人教版高中数学选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程 课件（共33张PPT）

(共33张PPT)
2．4.2　圆的一般方程
[学习目标]　1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解圆的一般方程的代数特征，并由圆的一般方程确定圆的圆心和半径．　2.掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件．　3.掌握求轨迹方程的常用方法．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
问题2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中的D，E，F满足什么条件时，这个方程表示圆？
问题3　待定系数法求圆的方程有哪几个步骤？
问题4　代入法(相关点法)求轨迹方程有哪几个步骤？　　　
B
2．若方程x2＋y2－4x＋2y＝a表示圆，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，－5) B．(－5，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：方程x2＋y2－4x＋2y＝a化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝a＋5，
由a＋5>0，解得a>－5，
所以实数a的取值范围是(－5，＋∞)．
B
3．圆x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圆心坐标是__________，半径是__________．
解析：将圆的一般方程x2＋y2－4x＋6y－3＝0化成标准方程，得(x－2)2＋(y＋3)2＝16，所以圆的圆心坐标是(2，－3)，半径是4.
(2，－3)
4
4．过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为
_____________________．
x2＋y2－3x－4y＝0
圆的一般方程的概念
将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的左边配方，并把常数项移到右边，
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程 ，它不表示任何图形．
因此，当 时，方程表示一个圆．我们把方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
没有实数解
D2＋E2－4F>0
分析：判断二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆，有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义可知，若D2＋E2－4F>0成立则表示圆，否则不表示圆；
(2)先将方程配方，再根据圆的标准方程的特征求解．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
　1.方程C1：x2＋y2－2x＋6y＋6＝0，C2：x2＋y2－2x＋6y＋10＝0，C3：x2＋y2－2x＋6y＋11＝0表示的都是圆吗？为什么？
解析：方程x2＋y2－2x＋6y＋6＝0可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝4，表示以(1，－3)为圆心，2为半径的圆；
方程x2＋y2－2x＋6y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝0，不表示圆，表示点(1，－3)；
方程x2＋y2－2x＋6y＋11＝0可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝－1，不表示圆，也不表示任何图形．
　求圆的一般方程
求圆的一般方程一般用待定系数法，设方程为 .根据条件列出方程组求解出D，E，F即可．
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
[例2]　求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
分析：将点O，M1，M2的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．
　用待定系数法求圆的方程的大致步骤
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
　2.求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的一般方程．
　求轨迹方程(相关点法)
轨迹上的动点依赖于某曲线上的动点，找出两个动点坐标之间的关系，消去相关动点的坐标即可得到轨迹方程，这种方法叫做__________________．
相关点法(代入法)
[例3]　已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
分析：如图，点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4.建立点M与点A坐标之间的关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．
　3.已知△ABC的边AB的长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
解析：以直线AB为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，
∵点C不能在x轴上，
∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．
1．知识清单：(1)圆的一般方程的概念．
(2)圆的一般方程与标准方程的互化．
(3)相关点法(代入法)求轨迹方程．
2．方法归纳：待定系数法、相关点法(代入法)．
3．常见误区：忽略轨迹方程变量的取值范围．
课时作业 巩固提升