北师大版数学八年级下册 1.4角平分线 （第1课时）教案

第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第1课时
一、教学目标
1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.
2．证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.
二、教学重点及难点
重点：角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．
难点：灵活运用角的平分线的性质和判定解题．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资源
角平分线的尺规作图动画演示，微课.
五、教学过程
【情境导入】
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20 000）？
其中“到公路、铁路的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．
角是一个轴对称图形，其中角平分线就是它的对称轴．我们曾经用折纸的方法，根据折叠过程中角两边重合说明了角平分线的一个性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．所以在这个问题中，确定集贸市场位置利用此性质就能完成．
设计意图：通过实际情境，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．
【探究新知】
1.角的平分线的尺规作图
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
师：思考：为什么要以大于MN的长为半径画弧？
生：因为以小于或等于MN的长为半径画弧时不能形成交点．
2．角平分线的性质
还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎么得到的？请尝试证明这一性质，并与同伴交流.
生：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
生：可用量角器，也可以用对折角的方法．
师：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，对折的方法就不行了，那还有别的方法适合吗？
生：量角器、尺规作图。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．
求证：PD＝PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°．
∵OC是∠AOB的平分线，OP＝OP，
∴∠DOP＝∠EOP
∴△PDO≌△PEO（AAS）．
∴PD＝PE(全等三角形对应边相等）．
总结归纳角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何语言：
∵∠AOC＝∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE．
设计意图：通过回忆探索角平分线的性质定理的过程，自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程．
3．角平分线的判定
想一想：
你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
生：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，PD＝PE．
求证：OP平分∠AOB．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，
∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．
∵PD=PE，OP=OP，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）．
∴∠POD＝∠POE．
∴OP平分∠AOB．
定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴点P在∠AOB的平分线上．
设计意图：通过类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题，鼓励学生先自主证明，然后进行交流，并规范书写格式．
【典例精析】
例 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt△ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴DE=AD=×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
导入问题：
解：如图，OA表示公路，OB表示铁路．
（1）作∠AOB的平分线OP；
（2）在射线OP上截取OC＝2.5cm，即集贸市场应建于点C处．
设计意图：通过例题，使学生灵活熟练应用角平分线性质和判定解决问题，并规范学生书写格式．
【课堂练习】
1．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D，E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：（甲）作∠ACP，∠BCP之角平分线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求；（乙）作AC，BC之中垂线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）．
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为________．
3．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）．
A．P为∠A，∠B两角平分线的交点
B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C．P为AC，AB两边上的高的交点
D．P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
4．如图，填空．
（1）∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴___________
（________________________________________）．
（2）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE，
∴__________
（________________________________________________）．
5．如图，把Rt△ABC（∠C＝90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于_______度．
6．已知:如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．求证:EB=FC．
7．已知，如图△ABC中，∠ACB的平分线交AB于E，∠ACB的补角∠ACD的平分线为CG，EG∥BC交AC于F，EF会与FG相等吗？为什么？
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力．
答案：
1．D．2．4．3．B．
4．（1）DC＝DE，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2）∠1＝∠2，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
5．30．
6．证明: ∵ AD是△ABC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF．
∵BD=CD，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，
∴ EB=FC．
7．证明：∵EC为∠ACB的平分线，
∴ ∠BCE= ∠ACE．
∵CG为∠ACD的平分线，
∴ ∠DCG= ∠FCG．
∵ EG∥BC，
∴ ∠FEC=∠BCE， ∠FGC=∠GCD，
从而∠ACE=∠FEC，∠FGC=∠FCG，
∴EF=FC，FC=FG，从而EF=FG．
六、课堂小结
1．角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2．角平分线的判定
在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
设计意图：通过小结，引导学生剖析应用角平分线性质必须具备的条件，以及应用角平分线时常作辅助线的方法；以便学生从更深层次理解性质，熟练应用性质解决问题．通过对比性质与判定，使学生区分开二者的区别，避免混淆．
七、板书设计
1.4 角平分线（1）
1．性质定理．
2．判定定理．