北师大版数学八年级下册 1.3线段的垂直平分线 （第1课时）教案

第一章 三角形的证明
1.3 线段的垂直平分线
第1课时
一、教学目标
1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.
2．证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力.
二、教学重点及难点
重点：线段垂直平分线的性质和判定．
难点：证明线段的垂直平分线的性质和判定解题．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资源
微课，知识卡片图片.
五、教学过程
【情境导入】
如图，A，B表示路边的两个花店，要在A，B一侧建造一个花卉基地，使它到两个花店的距离相等，花卉基地应建在什么位置
其中“到两个花店的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．
线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们曾经用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧建造一个花卉基地，使它到两个花店的距离相等”利用此性质就能完成．
请尝试证明线段垂直平分线的性质定理，并与同伴交流.
设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾线段垂直平分线的性质及探索过程．
【探究新知】
1．证明：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
师：能用我们已有的知识来证明这个定理吗？
学生讨论给出证明．教师请两位学生黑板板演，集体纠正，并用多媒体展示正确答案．
已知：如图，直线MN⊥ AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点.
求证：PA=PB.
证明：∵ MN⊥ AB，
∴ ∠ PCA＝∠ PCB=90°．
又∵AC＝CB，PC＝PC，
∴ △ PCA≌ △ PCB（SAS）．
∴PA＝PB（全等三角形的对应边相等）．
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
几何语言：
∵ AC＝BC，MN⊥ AB，
∴ PA＝PB．
2．想一想
能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是，请加以证明.
生：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
师：你能证明上面的结论吗？
学生讨论给出证明．学生黑板板演，教师多媒体展示证明过程，对比学生解答，纠正问题．
已知：如图，线段AB，PA＝PB．
求证：点P在线段AB的垂直平分线上．
证法1：过点P作直线MN⊥ AB，垂足为C．则PC是△PAB的高．
∵PA＝PB，
∴△PAB是等腰三角形，
∴PC是△PAB的中线（三线合一）
∴AC＝BC．
∴直线MN是线段AB的垂直平分线．
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
证法2：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA＝∠PCB＝90°．
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
∵PA＝PB，PC＝PC，
∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．
∴AC＝BC．
又PC⊥AB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
证法3：
证明：取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC．AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB，
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法4：
证明：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=90°，
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
用数学符号表示为：
∵PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上．
师：你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？
生：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；反过来，与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合．
设计意图：引导学生对性质定理进行逆向思考，提出猜想，然后加以证明．这是获得新的几何结论的一种常用方法.因为这个性质定理不是“如果……那么……”的形式，学生说出或写出它的逆命题可能会有一定的困难，可以引导学生分析它的条件和结论，再写出逆命题，最后由学生写出证明过程.
【典例精析】
例 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC．
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
学生自主完成：
证明：∵ AB = AC，
∴ 点A在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．
同理，点O在线段 BC 的垂直平分线上．
∴ 直线AO是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）．
设计意图：应用线段垂直平分线的性质定理，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．可能有学生用全等三角形证明，此时应注意引导学生对比两种证明方法，体会线段垂直平分线的判定定理的作用.
【课堂练习】
1．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（ ）．
A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上
C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上
2．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝__________．
3．如图，BD垂直平分CE，ED＝3 cm，△ABE的周长为11 cm，则△ACE的周长为__________．
4．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G．求△AEG的周长．
5．如下图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？
6．如下图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力．
参考答案：
1．D．解析：点P到线段AB两个端点的距离相等，点P在线段AB的垂直平分线上．
2．15．3．17 cm．
4．解：DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，
∴BE＝AE，CG＝AG．
∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7．
答：△AEG的周长为7．
5．解：∵AD⊥BC，BD＝DC，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC．
∵点C在AE的垂直平分线上，
∴AC＝CE．
∴AB＝AC＝CE．
∵AB＝CE，BD＝DC，
∴AB＋BD＝CD＋CE．即AB＋BD＝DE．
6．解：∵AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上．
∵MB＝MC，
∴点M在BC的垂直平分线上．
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
六、课堂小结
1．性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
2．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
设计意图：通过学生思考总结所学内容，培养学生归纳总结能力．
七、板书设计
1.3 线段的垂直平分线（1）
1．性质定理．
2．判定定理．