北师大版数学八年级下册 1.2直角三角形 （第2课时）教案

第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第2课时
一、教学目标
1．探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
2．已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形.
二、教学重点及难点
重点：能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理，并且用于解决问题．
难点：证明“HL”定理的思路的探究和分析．
三、教学用具
多媒体课件、直尺或三角板．
四、相关资源
微课，图片
五、教学过程
【复习导入】
1．直角三角形的性质和判定
定理：三角形的两个锐角互余．
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理．
勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边平方，那么这个三角形是直角三角形．
2．命题与逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
3．定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
设计意图：通过复习，让学生回忆知识点的同时，为接下来的学习作好铺垫．
【探究新知】
做一做
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.
已知：如图，线段a，c（a＜c），直角α.
求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.
小明作法：
（1）作∠MCN=∠α=90°．
（2）在射线CM上截取CB=a．
（3）以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A．
（4）连接AB，得到Rt△ABC．
你作的直角三角形与小明作的全等吗？
设计意图：鼓励学生自主思考尺规作图的方法，要求学生依据给定的线段，用尺规作出直角三角形，通过与同伴交流，比较大家作出的三角形是否能够重合，获得判定直角三角形全等特殊条件.要求保留作图痕迹，完成作图后，引导学生用数学语言归纳、概括获得的猜想.
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
证明这一定理的思路是：由勾股定理得出另一条直角边相等，再根据基本事实SSS判定两个三角形全等.
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．
求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．
证明：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，
∴BC2=AB2－AC2(勾股定理)．
同理，B′C′2=A′B′2－A′C′2 (勾股定理)．
∵AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′．
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (SSS)．
这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．
几何表示：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
设计意图：由猜想得到的命题只有经过证明才能称为定理，让学生体会证明的必要性.至此，学生经历了定理的发现、提出和证明的全过程，感受了合情推理与演绎推理的紧密关系.
【典例精析】
例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知
∠BAC=∠EDF=90°，
BC=DF，AC=DF．
∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）．
∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）．
∵∠DEF +∠F =90°（直角三角形的两锐角互余），
∴∠B+∠F=90°．
设计意图：使学生体会数学结论在实际中的应用。要求学生能用数学语言清楚地表达自己的想法，并能将解题过程规范地书写出来．
【课堂练习】
1．如下图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△________≌△________，其判定依据是__________，还有△_________≌△_________，其判定依据是__________．
2．已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）．
3．已知：如图，BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________．
4．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如下图，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（ ）
A．AB=A′B′=5，BC=B′C′=3 B．AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°
C．AC=A′C′=5，BC=B′C′=3 D．AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°
5．下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等 B．有两条边对应相等
C．一条边和一锐角对应相等
D．一条边和一个角对应相等
6．如图，CD⊥AD，CB⊥AB，AB=AD，求证：CD=CB．
7．已知：如图，CD，C′D′分别是Rt△ABC，Rt△A′B′C′斜边上的高，且CB=C′B′，CD=C′D′．求证：△ABC≌△A′B′C′．
8．如图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E是AC上一点，AB=AD，求证：EB=ED．
设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力．
参考答案：
1．ABC ，DCB，HL，ABO，DCO，AAS．
2．ABE，DCF． 3．6． 4．B． 5．D．
6．证明：连接AC，CD⊥AD，CB⊥AB
∴在Rt△ADC和Rt△ABC中，
∴Rt△ADC≌△Rt△ABC(HL) ．
∴CD=CB．
（本题也可用勾股定理直接证明）
7．证明：∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′，
∴在Rt△CDB和Rt△C′D′B′中，
∴Rt△CDB≌Rt△C′D′B′(HL) ．
∴∠B=∠B′．
∴在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．
8．证明：在Rt△ADC和Rt△ABC中，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL) ．
∴∠DCE=∠BCE，BC＝DC．
∴在△DCE和△BCE中
∴△DCE≌△BCE（SAS）．∴EB=ED．
六、课堂小结
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
可以简述为“斜边、直角边”或“HL”．
几何表示：
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′ 中
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL)
设计意图：通过小结，使学生梳理本节所学内容，理解直角三角形的相关定理和逆定理，综合运用直角三角形的相关定理解决问题．
七、板书设计
1.2 直角三角形（2）
1．HL（斜边、直角边）．