(1)找错:从第 步开始出现错误.
(2)纠错:
.答案：(1)①
(2)列表如下:
妹
姐
1
2
3
4
1
(1,2)
(1,3)
(1,4)
2
(2,1)
(2,3)
(2,4)
3
(3,1)
(3,2)
(3,4)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
一共有12种情况，姐姐赢有4种情况：(3，1)，(4，2)，(1，3)，(2，4)，所以P(姐姐赢)=妹妹赢有8种情况，所以P(妹妹赢)=所以该游戏对双方不公平
课时提升作业(三十六)
用列举法求概率(第2课时)
(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2013·泰安中考)有三张正面分别写有数字-1,1,2的卡片,它们背面完全相同,现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张,以其正面的数字作为a的值,然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张,以其正面的数字作为b的值,则点(a,b)在第二象限的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选B.列表如下:
共有6种等可能结果,其中在第二象限的点有(-1,1),(-1,2)两种,故点(a,b)在第二象限的概率是=.
2.(2013·绵阳中考)“服务他人,提升自我”,七一学校积极开展志愿者服务活动,来自初三的5名同学(3男2女)成立了“交通秩序维护”小分队,若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护,则恰好是一男一女的概率是( )
A. B. C. D.
【解题指南】解答本题的关键是为了保证每一个事件发生的可能性是相等的,可以把3名男同学和2名女同学区分开来,即用男1、男2、男3、女1、女2表示各个事件.
【解析】选D.根据题意画出树状图如下:
一共有20种情况,恰好是一男一女的有12种情况,
所以P(恰好是一男一女)==.
【易错提醒】(1)每一个事件发生的可能性是相等的,是利用列表法或树状图法求事件概率的前提条件.
(2)无论是列表法还是树状图法,在分析事件时,一定要做到“不重不漏”地把各个可能性都列出来.
3.从甲地到乙地有a,b,c三条道路可走,小王、小李、小张都任选一条道路从甲地到乙地,则恰有两人走a道路的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选D.画树状图如下:
P(恰有两人走a道路)==.
二、填空题(每小题4分,共12分)
4.(2013·襄阳中考)襄阳市辖区内旅游景点较多.李老师和刚初中毕业的儿子准备到古隆中、水镜庄、黄家湾三个景点去游玩.如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同),那么他们都选择古隆中景点为第一站的概率是 .
【解析】根据题意,用树状图表示如下:
∴他们都选择古隆中景点为第一站的概率为P=.
答案:
5.(2013·株洲中考)已知a,b可以取-2,-1,1,2中的任意一个值(a≠b),则直线y=ax+b的图象不经过第四象限的概率是 .
【解题指南】解答本题所需要的知识点是:
(1)用列表法或树状图法求事件的概率.
(2)直线y=ax+b的位置与a,b的关系.
【解析】列表如下:
b
a
-2
-1
1
2
-2
/
二三四
一二四
一二四
-1
二三四
/
一二四
一二四
1
一三四
一三四
/
一二三
2
一三四
一三四
一二三
/
一共有12种情况,符合条件的有两种,
∴P(直线不经过第四象限)==.
答案:
6.合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题,学生A的座位如图所示,学生B,C,D随机坐到其他三个座位上,则学生B坐在1号座位的概率是 .
【解析】画树状图如下:
共有6种等可能性,其中B坐1号位的有2种,故P(B坐1号)==.
答案:
三、解答题(共26分)
7.(8分)一次物理竞赛中,有一道四选二的双项选择题,评分标准是:多选或只要选错一项就不得分,只选一项且对得1分,全对得3分.
(1)小娟在不会做的情况下,根据题意决定任选一项作为答案,求她得到1分的概率.
(2)小娜在不会做的情况下,根据题意决定任选两项作答案,用列表法表示小娜答案的所有可能结果,并求她得到3分的概率.
【解析】(1)P(得到1分)==.
(2)列表如下:
所有的可能结果数共有12种,其中任选两项作答案得到3分有2种,所以P(得到3分)==.
8.(8分)今年夏季,我国某省发生严重的洪涝灾害,为了防止传染病的发生.当地医疗部门准备从甲、乙、丙三位医生和A,B两名护士中选取一位医生和一名护士前去支援.
(1)若随机选取一位医生和一名护士,用列表法表示所有可能出现的结果.
(2)求恰好选中医生甲和护士A的概率.
【解析】(1)用列表法表示所有可能结果如下:
护士
医生
A
B
甲
(甲,A)
(甲,B)
乙
(乙,A)
(乙,B)
丙
(丙,A)
(丙,B)
(2)一共有6种情况,符合条件的有1种,P(恰好选中医生甲和护士A)=.
【变式训练】(2013·长春中考)甲、乙两人各有一个不透明的口袋,甲的口袋中装有1个白球和2个红球,乙的口袋中装有2个白球和1个红球,这些球除颜色外其他都相同,甲、乙两人分别从各自口袋中随机取出1个球,用画树状图(或列表)的方法,求两人摸出的球颜色相同的概率.
【解析】用树状图表示如下:
或用列表法表示如下:
∴P(两人摸出的球颜色相同)=.
【培优训练】
9.(10分)(2013·扬州中考)端午节期间,扬州某商场为了吸引顾客,开展有奖促销活动,设立了一个可以自由转动的转盘,转盘被分成4个面积相等的扇形,四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样(如图).规定:同一日内,顾客在本商场每消费满100元就可以转转盘一次,商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券,某顾客当天消费240元,转了两次转盘.
(1)该顾客最少可得 元购物券,最多可得 元购物券.
(2)求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率.
【解析】(1)画树状图如下:
如果是列表法,列表如下:
第一次
第二次
10
20
30
40
10
20
30
40
50
20
30
40
50
60
30
40
50
60
70
40
50
60
70
80
由此可见:该顾客最少可得20元购物券,最多可得80元购物券.
(2)树状图中可以看出,一共有16种等可能的结果,该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况,所以该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为=.
