北师大版数学八年级下册4.3公式法 第1课时 教案

4.3《公式法》
第1课时
一、教学目标
1．经历通过整式乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2 的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。
2. 会用平方差公式分解因式。
二、教学重点及难点
重点：运用平方差公式分解因式．
难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式．正确判断因式分解的彻底性．
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程
【问题导入】
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法．
问题1：请同学们观察多项式x2－25，9x2－y2，它们有什么共同的特征？
讨论结果：因为多项式x2－25，9x2－y2，可分别化为x2－52和(3x)2－y2的形式，所以它们的共同特征是：都是两个数平方差的形式．
问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积，并与同伴交流．
讨论结果：多项式x2－25，9x2－y2的共同特征都是两项，且都是差的形式，各项都能写成平方的形式：x2－25＝x2－52＝(x＋5)(x－5)；9x2－y2＝(3x)2－y2＝(3x＋y)(3x－y)．
事实上把乘法公式(a＋b)(a－b)= a2－b2反过来，就得到平方差公式a2－b2=(a＋b)(a－b)．
设计意图：利用因式分解是多项式乘法的相反过程这种关系找到新的因式分解的方法． 培养学生观察总结能力．
【探究新知】
1．平方差公式的再认识
问题1：上面我们将一个具备一定特征的多项式进行了分解因式，这里的特征就是该多项式是两项差式，各项都能够写成平方形式．现在你能结合平方差公式具体谈谈它的用途吗？
讨论结果：公式：从左向右用来处理特殊的整式乘法，而由右向左则用来处理特殊多项式的分解因式问题．由此可以又进一步体会到整式乘法与因式分解的互逆过程．
问题2：你能给平方差公式a2－b2＝(a＋b)(a－b)一个直观的解释吗？
讨论结果：如图1，在边长为a的大正方形左下角挖去一个边长为b的小正方形后剩下的图形面积为a2－b2；将图1中下方的阴影部分割补到上方阴影的右侧(如图2)，在图2中阴影的面积为(a＋b)(a－b)，所以有a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
图1　　　　　　　图2
设计意图：问题1是让学生进一步感知整式乘法与分解因式互为逆变形．问题2目的就是加深学生对平方差公式的记忆与理解．
【典型例题】
例1 把下列各式分解因式：（1）25－16x2；（2）9a2－b2．
解：（1）25－16x2＝52－(4x)2＝(5＋4x)(5－4x)；
（2）9a2－b2＝(3a)2－(b)2＝(3a＋b)(3a－b)．
点评：本题是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，再利用平方差公式分解因式；在（1）中公式中的a指代5，b指代4x；在（2）中公式中的a指代3a，b指代b．
例2 把下列各式分解因式：
（1）9(m＋n)2－(m－n)2；（2）2x3－8x．
解：（1）9(m＋n)2－(m－n)2＝[3(m＋n)]2－(m－n)2
＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)
＝(4m＋2n)(2m＋4n)＝4(2m＋n)(m＋2n)．
（2）2x3－8x＝2x(x2－4)＝2x(x＋2)(x－2)．
点评：本题的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后借助于整体方法使用平方差公式分解因式，公式中的a在这里指代的是3(m＋n)，b指代的是m－n；（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法．
例3 判断下列分解因式是否正确．错误的加以改正．
（1）(a＋b)2－c2＝a2＋2ab＋b2－c2．（2）a4－1＝(a2)2－1＝(a2＋1)·(a2－1)．
解：（1）不正确．
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果未对所给多项式进行因式分解，而是典型的整式乘法化简题，正确应为：(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c)．
（2）不正确．
错误原因是因式分解不彻底，因为a2－1还能继续分解成(a＋1)(a－1)．
正确解答应为a4－1＝(a2＋1)(a2－1)＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．
设计意图：例1是直接利用平方差公式分解因式，应让学生体会公式中的a，b在此问题中分别是什么．例2中的（1）进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其他代数式(注意使用整体方法进行教学)；问题2中的（2）要引导学生体会多项式中若含有公因式，就要先提取公因式，然后再进一步分解，直至不能分解为止．设置例3的目的是明确的，就是让学生明白分解因式的结果必须彻底．
【课堂练习】
1．判断下列因式分解的正误．
（1）x2＋y2＝(x＋y)(x－y)； (　　)
（2）x2－y2＝(x＋y)(x－y)； (　　)
（3）－x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)； (　　)
（4）－x2－y2＝－(x＋y)(x－y)． (　　)
2．把下列各式因式分解．
（1）a2b2－m2；（2）(m－a)2－(n＋b)2；（3）x2－(a＋b－c)2；（4）－16x4＋81y4．
3．把下列各式分解因式．
（1）36(x＋y)2－49(x－y)2；（2）(x－1)＋b2(1－x)；（3）(x2＋x＋1)2－1．
设计意图：继续巩固新知识，熟练公式的应用．
答案：
1．解：（1）(×)　（2）(√)　（3）(×)　（4）(×)
2．解：（1）a2b2－m2＝(ab)2－m2＝(ab＋m)(ab－m)；
（2）(m－a)2－(n＋b)2＝[(m－a)＋(n＋b)][(m－a)－(n＋b)]
＝(m－a＋n＋b)(m－a－n－b)；
（3）x2－(a＋b－c)2＝[x＋(a＋b－c)][x－(a＋b－c)]＝(x＋a＋b－c)(x－a－b＋c)；
（4）－16x4＋81y4＝(9y2)2－(4x2)2＝(9y2＋4x2)(9y2－4x2)
＝(9y2＋4x2)(3y＋2x)(3y－2x)．
3．解：（1）36(x＋y)2－49(x－y)2＝[6(x＋y)]2－[7(x－y)]2
＝[6(x＋y)＋7(x－y)][6(x＋y)－7(x－y)]＝(6x＋6y＋7x－7y)(6x＋6y－7x＋7y)
＝(13x－y)(13y－x)；
（2）(x－1)＋b2(1－x)＝(x－1)－b2(x－1)＝(x－1)(1－b2)＝(x－1)(1＋b)(1－b)；
（3）(x2＋x＋1)2－1＝(x2＋x＋1＋1)(x2＋x＋1－1)
＝(x2＋x＋2)(x2＋x)＝x(x＋1)(x2＋x＋2)．
【课堂小结】
1．引导学生回顾总结本节你学习了哪些知识与方法，有哪些收获？
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法．如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行．
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止．
2．师生共同归纳总结出分解因式的步骤：
（1）观察．观察多项式的结构特征，明确下一步的方向．
（2）提取公因式．有公因式的先提取出来，为下一步做好准备．
（3）使用平方差公式继续分解．
（4）分解因式的最终结果必须彻底．
【板书设计】
分解因式的步骤：
（1）观察．
（2）提取公因式．
（3）使用平方差公式继续分解．
（4）分解因式的最终结果必须彻底．