北师大版数学八年级下册 1.4角平分线 第2课时 教案

第一章 三角形的证明
1.4 角平分线
第2课时
一、教学目标
能运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题.
二、教学重点及难点
重点：角平分线的相关结论．
难点：角平分线的相关结论的应用．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资源
五、教学过程
【情境导入】
如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置呢？
设计意图：通过问题导入，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．
【新知探究】
求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D，E，F．
求证：∠A的平分线经过点P，且PD=PE=PF．
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PE=PF．
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)．
即∠A角平分线经过点P．
【典例精析】
例 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）已知CD=4 cm，求AC的长．
（2）求证：AB=AC+CD．
解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E．
∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）．
又∵AC=BC，
∴∠B=∠BAC（等边对等角）．
又∵∠C=90°，
∴∠B=×90° =45°．
∴∠BDE=90°-45° =45°．
∴BE=DE（等角对等边）．
在等腰直角三角形BDE中，
BD=cm（勾股定理）．
∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm
（2）证明：由（1）的求解过程易知：
Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
设计意图：通过例题讲解，加深巩固所学知识，增强学生灵活运用知识的能力．培养学生运用角平分线的性质和判定解决实际问题，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．
导入问题解决：
答：凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点
【课堂练习】
1． 如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系是（ ）
A． PC＞PD B． PC＝PD
C． PC＜PD D． 不能确定
2．如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE＝3，则点P到AB的距离是（ ）
A．3 B．4
C．5 D．6
3．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AE＝AC，下列结论中错误的是（ ）
A．DC＝DE 　　　B．∠AED＝90°
C．∠ADE＝∠ADC 　　 D．DB＝DC
4．如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°，则∠BAD＝__________，∠CDA＝__________．
5．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，CB于点E，F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE_________CF．
6．如图，∠B=∠C=90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB．
求证：AD=CD+AB．
7．如图所示，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．
求证：DE＝DF．
设计意图：通过练习，使学生加深理解角平分线性质及判定，并能灵活应用．
答案：
1．B ．2．A． 3．D． 　4．40°，50°．
5．=；90； 90； = ； =．
6．证明：过M作ME⊥AD，交AD于E．
∵DM平分∠ADC，∠C=90°．
∴MC=ME．
根据“HL”可以证得Rt△MCD≌Rt△MED，
∴CD=ED．同理可得AB=AE．
∴CD+AB=ED+AE=AD． 即AD=CD+AB．
7．
证明：连接AD，在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴∠BAD＝∠CAD，
即AD平分∠BAC．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
六、课堂小结
1.角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
设计意图：通过小结，以便学生从更深层次理解性质，熟练应用性质解决问题．
七、板书设计
1.4 角平分线（2）
1．性质定理．
2．判定定理．