北师大版数学八年级下册4.3公式法 第2课时 教案

4.3《公式法》
第2课时
一、教学目标
1．经历通过整式乘法公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2 的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力。
2. 理解完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式。
二、教学重点及难点
重点：能较熟练地运用完全平方公式分解因式．
难点：灵活地运用公式法或已学过的提公因式法进行因式分解，并且能正确判断因式分解的彻底性问题．
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程
【复习导入】
问题1：计算下列各式：（1）(x－3y)2；（2）(x＋3y)2；（3）(a＋b)2；（4）(a－b)2．
答案：（1）x2－6xy＋9y2；（2）x2＋6xy＋9y2；（3）a2＋2ab＋b2；（4）a2－2ab＋b2．
问题2：分解因式：（1）4x2－9y2；（2）xm2－xn2；（3）a2＋2ab＋b2；（4）a2－2ab＋b2．
答案：（1）(2x＋3y)(2x－3y)；（2）x(m＋n)(m－n)；（3）(a＋b)2；（4）(a－b)2．
设计意图：通过问题1，让学生复习完全平方公式在整式乘法中的应用，为引入利用完全平方公式进行因式分解打下基础，埋下伏笔；问题2让学生首先复习前面学过的因式分解的方法，而后通过（3）和（4）两个小题让学生在交流和感悟中体会逆向思维所引申出的新的知识应用．
【探究新知】
1．探讨完全平方公式的结构特征．
问题1：如果我们将整式乘法公式中的完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2反过来，就得到：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2．你能谈谈完全平方公式在反过来前后各有什么不同的用途吗？
答案：
问题2：我们将形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的式子称为完全平方式．你能谈谈一个完全平方式的结构具有什么样的特征吗？
答案：完全平方式是一个三项式；三项中有两项的和是两数的平方和，另一项是加上(或者减去)这两数的积的2倍．公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2本身可以用语言叙述为：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方．
问题3：16x2＋24x＋9是完全平方式吗？请说说你的理由．
答案：是完全平方式．因为原式可以写成(4x)2＋2·4x·3＋32，其满足完全平方式的结构特征．
问题4：在横线上填上适当的单项式，使x2＋__________＋y2是一个完全平方式．
答案：±xy
在教学时教师可以放手让学生独立解答这些问题，相信学生完全可以解答出来的，问题3和问题4是让学生复习巩固完全平方式而准备的，教师在这里可以多增加这样的问题让学生来练习．
2．归纳总结，引入概念
由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法．
设计意图：进一步感受整式乘法与因式分解互为逆变形的关系；明确运用公式法应具备的特征．
【典型例题】
例1 把下列完全平方式分解因式：
（1）x2＋14x＋49；（2）(m＋n)2－6(m＋n)＋9．
分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式．公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．用完全平方公式分解因式时，要根据第二项的符号来正确选择运用完全平方公式．
解：（1）x2＋14x＋49＝x2＋2×7x＋72＝(x＋7)2；
（2）(m＋n)2－6(m＋n)＋9
＝(m＋n)2－2(m＋n)×3＋32
＝[(m＋n)－3]2
＝(m＋n－3)2．
例2把下列各式分解因式：
（1）3ax2＋6axy＋3ay2；
（2）－x2－4y2＋4xy．
分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式．
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“＋”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式．
解：（1）3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；
（2）－x2－4y2＋4xy＝－(x2－4xy＋4y2)
＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]
＝－(x－2y)2．
在问题1的处理上可采用直观的对照操作法．比如：x2＋14x＋49＝
这样便于引导学生对照完全平方公式，进而确定公式中的a、b在此题中分别是什么．对于问题2可以安排学生分小组进行交流学习，自主解决，教师只进行引导，而后让一些学生谈一谈解题思想．
设计意图：引导学生对照完全平方公式确定公式中的 ab在题中分别是什么；进一步体会若有公因式要先提公因式，再进一步分解；引导学生注意，当首项是二次项且系数为负数时，一般应先提出“－”号或整个负数．
【课堂练习】
1．下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：
（1）x2－x＋；　（2）9a2b2－3ab＋1；（3）m2＋3mn＋9n2；（4）x6－10x3－25．
2．把下列各式分解因式：
（1）x2－12xy＋36y2；（2）16a4＋24a2b2＋9b4；
（3）－2xy－x2－y2；（4）4－12(x－y)＋9(x－y)2．
答案：
1．（1）是完全平方式．
x2－x＋＝x2－2·x·＋()2＝(x－)2．
（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求．
（3）是完全平方式．
m2＋3mn＋9n2＝(m)2＋2×m×3n＋(3n)2＝(m＋3n)2．
（4）不是完全平方式．
2．解：（1）x2－12xy＋36y2＝x2－2·x·6y＋(6y)2＝(x－6y)2；
（2）16a4＋24a2b2＋9b4＝(4a2)2＋2·4a2·3b2＋(3b2)2＝(4a2＋3b2)2；
（3）－2xy－x2－y2＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2；
（4）4－12(x－y)＋9(x－y)2＝22－2×2×3(x－y)＋[3(x－y)]2
＝[2－3(x－y)]2＝(2－3x＋3y)2．
【课堂小结】
1．本节课学习的因式分解公式是什么？它有什么特征？在运用时应如何把握？
本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍．在具体应用时要特别关注第二项的符号．
2．把一个多项式进行因式分解的一般思路是怎样的？你能归纳吗？
将一个多项式分解因式时，先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止．
3．在应用平方差公式和完全平方公式时，你怎样做到不混淆？
在运用公式法分解因式的过程中，什么时候运用什么样的公式完全取决于对多项式结构特征的把握能力，一般的二项式要考虑平方差公式，而三项式要考虑完全平方公式．用完全平方公式分解因式与平方差公式不同之处在于：（1）要求多项式有三项；（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．
【板书设计】
完全平方式的结构特征：
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负．