人教版高中数学选择性必修第一册2.3.2两点间的距离公式 课件（共39张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版高中数学选择性必修第一册2.3.2两点间的距离公式 课件（共39张PPT） |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-20 17:35:47 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
2．3.2 两点间的距离公式
[学习目标]
1.通过两点间距离公式的推导，体会数形结合思想．
2.理解并会应用两点间的距离公式．
3.用坐标证明简单的几何问题，能用代数方法解决几何问题．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1 两点间距离公式是如何推导的？
问题2 “坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？
B
2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
解析：由两点间距离公式得|AB|2＝(0＋3)2＋(b－4)2＝25，所以(b－4)2＝16，即b－4＝±4.所以b＝0或b＝8.
A
3．已知点A(1，－5)，B(－3，－1)，线段AB的中点M，则|OM|＝__________.
4．已知点M(x，y)，|OM|＝5，则x，y满足的方程为__________．
x2＋y2＝25
两点间的距离公式
当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝ .
当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝ .
|x2－x1|
|y2－y1|
[例1] 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
分析：思路一：由两点间距离公式求出三边的长
度，根据三边关系确定三角形的形状．
思路二：根据三边所在直线的斜率，能判断AC⊥
AB，再由两点间距离公式，得|AC|＝|AB|，判定三角形形状．
1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定解题的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．
3．两点间的距离公式主要用于计算长度，求三角形的边长，还有后面将要学到的弦长公式，以及证明三点共线问题．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0，－1)和N(2,5)．
(1)若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；
(2)若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及正方形的另外两个顶点的坐标．
用坐标法解决平面几何问题
坐标法解题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；(2)进行有关代数运算；(3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
[例2] 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
分析：适当选择平面直角坐标系，确定各点的坐标，由两点间距离公式，求出|AE|，|CD|，得出它们的关系．
[证明] 如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系xOy.
利用坐标法解决平面几何问题，建立恰当的坐标系非常关键，如本题以AC所在直线为x轴，以点B为坐标原点，较易写出其他各点的坐标，运算也相对简单；本题也可以以AC所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点(或以BC的中点为坐标原点)，但坐标写起来麻烦，运算时也很烦琐．
2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|.
证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
对称问题(2)
1．直线关于点的对称问题
直线l关于点P对称的直线l′满足：(1)直线l′与直线l平行；(2)直线l′上的任意一点关于点P的对称点都在直线l上．
2．直线关于直线的对称问题
求直线l1关于直线l的对称直线l2的问题，分为l1与l相交和l1与l平行两种情况．①若l1与l相交，首先求出直线l1与l的交点P，然后在直线l1上选择一点M，求出M关于直线l的对称点N，再由两点式或者点斜式求出直线l2的方程，即
②若直线l1与l平行，则直线l2与l也平行，首先变形使得直线l1与l的方程中x，y项的系数对应相等，即l1：Ax＋By＋C1＝0，l：Ax＋By＋C＝0，设直线l2的方程为Ax＋By＋C2＝0.在直线l1上任取一点P，在l上取一点Q，则点P关于点Q的对称点M在直线l2上，确定C2的值，进而可得直线l2的方程．
[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求：
(1)直线l关于点A的对称直线l1的方程；
(2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
分析：(1)设直线l1上任一点的坐标为(x，y)，可求得(x，y)关于点A(2，－3)的对称点，再将对称点代入直线l的方程即可求得直线l关于点A的对称直线l1的方程．
(2)法一：先求已知直线与对称直线的交点，然后在已知直线上任取一点，求得该点关于对称直线的对称点，利用交点和对称点求对称直线的方程．
法二：设直线l2上任一点的坐标为(x，y)，可求得点(x，y)关于直线l的对称点的坐标，再将坐标代入直线2x－y－3＝0，即可求得对称直线l2的方程．
[解析] (1)设直线l1上任一点的坐标为(x，y)，
则(x，y)关于点A(2，－3)的对称点的坐标为(4－x，－6－y)，
而点(4－x，－6－y)在直线l上，所以(4－x)－(－6－y)＋1＝0，
化简可得对称直线l1的方程为x－y－11＝0.
对称问题主要有以下几类：(1)点关于点的对称问题；(2)点关于直线的对称问题；(3)直线关于点的对称问题；(4)直线关于直线的对称问题．重点是点关于点与点关于直线的对称问题．
3.(1)求与直线l1：2x－3y＋1＝0关于点A(1,2)对称的直线l2的方程；
解析：设直线l2上任意一点的坐标为(x，y)，则该点关于点A(1,2)对称的点的坐标为(2－x,4－y)．因为该点在已知直线l1上，所以2(2－x)－3(4－y)＋1＝0，即2x－3y＋7＝0.故直线l2的方程为2x－3y＋7＝0.
(2)已知直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：2x－y＋2＝0的对称直线l2，求直线l2的方程．
解析：因为l1∥l，所以 l2∥l.设直线l2的方程为2x－y＋C＝0，在直线l1，l上分别取点P(0,3)，Q(0,2)，则点P(0,3)关于点Q(0,2)的对称点N(0,1)．将点N(0,1)代入l2的方程，得C＝1，所以直线l2的方程为2x－y＋1＝0.
1．知识清单：(1)两点间的距离公式．
(2)用坐标法解决平面几何问题．
(3)直线关于点的对称与直线关于直线的对称．
2．方法归纳：坐标法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法、构造法．
3．常见误区：用坐标法解决平面几何问题时，坐标系建立不恰当，造成坐标确定困难，线段长度计算烦琐．
课时作业 巩固提升
2．3.2 两点间的距离公式
[学习目标]
1.通过两点间距离公式的推导，体会数形结合思想．
2.理解并会应用两点间的距离公式．
3.用坐标证明简单的几何问题，能用代数方法解决几何问题．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1 两点间距离公式是如何推导的？
问题2 “坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？
B
2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
解析：由两点间距离公式得|AB|2＝(0＋3)2＋(b－4)2＝25，所以(b－4)2＝16，即b－4＝±4.所以b＝0或b＝8.
A
3．已知点A(1，－5)，B(－3，－1)，线段AB的中点M，则|OM|＝__________.
4．已知点M(x，y)，|OM|＝5，则x，y满足的方程为__________．
x2＋y2＝25
两点间的距离公式
当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝ .
当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝ .
|x2－x1|
|y2－y1|
[例1] 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．
分析：思路一：由两点间距离公式求出三边的长
度，根据三边关系确定三角形的形状．
思路二：根据三边所在直线的斜率，能判断AC⊥
AB，再由两点间距离公式，得|AC|＝|AB|，判定三角形形状．
1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定解题的方向．
2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考查是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考查边是否相等或是否满足勾股定理．
3．两点间的距离公式主要用于计算长度，求三角形的边长，还有后面将要学到的弦长公式，以及证明三点共线问题．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知点M(0，－1)和N(2,5)．
(1)若M，N是正方形一条边上的两个顶点，求这个正方形过顶点M的两条边所在直线的方程；
(2)若M，N是正方形一条对角线上的两个顶点，求这个正方形另外一条对角线所在直线的方程及正方形的另外两个顶点的坐标．
用坐标法解决平面几何问题
坐标法解题的基本步骤
(1)建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量；(2)进行有关代数运算；(3)把代数运算的结果“翻译”成几何关系．
[例2] 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明：|AE|＝|CD|.
分析：适当选择平面直角坐标系，确定各点的坐标，由两点间距离公式，求出|AE|，|CD|，得出它们的关系．
[证明] 如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，
建立平面直角坐标系xOy.
利用坐标法解决平面几何问题，建立恰当的坐标系非常关键，如本题以AC所在直线为x轴，以点B为坐标原点，较易写出其他各点的坐标，运算也相对简单；本题也可以以AC所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点(或以BC的中点为坐标原点)，但坐标写起来麻烦，运算时也很烦琐．
2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|.
证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
对称问题(2)
1．直线关于点的对称问题
直线l关于点P对称的直线l′满足：(1)直线l′与直线l平行；(2)直线l′上的任意一点关于点P的对称点都在直线l上．
2．直线关于直线的对称问题
求直线l1关于直线l的对称直线l2的问题，分为l1与l相交和l1与l平行两种情况．①若l1与l相交，首先求出直线l1与l的交点P，然后在直线l1上选择一点M，求出M关于直线l的对称点N，再由两点式或者点斜式求出直线l2的方程，即
②若直线l1与l平行，则直线l2与l也平行，首先变形使得直线l1与l的方程中x，y项的系数对应相等，即l1：Ax＋By＋C1＝0，l：Ax＋By＋C＝0，设直线l2的方程为Ax＋By＋C2＝0.在直线l1上任取一点P，在l上取一点Q，则点P关于点Q的对称点M在直线l2上，确定C2的值，进而可得直线l2的方程．
[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求：
(1)直线l关于点A的对称直线l1的方程；
(2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
分析：(1)设直线l1上任一点的坐标为(x，y)，可求得(x，y)关于点A(2，－3)的对称点，再将对称点代入直线l的方程即可求得直线l关于点A的对称直线l1的方程．
(2)法一：先求已知直线与对称直线的交点，然后在已知直线上任取一点，求得该点关于对称直线的对称点，利用交点和对称点求对称直线的方程．
法二：设直线l2上任一点的坐标为(x，y)，可求得点(x，y)关于直线l的对称点的坐标，再将坐标代入直线2x－y－3＝0，即可求得对称直线l2的方程．
[解析] (1)设直线l1上任一点的坐标为(x，y)，
则(x，y)关于点A(2，－3)的对称点的坐标为(4－x，－6－y)，
而点(4－x，－6－y)在直线l上，所以(4－x)－(－6－y)＋1＝0，
化简可得对称直线l1的方程为x－y－11＝0.
对称问题主要有以下几类：(1)点关于点的对称问题；(2)点关于直线的对称问题；(3)直线关于点的对称问题；(4)直线关于直线的对称问题．重点是点关于点与点关于直线的对称问题．
3.(1)求与直线l1：2x－3y＋1＝0关于点A(1,2)对称的直线l2的方程；
解析：设直线l2上任意一点的坐标为(x，y)，则该点关于点A(1,2)对称的点的坐标为(2－x,4－y)．因为该点在已知直线l1上，所以2(2－x)－3(4－y)＋1＝0，即2x－3y＋7＝0.故直线l2的方程为2x－3y＋7＝0.
(2)已知直线l1：2x－y＋3＝0关于直线l：2x－y＋2＝0的对称直线l2，求直线l2的方程．
解析：因为l1∥l，所以 l2∥l.设直线l2的方程为2x－y＋C＝0，在直线l1，l上分别取点P(0,3)，Q(0,2)，则点P(0,3)关于点Q(0,2)的对称点N(0,1)．将点N(0,1)代入l2的方程，得C＝1，所以直线l2的方程为2x－y＋1＝0.
1．知识清单：(1)两点间的距离公式．
(2)用坐标法解决平面几何问题．
(3)直线关于点的对称与直线关于直线的对称．
2．方法归纳：坐标法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法、构造法．
3．常见误区：用坐标法解决平面几何问题时，坐标系建立不恰当，造成坐标确定困难，线段长度计算烦琐．
课时作业 巩固提升