登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023年高考数学真题分类汇编3：数列、平面向量
一、填空题
1．（2023·全国甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
2．（2023·天津卷）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
3．（2023·全国乙卷）已知为等比数列，，，则 .
4．（2023·上海卷）已知，求 ；
5．（2023·上海卷）已知为等比数列，且，求 ；
6．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知向量，满足
二、选择题
7．（2023·全国甲卷）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（ ）
A．7 B．9 C．15 D．30
8．（2023·全国甲卷）向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国甲卷）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国甲卷）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
11．（2023·全国甲卷）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·天津卷）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
13．（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
14．（2023·全国乙卷）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
16．（2023·新高考Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若则（ ）
A．120 B．85 C．-85 D．120
17．（2023·新高考Ⅰ卷）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
18．（2023·新高考Ⅰ卷）已知向量a=(1，1)，b=(1， 1).若(a+λb)⊥(a+ b)，则（ ）
A．λ+ =1 B．λ+ = 1 C．λ =1 D．λ = 1
三、解答题
19．（2023·全国甲卷）已知数列中，，设为前n项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（2023·天津卷）已知为等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
21．（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
（1）求证：//平面；
（2）若，求三棱锥的体积。
22．（2023·全国乙卷）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
23．（2023·上海卷）已知，取点过其曲线作切线交轴于，取点过其曲线作切线交轴于，若则继续，若则停止，以此类推得到数列.
（1）若正整数，证明；
（2）若正整数，试比较与大小；
（3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列 若存在，求出的所有取值，若不存在，请说明理由.
24．（2023·新高考Ⅱ卷）已知为等差数列，，记 ，为的前n项和，，
（1）求的通项公式.
（2）证明：当n>5时，>.
25．（2023·新高考Ⅰ卷）设等差数列 的公差为 ， 且 ， 令 ，记 分别为数列 ，的前项和.
（1）若，求 的通项公式；
（2）若为等差数列， 且 ，求 .
26．（2023·新高考Ⅰ卷）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布， 且 ，则 ， 记前 次 (即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求 .
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】当时，显然 ， 不满足题意；
当时，
，，即，
，解得
故答案为：
【分析】利用等比数列公式代入求解。
2．【答案】；
【知识点】基本不等式；向量加减混合运算；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，
第一空：∵点为的中点，点为的中点
∴，
由平行四边形法则易得
第二空：由∵，
∴，
∴，
∴
又∵，，
根据余弦定理得：，即
又∵，
∴，解得，
∴
故当且仅当时， 的最大为.
故答案填：.
【分析】根据题意，将其中两边视为基底向量，由平行四边形法则易表示 ；同理利用基底向量可表示 ，进而表示 ，表示后的结构易联想到使用基本不等式求其最大值，由基底夹角结合第三边可联想使用余弦定理得出平方和与乘积的等量关系，消元且使用基本不等式可求得的最大值.
3．【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设 首项为，公比为，
则，，
∵，，
∴，，
∴
化简整理得，，即，
∴，
故答案为：-2.
【分析】设 首项为，公比为，由已知条件结合等差数列通项公式整理化简得出答案.
4．【答案】4
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：4
【分析】由数量积的坐标运算代入即得答案.
5．【答案】189
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵为等比数列 且，
∴.
故答案为：189
【分析】代入等比数列前n项和公式即得答案.
6．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ，化简得，
，，
故答案为：
【分析】利用向量性质，同时平方化简得出答案。
7．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】根据题意，设数列 的公比为q(q>1)，
∴，同理，
由 ，
∴，整理得，解得，
∴.
故选：C.
【分析】根据题意设出公比，利用等比数列前n项和公式将已知条件转化成关于q的方程从而解出q，即可算出 .
8．【答案】D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，解得，即.
如下图，
不妨设
由平行四边形法则易得，四边形OAC'B为正方形，
以OA、OB分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
则，，，则，
∴，
∴
∴.
故选：D.
【分析】由已知向量模与向量和的关系，利用向量性质得出，同时根据特殊数值关系，以分析向量间的位置分布，可结合平面将向量坐标化，进而计算得出向量的夹角余弦值.
9．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】，，，，
，，，
故选：B
【分析】由，，向量坐标运算分别计算，，，再利用公式得出答案。
10．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】为等差数列，
有，，
，
，
故选：C
【分析】利用等差中项公式逐步分析，由需求转化成求。
11．【答案】B
【知识点】向量的模；余弦定理
【解析】【解答】根据题意，易得，不妨设为椭圆左焦点，如下图所示
设，则，
在中，根据余弦定理得，整理得，
∴
又∵
∴
将代入 ，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】根据椭圆定义设，则，由余弦定理得出关于x的等量关系，结合面积的两种表达方式，利用整体的等量关系可直接将计算后代入椭圆方程即可算出 的值.
12．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】 ∵......①，
∴......②
由①－②得，，即，
∴公比为3，
当n=1时，，解得，
，
故选：C.
【分析】由递推公式与关系得出数列公比为，再由递推公式当n=1时，求出首项即得 的值 .
13．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；余弦函数的周期性
【解析】【解答】设等差数列的首项为，由其公差为，
易得，，....，
即得，，，......，
由集合只含有两个元素，即 ，
由上述可知不妨，且，
故，
∴，即，解得，
∴，，
故.
【分析】根据题意结合余弦函数周期性分析得出，，即可计算ab的值.
14．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】根据题意，由，
当cos∠PAD夹角越小值越大，同时结合圆的对称性，故当PA与PC在圆O同测的圆弧上时，达到最大，
如下图所示，连接PO，OA，OD，
∴OA=r=1，，
∴，
∴是等腰直角三角形，∠OPA=45°，
又∵D为BC的中点，
∴OD⊥PC
由 ，设，
∴，，
∴
即
当且仅当
即时，.
故选：A
【分析】结合草图分析，可设夹角，，表示出 结合二倍角与辅助角公式得出正弦型函数，从而分析得出答案.
15．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由正方形的边长为2，为中点可知，，，
，
故选：B
【分析】以，为基底表示，运用数量积进行计算。
16．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】 数列为等比数列，
显然当时不符合题意，
，
，，
，，
解得，
代入得，
故选：C
【分析】直接利用等比通项公式，代入条件解出公比，为避免分类讨论跳过求a1，得到值关系即得答案。
17．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】甲：设数列首项为，公差为，则，
所以，
由等差数列通项公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即甲是乙的充分条件；
乙：设数列是首项为，公差为则，
∴，
由等差数列前n项和公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即乙是甲的充分条件；
∴甲是乙的充要条件。
故选：C
【分析】 根据题意表达数列，结合等差数列通项公式与前n项和公式即得答案。
18．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵，且，
∴=0，
即
故选：D
【分析】 该题主要考察了向量的四则运算及向量垂直的意义，即
19．【答案】（1）由
令n=2，代入 得
，解得，
由，......①
则，()......②
由①-②整理得，(n>2)
既有
所以此时
将与代入通项，等式成立
故．
（2）由(1)的，
令
则
......③
∴......④
由④-③得
，．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)由与递推式得出，进而由与的递推式构造得出与的关系，从而得出 的通项公式 .
(2)由数列结构可用错位相减法求得前n项和．
20．【答案】（1）解：设等差数列 的首项为，公差为d，
∴．
解得：
∴通项公式为，
由求和项数为，
∴
（2）(Ⅰ)由(1)，
∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，即，(k≥2)
故(k≥2)；
证毕！
（Ⅱ） 由(1)得，，则，
设的公比为q，
则，即恒成立，
当，则，
∴此时为使q在实数范围内恒成立，q=2，
此时
同理，由
∴
∴，即恒成立，
故，
∴，
∴，
∴
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)利用通项公式将已知等差数列各项的关系转化为首项与公差的方程组，进而解方程组得出通项公式；利用等差数列通项公式结合求和符号及其意义代入计算得出 ；
(2)根据题意易得 ，从而为分析q与首项，即得，从而结合不等式恒成立分析得出q的值；结合n的取值此处分析，同理，通过不等式恒成立分析即可得出.
21．【答案】（1）如图，连接，，设，
则，
又，
且，即.
，
由∵AB=2，BC=，代入得
解得，
，即为中点，
又∵的中点分别为，
且，且，
∴且，
∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF∥DO
又平面，平面，
（2）由(1)得，OF是的中位线，
易得，
，，，，
为中点，，，
又，平面，平面，
，
【知识点】平面向量数量积的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）以条件作为切入点，考虑以，为基底从向量角度表示，并运用数量积为0确判断点的位置，从而得出F为中点，由多个中点产生的中位线证明线面平行；
（2）由(1)易知底面存在中位线，即存在面积的倍数关系，利用等高可将三棱锥体积转化为，利用条件简单分析得到的线面垂直，即以为底面、OC为高求出此时几何体的体积即得答案。
22．【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。
23．【答案】（1）根据题意，可设 过其曲线 切线交y轴于，
由 ，
则，
则过的斜率，
∴此时切线方程为，即.
令x=0，即由，证毕；
（2）由(1)得，故 -()=
令，
则，
∴在上单调递减，
令，则.
故在上单调递增，在单调递减，
即，
∴，即，
∴-()≤0，即.
（3）由(1)易得，，....，，
①假设存在 依次成等差数列，设公差为d，
∴，
∴，
由，由(2)可知，
∴，即方程无实数解；
∴当时，依次成等差数列不成立；
②当成等差数列，即，
∵，
∴，
∴，即
令，
则
∵，即n>0，∴，
∴在上单调递增，
又∵，，
∴在上必存在一个零点使得，
∴方程有唯一解，
即存在k=3时，成等差数列.
综上所述，存在k=3时，成等差数列.
【知识点】利用导数研究函数的极值；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)根据题意，可得到切线方程与y轴交点与切点的前后关系，故可设，结合题意按一般求导法求切线方程易证得；
(2)由(1)结合作差法易，令且构造函数，求导得出函数极值从而得出二者大小关系；
(3)假设对任意的k满足 依次成等差数列 ，将式子变形整理易得，结合(2)可知该方程无解，故此时假设不成立；另假设特殊情形成等差数列进而消元转化成只含的方程，转化成函数与x轴交点问题，求导进行单调性分析即得答案.
24．【答案】（1） 数列为等差数列，设首项为公差，
由
，
由等差数列前n项和公式得，........①
，........②
联立①②，解得，，
为通项公式为
（2）由（1）知，
，，
①当n为偶数且n>5，此时
则，即
②当n为奇数且n>5，此时
则，即
综上所述，当时，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）直接利用等差数列通项公式与前n项和公式代入求解；
（2）分组求出当为奇数和偶数的值，与作差结合二次函数或因式分解比较代数式的大小。
25．【答案】（1）∵且an是等差数列
∴，
整理得，
此时，
所以，解得
∴.
（2）由等差数列可设，
则，
∴
①若A=0时，则，此时，，
则，
则
解得
②若B=0时，则，此时，，
同理可得，
则
解得
综上所述
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)结合等差数列通项公式消元，均可以用d表示a1、an、bn；
(2)利用已知条件设等差数列为一次函数型，将已知条件消元整理转化成只含d表示.
26．【答案】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
第1次甲投篮未中，第2次乙投篮的概率：，
两次投篮都是乙的概率：，
故第二次投篮是乙的概率为.
（2）设第投篮的人是甲的概率为，
则，
，所以是首项为，公比为，，
所以
（3）由（2）得，由题意得甲第投篮次数服从两点分布，且，
∴，
∴，
检验当时也满足上式，
综上所述：
【知识点】数列的应用；概率的基本性质；分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理得出答案；
(2)为求第i次投篮的概率，根据题意，需由i-1次计算，从而找出前一次与后一次的关系，求pi的关系即需利用数列关系构造法求其通项公式；
(3)根据题意Xi服从二项分布，为求 进一步分析即求pi前n项和.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
2023年高考数学真题分类汇编3：数列、平面向量
一、填空题
1．（2023·全国甲卷）记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】当时，显然 ， 不满足题意；
当时，
，，即，
，解得
故答案为：
【分析】利用等比数列公式代入求解。
2．（2023·天津卷）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】；
【知识点】基本不等式；向量加减混合运算；余弦定理
【解析】【解答】如图所示，
第一空：∵点为的中点，点为的中点
∴，
由平行四边形法则易得
第二空：由∵，
∴，
∴，
∴
又∵，，
根据余弦定理得：，即
又∵，
∴，解得，
∴
故当且仅当时， 的最大为.
故答案填：.
【分析】根据题意，将其中两边视为基底向量，由平行四边形法则易表示 ；同理利用基底向量可表示 ，进而表示 ，表示后的结构易联想到使用基本不等式求其最大值，由基底夹角结合第三边可联想使用余弦定理得出平方和与乘积的等量关系，消元且使用基本不等式可求得的最大值.
3．（2023·全国乙卷）已知为等比数列，，，则 .
【答案】
【知识点】等比数列的通项公式
【解析】【解答】设 首项为，公比为，
则，，
∵，，
∴，，
∴
化简整理得，，即，
∴，
故答案为：-2.
【分析】设 首项为，公比为，由已知条件结合等差数列通项公式整理化简得出答案.
4．（2023·上海卷）已知，求 ；
【答案】4
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：4
【分析】由数量积的坐标运算代入即得答案.
5．（2023·上海卷）已知为等比数列，且，求 ；
【答案】189
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】∵为等比数列 且，
∴.
故答案为：189
【分析】代入等比数列前n项和公式即得答案.
6．（2023·新高考Ⅱ卷） 已知向量，满足
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】 ，化简得，
，，
故答案为：
【分析】利用向量性质，同时平方化简得出答案。
二、选择题
7．（2023·全国甲卷）已知正项等比数列中，为前n项和，，则（ ）
A．7 B．9 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】根据题意，设数列 的公比为q(q>1)，
∴，同理，
由 ，
∴，整理得，解得，
∴.
故选：C.
【分析】根据题意设出公比，利用等比数列前n项和公式将已知条件转化成关于q的方程从而解出q，即可算出 .
8．（2023·全国甲卷）向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】∵，
∴，
又∵，
∴，解得，即.
如下图，
不妨设
由平行四边形法则易得，四边形OAC'B为正方形，
以OA、OB分别为x、y轴建立平面直角坐标系，
则，，，则，
∴，
∴
∴.
故选：D.
【分析】由已知向量模与向量和的关系，利用向量性质得出，同时根据特殊数值关系，以分析向量间的位置分布，可结合平面将向量坐标化，进而计算得出向量的夹角余弦值.
9．（2023·全国甲卷）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】，，，，
，，，
故选：B
【分析】由，，向量坐标运算分别计算，，，再利用公式得出答案。
10．（2023·全国甲卷）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】为等差数列，
有，，
，
，
故选：C
【分析】利用等差中项公式逐步分析，由需求转化成求。
11．（2023·全国甲卷）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】向量的模；余弦定理
【解析】【解答】根据题意，易得，不妨设为椭圆左焦点，如下图所示
设，则，
在中，根据余弦定理得，整理得，
∴
又∵
∴
将代入 ，
∴，
∴.
故选：B.
【分析】根据椭圆定义设，则，由余弦定理得出关于x的等量关系，结合面积的两种表达方式，利用整体的等量关系可直接将计算后代入椭圆方程即可算出 的值.
12．（2023·天津卷）已知为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】 ∵......①，
∴......②
由①－②得，，即，
∴公比为3，
当n=1时，，解得，
，
故选：C.
【分析】由递推公式与关系得出数列公比为，再由递推公式当n=1时，求出首项即得 的值 .
13．（2023·全国乙卷）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；余弦函数的周期性
【解析】【解答】设等差数列的首项为，由其公差为，
易得，，....，
即得，，，......，
由集合只含有两个元素，即 ，
由上述可知不妨，且，
故，
∴，即，解得，
∴，，
故.
【分析】根据题意结合余弦函数周期性分析得出，，即可计算ab的值.
14．（2023·全国乙卷）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】根据题意，由，
当cos∠PAD夹角越小值越大，同时结合圆的对称性，故当PA与PC在圆O同测的圆弧上时，达到最大，
如下图所示，连接PO，OA，OD，
∴OA=r=1，，
∴，
∴是等腰直角三角形，∠OPA=45°，
又∵D为BC的中点，
∴OD⊥PC
由 ，设，
∴，，
∴
即
当且仅当
即时，.
故选：A
【分析】结合草图分析，可设夹角，，表示出 结合二倍角与辅助角公式得出正弦型函数，从而分析得出答案.
15．（2023·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由正方形的边长为2，为中点可知，，，
，
故选：B
【分析】以，为基底表示，运用数量积进行计算。
16．（2023·新高考Ⅱ卷）记为等比数列的前n项和，若则（ ）
A．120 B．85 C．-85 D．120
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】 数列为等比数列，
显然当时不符合题意，
，
，，
，，
解得，
代入得，
故选：C
【分析】直接利用等比通项公式，代入条件解出公比，为避免分类讨论跳过求a1，得到值关系即得答案。
17．（2023·新高考Ⅰ卷）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】甲：设数列首项为，公差为，则，
所以，
由等差数列通项公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即甲是乙的充分条件；
乙：设数列是首项为，公差为则，
∴，
由等差数列前n项和公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即乙是甲的充分条件；
∴甲是乙的充要条件。
故选：C
【分析】 根据题意表达数列，结合等差数列通项公式与前n项和公式即得答案。
18．（2023·新高考Ⅰ卷）已知向量a=(1，1)，b=(1， 1).若(a+λb)⊥(a+ b)，则（ ）
A．λ+ =1 B．λ+ = 1 C．λ =1 D．λ = 1
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】∵，且，
∴=0，
即
故选：D
【分析】 该题主要考察了向量的四则运算及向量垂直的意义，即
三、解答题
19．（2023·全国甲卷）已知数列中，，设为前n项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）由
令n=2，代入 得
，解得，
由，......①
则，()......②
由①-②整理得，(n>2)
既有
所以此时
将与代入通项，等式成立
故．
（2）由(1)的，
令
则
......③
∴......④
由④-③得
，．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)由与递推式得出，进而由与的递推式构造得出与的关系，从而得出 的通项公式 .
(2)由数列结构可用错位相减法求得前n项和．
20．（2023·天津卷）已知为等差数列，．
（1）求的通项公式和．
（2）已知为等比数列，对于任意，若，则，
（Ⅰ）当时，求证：；
（Ⅱ）求的通项公式及其前项和．
【答案】（1）解：设等差数列 的首项为，公差为d，
∴．
解得：
∴通项公式为，
由求和项数为，
∴
（2）(Ⅰ)由(1)，
∵，
∴，即，
由∵，
∴，
∴，即，(k≥2)
故(k≥2)；
证毕！
（Ⅱ） 由(1)得，，则，
设的公比为q，
则，即恒成立，
当，则，
∴此时为使q在实数范围内恒成立，q=2，
此时
同理，由
∴
∴，即恒成立，
故，
∴，
∴，
∴
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)利用通项公式将已知等差数列各项的关系转化为首项与公差的方程组，进而解方程组得出通项公式；利用等差数列通项公式结合求和符号及其意义代入计算得出 ；
(2)根据题意易得 ，从而为分析q与首项，即得，从而结合不等式恒成立分析得出q的值；结合n的取值此处分析，同理，通过不等式恒成立分析即可得出.
21．（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
（1）求证：//平面；
（2）若，求三棱锥的体积。
【答案】（1）如图，连接，，设，
则，
又，
且，即.
，
由∵AB=2，BC=，代入得
解得，
，即为中点，
又∵的中点分别为，
且，且，
∴且，
∴四边形DEFO为平行四边形，∴EF∥DO
又平面，平面，
（2）由(1)得，OF是的中位线，
易得，
，，，，
为中点，，，
又，平面，平面，
，
【知识点】平面向量数量积的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）以条件作为切入点，考虑以，为基底从向量角度表示，并运用数量积为0确判断点的位置，从而得出F为中点，由多个中点产生的中位线证明线面平行；
（2）由(1)易知底面存在中位线，即存在面积的倍数关系，利用等高可将三棱锥体积转化为，利用条件简单分析得到的线面垂直，即以为底面、OC为高求出此时几何体的体积即得答案。
22．（2023·全国乙卷）记为等差数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）设等差数列首项为，公差为，
则，，
，，解得，，
（2）由（1）知，
令，解得
当时，可得；
当时，可得，
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】 【分析】（1）利用公式，根据已知条件表达有关与d的方程组计算并得出答案；
（2）讨论的符号去绝对值，分类得出。
23．（2023·上海卷）已知，取点过其曲线作切线交轴于，取点过其曲线作切线交轴于，若则继续，若则停止，以此类推得到数列.
（1）若正整数，证明；
（2）若正整数，试比较与大小；
（3）若正整数，是否存在使得依次成等差数列 若存在，求出的所有取值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）根据题意，可设 过其曲线 切线交y轴于，
由 ，
则，
则过的斜率，
∴此时切线方程为，即.
令x=0，即由，证毕；
（2）由(1)得，故 -()=
令，
则，
∴在上单调递减，
令，则.
故在上单调递增，在单调递减，
即，
∴，即，
∴-()≤0，即.
（3）由(1)易得，，....，，
①假设存在 依次成等差数列，设公差为d，
∴，
∴，
由，由(2)可知，
∴，即方程无实数解；
∴当时，依次成等差数列不成立；
②当成等差数列，即，
∵，
∴，
∴，即
令，
则
∵，即n>0，∴，
∴在上单调递增，
又∵，，
∴在上必存在一个零点使得，
∴方程有唯一解，
即存在k=3时，成等差数列.
综上所述，存在k=3时，成等差数列.
【知识点】利用导数研究函数的极值；数列的递推公式
【解析】【分析】(1)根据题意，可得到切线方程与y轴交点与切点的前后关系，故可设，结合题意按一般求导法求切线方程易证得；
(2)由(1)结合作差法易，令且构造函数，求导得出函数极值从而得出二者大小关系；
(3)假设对任意的k满足 依次成等差数列 ，将式子变形整理易得，结合(2)可知该方程无解，故此时假设不成立；另假设特殊情形成等差数列进而消元转化成只含的方程，转化成函数与x轴交点问题，求导进行单调性分析即得答案.
24．（2023·新高考Ⅱ卷）已知为等差数列，，记 ，为的前n项和，，
（1）求的通项公式.
（2）证明：当n>5时，>.
【答案】（1） 数列为等差数列，设首项为公差，
由
，
由等差数列前n项和公式得，........①
，........②
联立①②，解得，，
为通项公式为
（2）由（1）知，
，，
①当n为偶数且n>5，此时
则，即
②当n为奇数且n>5，此时
则，即
综上所述，当时，.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）直接利用等差数列通项公式与前n项和公式代入求解；
（2）分组求出当为奇数和偶数的值，与作差结合二次函数或因式分解比较代数式的大小。
25．（2023·新高考Ⅰ卷）设等差数列 的公差为 ， 且 ， 令 ，记 分别为数列 ，的前项和.
（1）若，求 的通项公式；
（2）若为等差数列， 且 ，求 .
【答案】（1）∵且an是等差数列
∴，
整理得，
此时，
所以，解得
∴.
（2）由等差数列可设，
则，
∴
①若A=0时，则，此时，，
则，
则
解得
②若B=0时，则，此时，，
同理可得，
则
解得
综上所述
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 (1)结合等差数列通项公式消元，均可以用d表示a1、an、bn；
(2)利用已知条件设等差数列为一次函数型，将已知条件消元整理转化成只含d表示.
26．（2023·新高考Ⅰ卷）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签决定第一次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.
（1）求第2次投篮的人是乙的概率；
（2）求第i次投篮的人是甲的概率；
（3）已知：若随机变量服从两点分布， 且 ，则 ， 记前 次 (即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为，求 .
【答案】（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，
第1次甲投篮未中，第2次乙投篮的概率：，
两次投篮都是乙的概率：，
故第二次投篮是乙的概率为.
（2）设第投篮的人是甲的概率为，
则，
，所以是首项为，公比为，，
所以
（3）由（2）得，由题意得甲第投篮次数服从两点分布，且，
∴，
∴，
检验当时也满足上式，
综上所述：
【知识点】数列的应用；概率的基本性质；分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理得出答案；
(2)为求第i次投篮的概率，根据题意，需由i-1次计算，从而找出前一次与后一次的关系，求pi的关系即需利用数列关系构造法求其通项公式；
(3)根据题意Xi服从二项分布，为求 进一步分析即求pi前n项和.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
