北师大版数学八年级下册 八年级下册1.1等腰三角形 教案

第一章 三角形的证明
1.1 等腰三角形
教学目标
1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.
2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容.
3.能证明等腰三角形的性质定理，
4.经历探索等腰三角形判定定理的过程，证明并掌握等腰三角形的判定定理.
5.探索并证明等边三角形的性质定理及判定定理.
6.探索并证明定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
7.通过实例体会反证法的含义.
本节的主要研究对象是等腰三角形和等边三角形.教科书设计的流程大致是：明确作为本章证明基础的基本事实→证明等腰三角形、等边三角形的性质定理及判定定理→应用定理解决问题.
等腰三角形是一种常见的几何图形.学生在七年级曾经通过折纸等方法探索并发现了等腰三角形的性质，本节将对这些性质进行证明，同时还将探索并证明等腰三角形的判定定理.本节共4课时，前2课时主要研究等腰三角形的性质，后2课时主要研究等腰三角形的判定，第1课时引导学生从基本事实出发，用综合法证明等腰三角形的性质定理，进一步发展推理能力.
本节从回忆八年级上册“平行线的证明”一章给出的基本事实入手，一方面帮助学生回忆旧知识，另一方面引出本章证明的主要依据.
这8条基本事实如下：
1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
想一想
学生在七年级下册已经探索并认识了判定三角形全等的“角角边”定理，这里意在让学生根据基本事实证明这一定理.这一定理的证明并不复杂，教学时应鼓励学生独立完成.教师要提醒学生首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”“求证”，最后写出证明过程.
已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△ADEF.
证明：在△ABC和△DEF中，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°，
∴∠C=180°-（∠A+∠B），
∠F=180°-（∠D+∠E）.
∵∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠C=∠F.
又BC=EF，∠B=∠E，
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
七年级下册给出的“全等三角形”的定义是“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”，“全等三角形的对应边相等、对应角相等”则是由全等三角形的定义推出来的，本章很多证明都会用到它.因此，这里特别提出这一结论，以便后续证明使用.
议一议
学生在七年级下册已通过折叠等活动获得了等腰三角形的性质，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再思考哪些命题现在能够证明.
教学时教师要注意引导学生根据条件正确、规范地写出“已知”“求证”，有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.
这里让学生回忆以前的折纸过程，目的是引导学生发现证明的思路.学生一般可以由折纸确定辅助线的位置，但对于作辅助线的规范叙述仍需教师帮助.
本章教科书中的证明过程没有详注理由，只注明了与本章研究内容相关的基本事实和本章出现的定理、推论.对此，教学时可根据学生的具体情况灵活处理.
教学中，应鼓励学生寻求其他证明方法.实际上，除作底边中线外，还可以通过作顶角平分线的方法证明结论，此时证明的依据是基本事实SAS.这两种证明方法都是受折纸的启发（轴对称），通过作辅助线将图形分成两部分，再证明这两部分全等.教师可以引导学生分析这两种证明方法的共性，加深对等腰三角形性质的认识.
教学时，可能会有学生通过作底边上的高线并利用勾股定理来证明这一定理.对此，教师一方面要保护学生的学习积极性；另一方面也要引导学生认识到：我们虽然在以前探索并认识了勾股定理，但尚未用基本事实证明过，所以从逻辑上来说，勾股定理不能作为这里证明的依据.
此外，不添加辅助线也能证明“等边对等角”.如教科书图1-1，在△ABC和
△ACB中，
∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，
∴△ABC≌△ACB（SAS）.
∴∠B=∠C.
这一方法的技巧性较强，关键是把一个等腰三角形看成两个三角形。任何一个三角形都能与它本身重合，即一定有AB=AB，AC=AC，但只有等腰三角形将图形沿对称轴翻转，所得到的图形与原图形重合，即AB=AC，AC=AB.对于这一种方法教师可根据实际情况决定是否向学生介绍.
另外，应鼓励学生将自己的证明方法及自己对这种方法的理解与其他同学进行交流，从而使学生获得思维能力的提升.
想一想
让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论.
由辅助线的作法可知AD是底边BC上的中线；由△ABD≌△ACD可知∠BAD=
∠CAD，∠ADB=∠ADC，所以AD同时又是顶角的平分线和底边BC上的高线.
这一结论通常简述为“三线合一”，即如果某线段是一个等腰三角形的“三线”（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线）之一，那么它必定也是这个等腰三角形的另“两线”.
随堂练习
1.（1）∠C=70°；（2）∠A=36°.
2.（1）提示：依据基本事实SAS，证明△ABC≌△ADC；
（2）90°.
习题1.1
1.已知，已知，公共边，SSS，全等三角形的对应角相等.
2.提示：证明BC=EF，得△ABC≌△DEF.
3.∠BAD=54°.提示：因为AB=AC，AD⊥BC，由“三线合一”可得AD平分∠BAC.
4.∠ABC=∠ACB，∠ABE=∠ACE，∠EBD=∠ECD，∠BAD=∠CAD，∠BED=∠CED，∠AEB=∠AEC，∠ADB=∠ADC.
理由略.
5.这两个三角形全等本题应先画出图形，写出“已知”“求证”，再证明.下面写法供参考.
已知：在△ABC和△A'B'C'中，AB=AC，A'B'=A'C'，且∠A=∠A’，BC=B'C'.
求证：△ABC≌△A'B'C.
证明思路：由AB=AC可以得到∠B=（180°-∠A），
同理可得∠B’=（180°-∠A'），因为∠A=∠A'，所以∠B=∠B'，从而
△ABC≌△A'B'C.
6.BD=CE.
提示：过点A作BC的垂线，垂足为F.依据“三线合一”，可证BF=CF；同理可证DF=EF.因此BF-DF=CF-EF.
第2课时接着研究等腰三角形中的相等线段，深化对等腰三角形轴对称性的认识，然后研究特殊的等腰三角形——等边三角形的性质.
这里意在让学生借助等腰三角形的轴对称性探索并证明其中的相等线段，进一步培养学生的几何直观与推理能力，提高有条理地思考与表达的水平.
教学时，可能有的学生会借助等腰三角形的轴对称性得出比较一般的结论，如对称轴两边的所有“对应”线段都相等；或在△ABC中，AB=AC，D为AC上任意一点，连接BD，在△ABC中总存在一条过点C的线段与BD相等.也可能有学生以角平分线、中线、高线等特殊线段为对象进行思考，如将这些线段分为几种情况进行研究：①两底角的平分线；②顶角的平分线与底角的平分线；③两腰上的中线；④一腰上的中线与底边上的中线；⑤两腰上的高线；⑥一腰上的高线与底边上的高线.教师首先应当鼓励学生独立思考、大胆猜想，然后组织学生进行交流，在充分交流的基础上，梳理出若干需要证明的命题，并让学生分组进行证明.
例1
本例及其后所提的问题呈现了一些等腰三角形中的相等线段，要求学生进行证明.
教学时可根据学生在课堂上实际提出的命题进行教学.在这一过程中，应让学生进一步体会：要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的.
议一议
这里的两个问题都是要求由特殊情况出发归纳出一般结论.教学时应有意识地向学生渗透这种思想方法.当然，教学时也可根据学生在课堂上实际生成的问题进行教学.
（1）如教科书图1-5，在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ABC，
∠ACE=∠ACB，那么nBD=CE；或如教科书图1-5，在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.
（2）如教科书图1-5，在△ABC中，如果AB=AC，AD=AC，AE=AB，那么BD=CE；或n如教科书图1-5，在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
鼓励学生尽可能用规范的数学语言表述得到的结论，并要求学生书写证明过程.
在完成上述教学活动后，可以引导学生进行一定的回顾与思考：为什么等腰三角形有这样的特殊性质？一般的三角形有类似的性质吗？使学生进一步体会轴对称图形的美妙.
想一想
等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质，此外它还具有一些特殊性质.教学时，教师可以先让学生说说等边三角形作为一种等腰三角形所具有的性质，由此探索等边三角形所具有的特殊性质，并进行证明.
随堂练习
1.60°.提示：应用“三线合一”定理.
2.120°.
习题1.2
1.36°.
提示：设∠DBC=x°，则∠ABC=∠C=2x°；又因为BD=BC，所以∠BDC=∠C=2x°.在△BDC中，依据三角形内角和定理可求出x.
2.提示：由AB=AC，可得∠B=∠C；因为AE=AF，所以BE=CF.又因为D为BC中点，可以证明△BDE≌△CDF（SAS）.还可以连接AD，由“三线合一”可得∠EAD=
∠FAD；由AE=AF，AD=AD，可以证明△AED≌△AFD（SAS）.
3.提示：因为△ABC是等边三角形，所以AC=CB，∠BAC=∠ACB，可以证明△ADC≌△CEB（SAS）.
4.（1）提示：连接AC.由△ABC≌△ADC，得∠B=∠D，然后再证明△EBC≌
△FDC.
（2）相等.只要AE=AB，AF=AD，就可证明EC=FC，证明方法与（1）类似.
（3）如∠BEC=∠DFC，或∠BCE=∠DCF等.
第3课时探索并证明等腰三角形的判定定理，借助实例了解反证法.
这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假，因为这也是获得数学结论的一条重要途径.同时，这样设置问题也为学生下一节学习互逆命题做个铺垫.
学生可能会由前面定理的证明获得启发，如作BC的中线，或作∠A的平分线，或作BC上的高线，教师应让学生思考判断哪些方法可行，这三种方法中只有后两种方法可以判定所构造的两个三角形全等.这是培养学生推理能力的好机会，也是学生体会从基本事实和已知定理出发进行推理的公理化思想的机会，教师应注意引导.教学中应鼓励学生按要求将证明过程书写出来.
已知：如图1，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
证法1：作∠BAC的平分线，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD.
∵∠B=∠C，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
.∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
证法2：如图2，过点A作BC的垂线，垂足为D.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠B=∠C，AD=AD，
∴△ABD2△ACD（AAS）.
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）.
例2
本例综合应用了全等三角形的判定定理和等腰三角形的判定定理.在解答过程中，教师应关注学生的思考过程，引导学生分析解决问题的方法.
想一想
从直观上看，学生不难得出结论.但这里要求学生不仅能借助直观得出结论，而且还要能够证明它，也就是要让学生体会证明的必要性.对这一点的认识，是本章对学生的要求，而这个问题的证明方法——反证法，是这里要介绍的一种证明方法.虽然反证法是一种重要的证明方法，但根据《标准》的要求，只需通过实例了解它的含义即可.
命题“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”是真命题.实际上，在一个三角形中，除了“等角对等边，等边对等角”之外，还有“大角对大边，大边对大角”“小角对小边，小边对小角”.需要注意的是，设置这个“想一想”的主要意图是引人反证法，因此教学时不必在这些具体结论上大做文章，以免冲淡主题.
反证法属于间接证明方法，是从反面思考问题的证明方法.具体来说，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定也作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知基本事实、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的结果，出现矛盾的原因是因为否定了命题的结论，从而使命题获得了证明.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，这就是逻辑思维中的“排中律”.
用反证法证明的一般步骤是：
（1）假设命题的结论不成立；
（2）从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果；
（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.
例3
以例题形式展示用反证法证明命题的过程.本例中，结论“∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角”的反面是“∠A，∠B，∠C中有两个角是直角”
随堂练习
1.等腰三角形。提示：证明∠EBD=∠EDB，再应用“等角对等边”定理.
2.假设这五个正数没有一个大于或等于 ，即都小于，则五个数的和小于1.这与已知五个数的和等于1矛盾，所以这五个正数中至少有一个大于或等于设置本题是为了让学生更多地了解反证法的作用.利用反证法证明的关键是要确定结论的反面是什么，然后寻求矛盾的结果.对于本题，需要正确理解“至少有一个”“大于或等于”的反面的含义.
习题1.3
1.提示：由AD/∥BC可证∠1=∠B，∠2=∠C，得到∠B=∠C.根据“等角对等边”可得AB=AC.
2.提示：作△ABC底边BC上的高线AD，得
∠E=∠CAD，∠EFA=∠BAD；根据“三线合一”可知∠CAD=∠BAD，所以∠E=∠EFA.
3.（1）提示：这样的等腰三角形有两个，一个以∠α为顶角，另一个以∠α为底角；
（2）提示：这样的等腰三角形只有一个，即以∠α为顶角的等腰三角
形.
4.BC=180 nmile.
第4课时探索并证明等边三角形的判定定理，以及直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系定理.
这两个问题是以不同的三角形为出发点，引导学生思考等边三角形的判定方法，分别得到两个定理.教学时，应先让学生自主思考，不宜用直接给出结论的方式代替学生的思考.
60°的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是等腰三角形的底角.教师要关注学生得出证明思路的过程，引导学生全面地思考问题，并有意识地向学生渗透分类的思想.
做一做
对学生而言，直接研究直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的数量关系难度较大，不易找到解决问题的方法，故这里安排了一个拼图活动.通过拼图活动，学生在操作中会发现这两个三角尺恰好可以拼成一个等边三角形，从而将直角三角形中的问题转化为“半个”等边三角形中的问题，从而运用等边三角形的知识分析线段间的关系.学生在活动中不仅收获数学知识，同时还可以感悟转化的思想，丰富学生探索几何图形性质的经验.教师应当鼓励学生动手操作，让学生通过活动发现结论.
教师应引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论还需要给予证明.在证明这个结论时，辅助线的作法可以从三角尺的拼摆过程中得到启发，教师应在这方面给予学生更多的点拨.
需要说明的是，教科书给出的证法并不是最简捷的.比如，可以延长BC到点D，使BD=AB，连接AD.由前面定理可知△ABD是等边三角形.由AC⊥BC可知BC=CD=AB.但这种证明的思路不易想到，而教科书给出的方法可由拼摆三角尺直观得出.
教学时，应在证明前让学生思考证明思路，鼓励学生提出不同的证明思路，然后通过交流使全体学生受益.
这一定理的逆命题也成立（参见习题1.4第4题）.
例4
本例是定理“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的应用.在解决问题的过程中，教师引导学生分析定理使用的条件以及定理的作用，加深对定理的理解，提高学生的推理能力.
随堂练习
AD=3.
习题1.4
1.提示：可以证明∠A=∠ADE=∠AED=60°.
本题综合应用了等边三角形的性质定理和判定定理
2. BC=3.7m, DE=1.85 m.
3.（1）△DEF是等边三角形；△ABE，△ACF，△BCD也都是等边三角形；点A，B，C分别是EF，ED，FD的中点.
提示：利用平行关系寻找角之间的关系.
（2）△ABC是等边三角形.
提示：可以证明△EBA≌△FAC≌△DCB.
4.已知：（图略）在△ABC中，∠C=90°，BC=AB.
求证：∠A=30°.
提示：辅助线的作法与教科书图1-10（2）类似.
5.∠ADG=15°.
提示：A'D=AD=2DC，在Rt△A'DC中利用第4题的结论可证明∠DA'C=30°.