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2023年高考数学真题分类汇编4:排列组合与概率统计、算法与框图
一、填空题
1.(2023·天津卷)在的展开式中,项的系数为 .
2.(2023·天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为 ;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为 .
3.(2023·上海卷)空间内存在三点,满足,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点与可以组成正四棱锥,求方案数为 ;
4.(2023·上海卷)已知,其中,若且,当时,的最大值是 ;
5.(2023·上海卷)国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在2020年间经济高质量增长,GDP稳步增长,第一季度和第四季度的GDP分别为231和242,且四个季度GDP的中位数与平均数相等,则2020年GDP总额为 ;
6.(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
二、选择题
7.(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部,60人报名乒乓球俱乐部,70人报名足球或乒乓球俱乐部,若已知某人报足球俱乐部,则其报乒乓球俱乐部的概率为( )
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
8.(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A.120 B.60 C.40 D.30
9.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. B. C. D.
10.(2023·全国甲卷)执行下面的程序框遇,输出的( )
A.21 B.34 C.55 D.89
11.(2023·全国甲卷)执行下边的程序框图,则输出的( )
A.21 B.34 C.55 D.89
12.(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数,下列说法正确的是( )
A.花瓣长度和花萼长度没有相关性
B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是
13.(2023·全国乙卷)设O为平面坐标系的坐标原点,在区域内随机取一点,记该点为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
14.(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
15.(2023·全国乙卷)设O为平面坐标系的坐标原点,在区域内随机取一点A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
16.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
A. B. C. D.
17.(2023·上海卷)根据身高和体重散点图,下列说法正确的是( ).
A.身高越高,体重越重 B.身高越高,体重越轻
C.身高与体重成正相关 D.身高与体重成负相关
18.(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为,收到1的概率为.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次,收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码:三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1)
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到 1,0,1的概率为
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为
D.当时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
19.(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同抽样结果共有( ).
A.种 B.种
C.种 D. 种
20.(2023·新高考Ⅰ卷) 有一组样本数据 , 其中 是最小值, 是最大值, 则( )
A. 的平均数等于 的平均数
B. 的中位数等于 的中位数
C. 的标准差不小于 的标准差
D. 的极差不大于 的极差
三、解答题
21.(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数;
(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表
对照组
试验组
(ⅱ)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?
附:,
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
22.(2023·全国甲卷)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).
(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为,求的分布列和数学期望;
(2)测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)
对照组:17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组:5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表:
m 合计
对照组
实验组
合计
(ii)根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据:
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
23.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,(),试验结果如下
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记,记,,…,的样本平均数为,样本方差为,
(1)求,;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).
24.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,.试验结果如下:
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记,记的样本平均数为,样本方差为.
(1)求,;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高)
25.(2023·上海卷) 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行,下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件为小明取到的模型为红色外观,事件B为取到模型有棕色内饰.
求,并据此判断事件和事件是否独立;
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:
假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色;
假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;
假设3:奖金额为一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元;
请你分析奖项对应的结果,设为奖金额,写出的分布列并求出的数学期望
26.(2023·新高考Ⅱ卷) 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳形,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为;误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率时,求临近值c和误诊率;
(2)设函数,当时,求的解析式,并求在区间的最小值.
27.(2023·新高考Ⅰ卷)甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲,乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量服从两点分布, 且 ,则 , 记前 次 (即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为,求 .
答案解析部分
1.【答案】60
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ,则通项,
当,即,此时系数.
故答案填:60.
【分析】根据二项式定理得出通项,整理代入即得 项的系数.
2.【答案】;
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】第一空:由分步乘法原理得三个球都是黑球的概率为:;
第二空:由三个盒子总数之比为,可设三个盒子中球的数量分别为,则总球数为:15x;
黑球总数为,
∴白球的数量为9x,故任取一球是白球的概率为:,
故答案填:|.
【分析】由分步乘法原理计算都拿到黑球的概率,根据黑球所占比例可进一步算出白球所占总球数的比例得出答案.
3.【答案】9
【知识点】计数原理的应用;棱锥的结构特征
【解析】【解答】在△ABC为等边三角形,故三点不能同时作为正四棱锥的底面,必有一点作为顶点.共三种可能.
考虑其中两点作为正四棱锥底面,即构成正方形的两点:
①若其中两点为边:如图,此时有两种可能,
故可能的方案有3×2=6(种),
②若其中两点为对角线,结合空间结构分析此时只有一种情况,故3×1=3(种),
∴总方案有9中,
故答案为:9
【分析】由正四棱锥几何结构分析,三点中必有一点作为顶点,另两点构成底面正方形中的两点,再分别讨论底面组成情况得出答案.
4.【答案】49
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ;
当 ,即
①当r为偶数时,,不符合题意
②当r为奇数时,只需,即,∴k<50
则符合题意r值最大为49.
故答案为:49
【分析】由二项式定理通项公式化简整理,结合不等式奇偶分析解得符合题意的k值.
5.【答案】946
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】根据题意,设第二季度和第三季的的GDP分别为a和b
由GDP稳步增大,故,
又∵ 四个季度GDP的中位数与平均数相等
即
解得a+b=473,
∴231+a+b+242=946.
故答案为:946.
【分析】根据题意分析由平均数和中位数相等列式得出答案.
6.【答案】64
【知识点】计数原理的应用
【解析】【解答】当学生选修2门时,有种;
当学生选修3门时,选修2门体育1门艺术有种,选修2门艺术1门体育有种。
则共有种。
故答案为:64
【分析】 根据题意分情况讨论,由分类加法原理结合分步乘法原理,即可得出答案。
7.【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式;全概率公式
【解析】【解答】根据题意,结合V-N图,
易得A+B=50,B+C=60,A+B+C=70,
∴B=(A+B)+(B+C)-(A+B+C)=40,
记报名足球俱乐部为事件A,报名兵乓球俱乐部为事件C,
由条件概率得
【分析】借助韦恩图分析各部分报名人数,由古典概型、条件概率公式得出答案.
8.【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】星期六先选两人参加服务,则有种选择,
星期天从两人中选一人,同时从剩下三人中选一人,则有种选择,
由分步乘法原理则共有种.
故选:B.
【分析】根据题意,可以从时间角度按步进行选择,结合分步乘法原理即可.
9.【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式;分步乘法计数原理
【解析】【解答】从4名学生中随机选2人组织文艺汇演共有种情况,
这2名同学来自不同年级的有种情况,
2名同学来自不同年级的概率为。
故选:D
【分析】利用古典概型分别求出基本事件总数和满足条件的基本事件个数,得出答案。
10.【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】
n 1 2 3 4
是 是 是 否;输出B
A=A+B 3 8 21
B=A+B 5 13 34
k=k+1 2 3 4
故选:B
【分析】根据程序框图流程列表分析,得出答案。
11.【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】
k 1 2 3 4
是 是 是 否;输出B
A=A+B 3 8 21
B=A+B 5 13 34
k=k+1 2 3 4
故选:B
【分析】根据程序框图流程列表,得出答案。
12.【答案】C
【知识点】变量间的相关关系
【解析】【解答】根据散点图的数据显示, 花瓣长度和花萼长度呈现正相关,故A、B错误,C正确;
由散点图相关系数反应总体数值的趋势走向,部分数值则在相关系数左右波动,
故若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数不一定是,故D错误,
故选:C.
【分析】由散点图与相关系数的定义得出答案.
13.【答案】C
【知识点】几何概型;圆的标准方程
【解析】【解答】 区域表示以圆心,半径为和半径为组成的圆环,
直线倾斜角不大于为如下阴影部分表示的区域,其中,结合对称性可得所求概率
故选:C.
【分析】 画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。
14.【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】根据题意,两人选读的总选法有:种,
其中,两人选择的读物中都不同的选法有:种,
两人选择的读物中都相同的选法有:种,
故两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有:225-90-15=120种,
故选:C.
【分析】由事件总数减去两人选择的读物均相同或均不同情形可得出答案.
15.【答案】C
【知识点】几何概型;圆的标准方程
【解析】【解答】区域表示以圆心,半径为和半径为组成的圆环,
直线倾斜角不大于为如下阴影部分表示的区域,其中,结合对称性可得所求概率
故选:C
【分析】画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。
16.【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式;排列、组合的实际应用
【解析】【解答】甲有6种选择,乙也有6种选择,总数,
若甲乙抽到的主题不同,则共有,
其概率为.
故选:A
【分析】根据古典概型求出所有情况及满足题意的情况得出概率。
17.【答案】C
【知识点】变量间的相关关系;散点图
【解析】【解答】根据散点图反映的体重与身高关系趋势,身高与体重成正相关
故选:A.
【分析】根据散点图与线性相关关系判断可得答案.
18.【答案】A,B,D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】依题意
发送 0 1
收到0的概率
收到1的概率
A:依次发送1,0,1的事件相互独立,依次发送1,0,1的概率为,故A正确;
B:三次传输发送1依次收到1,0,1是相互独立,概率为,故B正确
C:三次传输发送1译码为1的概率,是依次收到1,1,1;1,1,0;1,0,1;0,1,1的概率和,
概率为,故C错误
D:由C知三次传输发送0译码为0的概率,单次传输0译码为0的概率,
,
由知,
三次传输方案译码为0的概率大于单次传输方案译码为0,故D正确
故选:ABD
【分析】利用相互独立事件和互斥事件的概率求解逐项判断可得答案。
19.【答案】D
【知识点】分层抽样方法;分步乘法计数原理
【解析】【解答】 根据分层抽样定义
初中抽取:(人),高中抽取:(人),
再利用分步乘法计数原理共有不同抽样结果。
故选:D
【分析】根据分层抽样计算初中抽取40人,高中抽取20人,再用分步乘法计算共有多少结果。
20.【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差
【解析】【解答】假设,
A:∵,故A错误;
B:的中位数为,的中位数也为,故B正确;
C:由标准差定义可知,其反应数据拨动程度,去掉最大值与最小值,则拨动程度更小,即标准差更小,故C错误;
D:的极差为,的极差为,易得<,故D正确.
【分析】 根据平均数,中位数,标准差和极差逐项分析可得答案.
21.【答案】(1)试验组样本平均数:
(2)(i)依题意将40只小白鼠体重数据重新排列得:
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.2 15.5 16.5 18.0 18.8
18.8 19.2 19.8 20.2 20.2 21.3 21.6 22.5 22.8 23.2
23.6 23.9 25.1 25.8 26.5 27.5 28.2 30.1 32.3 32.6
34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 36.5 37.3 40.5 43.2
中位数
列联表为:
合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
(ii)由(i)知,
能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异。
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)利用求平均数公式直接代入数据进行计算;
(2)(i)利用中位数定义将数据重新排列求m;
(ii)根据m值完成列联表代入计算,再根据附表数值进行得出结论。
22.【答案】(1)根据题意,X的可能分别是0,1,2.
,
,
∴的分布列为:
X 0 1 2
P
∴.
(2)(i)依题意得,从40只小鼠按小到大顺序排列中,体重位于中间两位的是23.2与23.6.
∴,
故列联表为:
m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
(ii)由图标代入公式可得
,
根据参考数据,
∵6.4>3.841
故能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【知识点】独立性检验;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)依题意得列出X的可能性,结合简单求概率公式易得X分布列及数学期望;
(2)根据已知数据求出m的值,并统计得到 2×2列联表,由独立性检验计算结果并结合参考数据得出结论.
23.【答案】(1)∵,根据图表数值则分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12.
∴,
.
(2)由(1)得,,
∴
∴,
故认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据题意结合平均数与方差计算方法计算可得出答案;
(2)由(1)得出的结论代入 , 比较二者大小即可得出相关结论;
24.【答案】(1)
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12
(2)由(1)知,,
,
甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。
【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)先分析求出利用公式计算,;
(2)直接求解与比大小判断。
25.【答案】(1)根据题意可知,模型总数为25个,含红色外观模型的有12+2=14(个),含综合内饰模型的有12+8=20(个),即含红色外观又含棕色内饰模型的有12个
∴,,,
又∵,故事件A与事件B不独立.
(2)由题意可知,X可能为600,300,150.
设拿到外观和内饰均为同色为事件C、拿到外观内饰都异色为事件D、拿到仅外观或仅内饰同色为事件E,
∴
∵,即
故X的分别列为
X 150 300 600
P
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差;条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)根据条件概率公式分别计算即可得出 , 为判断事件和事件是否独立只需判断 与是否相等;
(2)分别求出三种抽奖结果的概率并根据概率大小对应金额排序计算数学期望.
26.【答案】(1)由患病者的指标图象
其矩形面积=> ,
,解得,
(2)当时,
∵-0.008<0,
∴当c=100时,
当时,
∵0.01>0,
∴当c=100时,
,
在区间的最小值为.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】(1)分析患病者的图象求出,再分析未患病者图象求出指标大于等于的矩形面积即为;
(2)分别讨论和时的解析式并从函数角度分析其最值。
27.【答案】(1)设第2次投篮的人是乙的概率为P,
第1次甲投篮未中,第2次乙投篮的概率:,
两次投篮都是乙的概率:,
故第二次投篮是乙的概率为.
(2)设第投篮的人是甲的概率为,
则,
,所以是首项为,公比为,,
所以
(3)由(2)得,由题意得甲第投篮次数服从两点分布,且,
∴,
∴,
检验当时也满足上式,
综上所述:
【知识点】数列的应用;概率的基本性质;分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理得出答案;
(2)为求第i次投篮的概率,根据题意,需由i-1次计算,从而找出前一次与后一次的关系,求pi的关系即需利用数列关系构造法求其通项公式;
(3)根据题意Xi服从二项分布,为求 进一步分析即求pi前n项和.
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2023年高考数学真题分类汇编4:排列组合与概率统计、算法与框图
一、填空题
1.(2023·天津卷)在的展开式中,项的系数为 .
【答案】60
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ,则通项,
当,即,此时系数.
故答案填:60.
【分析】根据二项式定理得出通项,整理代入即得 项的系数.
2.(2023·天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为 ;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为 .
【答案】;
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】第一空:由分步乘法原理得三个球都是黑球的概率为:;
第二空:由三个盒子总数之比为,可设三个盒子中球的数量分别为,则总球数为:15x;
黑球总数为,
∴白球的数量为9x,故任取一球是白球的概率为:,
故答案填:|.
【分析】由分步乘法原理计算都拿到黑球的概率,根据黑球所占比例可进一步算出白球所占总球数的比例得出答案.
3.(2023·上海卷)空间内存在三点,满足,在空间内取不同两点(不计顺序),使得这两点与可以组成正四棱锥,求方案数为 ;
【答案】9
【知识点】计数原理的应用;棱锥的结构特征
【解析】【解答】在△ABC为等边三角形,故三点不能同时作为正四棱锥的底面,必有一点作为顶点.共三种可能.
考虑其中两点作为正四棱锥底面,即构成正方形的两点:
①若其中两点为边:如图,此时有两种可能,
故可能的方案有3×2=6(种),
②若其中两点为对角线,结合空间结构分析此时只有一种情况,故3×1=3(种),
∴总方案有9中,
故答案为:9
【分析】由正四棱锥几何结构分析,三点中必有一点作为顶点,另两点构成底面正方形中的两点,再分别讨论底面组成情况得出答案.
4.(2023·上海卷)已知,其中,若且,当时,的最大值是 ;
【答案】49
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】由 ;
当 ,即
①当r为偶数时,,不符合题意
②当r为奇数时,只需,即,∴k<50
则符合题意r值最大为49.
故答案为:49
【分析】由二项式定理通项公式化简整理,结合不等式奇偶分析解得符合题意的k值.
5.(2023·上海卷)国内生产总值(GDP)是衡量地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在2020年间经济高质量增长,GDP稳步增长,第一季度和第四季度的GDP分别为231和242,且四个季度GDP的中位数与平均数相等,则2020年GDP总额为 ;
【答案】946
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】根据题意,设第二季度和第三季的的GDP分别为a和b
由GDP稳步增大,故,
又∵ 四个季度GDP的中位数与平均数相等
即
解得a+b=473,
∴231+a+b+242=946.
故答案为:946.
【分析】根据题意分析由平均数和中位数相等列式得出答案.
6.(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
【答案】64
【知识点】计数原理的应用
【解析】【解答】当学生选修2门时,有种;
当学生选修3门时,选修2门体育1门艺术有种,选修2门艺术1门体育有种。
则共有种。
故答案为:64
【分析】 根据题意分情况讨论,由分类加法原理结合分步乘法原理,即可得出答案。
二、选择题
7.(2023·全国甲卷)有50人报名足球俱乐部,60人报名乒乓球俱乐部,70人报名足球或乒乓球俱乐部,若已知某人报足球俱乐部,则其报乒乓球俱乐部的概率为( )
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式;全概率公式
【解析】【解答】根据题意,结合V-N图,
易得A+B=50,B+C=60,A+B+C=70,
∴B=(A+B)+(B+C)-(A+B+C)=40,
记报名足球俱乐部为事件A,报名兵乓球俱乐部为事件C,
由条件概率得
【分析】借助韦恩图分析各部分报名人数,由古典概型、条件概率公式得出答案.
8.(2023·全国甲卷)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为( )
A.120 B.60 C.40 D.30
【答案】B
【知识点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】星期六先选两人参加服务,则有种选择,
星期天从两人中选一人,同时从剩下三人中选一人,则有种选择,
由分步乘法原理则共有种.
故选:B.
【分析】根据题意,可以从时间角度按步进行选择,结合分步乘法原理即可.
9.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式;分步乘法计数原理
【解析】【解答】从4名学生中随机选2人组织文艺汇演共有种情况,
这2名同学来自不同年级的有种情况,
2名同学来自不同年级的概率为。
故选:D
【分析】利用古典概型分别求出基本事件总数和满足条件的基本事件个数,得出答案。
10.(2023·全国甲卷)执行下面的程序框遇,输出的( )
A.21 B.34 C.55 D.89
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】【解答】
n 1 2 3 4
是 是 是 否;输出B
A=A+B 3 8 21
B=A+B 5 13 34
k=k+1 2 3 4
故选:B
【分析】根据程序框图流程列表分析,得出答案。
11.(2023·全国甲卷)执行下边的程序框图,则输出的( )
A.21 B.34 C.55 D.89
【答案】B
【知识点】循环结构
【解析】【解答】
k 1 2 3 4
是 是 是 否;输出B
A=A+B 3 8 21
B=A+B 5 13 34
k=k+1 2 3 4
故选:B
【分析】根据程序框图流程列表,得出答案。
12.(2023·天津卷)调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数,下列说法正确的是( )
A.花瓣长度和花萼长度没有相关性
B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【知识点】变量间的相关关系
【解析】【解答】根据散点图的数据显示, 花瓣长度和花萼长度呈现正相关,故A、B错误,C正确;
由散点图相关系数反应总体数值的趋势走向,部分数值则在相关系数左右波动,
故若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数不一定是,故D错误,
故选:C.
【分析】由散点图与相关系数的定义得出答案.
13.(2023·全国乙卷)设O为平面坐标系的坐标原点,在区域内随机取一点,记该点为A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】几何概型;圆的标准方程
【解析】【解答】 区域表示以圆心,半径为和半径为组成的圆环,
直线倾斜角不大于为如下阴影部分表示的区域,其中,结合对称性可得所求概率
故选:C.
【分析】 画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。
14.(2023·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种 B.60种 C.120种 D.240种
【答案】C
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】根据题意,两人选读的总选法有:种,
其中,两人选择的读物中都不同的选法有:种,
两人选择的读物中都相同的选法有:种,
故两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法有:225-90-15=120种,
故选:C.
【分析】由事件总数减去两人选择的读物均相同或均不同情形可得出答案.
15.(2023·全国乙卷)设O为平面坐标系的坐标原点,在区域内随机取一点A,则直线OA的倾斜角不大于的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】几何概型;圆的标准方程
【解析】【解答】区域表示以圆心,半径为和半径为组成的圆环,
直线倾斜角不大于为如下阴影部分表示的区域,其中,结合对称性可得所求概率
故选:C
【分析】画出满足条件的图形区域结合几何概型求解。
16.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式;排列、组合的实际应用
【解析】【解答】甲有6种选择,乙也有6种选择,总数,
若甲乙抽到的主题不同,则共有,
其概率为.
故选:A
【分析】根据古典概型求出所有情况及满足题意的情况得出概率。
17.(2023·上海卷)根据身高和体重散点图,下列说法正确的是( ).
A.身高越高,体重越重 B.身高越高,体重越轻
C.身高与体重成正相关 D.身高与体重成负相关
【答案】C
【知识点】变量间的相关关系;散点图
【解析】【解答】根据散点图反映的体重与身高关系趋势,身高与体重成正相关
故选:A.
【分析】根据散点图与线性相关关系判断可得答案.
18.(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为,收到0的概率为;发送1时,收到0的概率为,收到1的概率为.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次,收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码:三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1)
A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为
B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到 1,0,1的概率为
C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为
D.当时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
【答案】A,B,D
【知识点】概率的应用
【解析】【解答】依题意
发送 0 1
收到0的概率
收到1的概率
A:依次发送1,0,1的事件相互独立,依次发送1,0,1的概率为,故A正确;
B:三次传输发送1依次收到1,0,1是相互独立,概率为,故B正确
C:三次传输发送1译码为1的概率,是依次收到1,1,1;1,1,0;1,0,1;0,1,1的概率和,
概率为,故C错误
D:由C知三次传输发送0译码为0的概率,单次传输0译码为0的概率,
,
由知,
三次传输方案译码为0的概率大于单次传输方案译码为0,故D正确
故选:ABD
【分析】利用相互独立事件和互斥事件的概率求解逐项判断可得答案。
19.(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同抽样结果共有( ).
A.种 B.种
C.种 D. 种
【答案】D
【知识点】分层抽样方法;分步乘法计数原理
【解析】【解答】 根据分层抽样定义
初中抽取:(人),高中抽取:(人),
再利用分步乘法计数原理共有不同抽样结果。
故选:D
【分析】根据分层抽样计算初中抽取40人,高中抽取20人,再用分步乘法计算共有多少结果。
20.(2023·新高考Ⅰ卷) 有一组样本数据 , 其中 是最小值, 是最大值, 则( )
A. 的平均数等于 的平均数
B. 的中位数等于 的中位数
C. 的标准差不小于 的标准差
D. 的极差不大于 的极差
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差
【解析】【解答】假设,
A:∵,故A错误;
B:的中位数为,的中位数也为,故B正确;
C:由标准差定义可知,其反应数据拨动程度,去掉最大值与最小值,则拨动程度更小,即标准差更小,故C错误;
D:的极差为,的极差为,易得<,故D正确.
【分析】 根据平均数,中位数,标准差和极差逐项分析可得答案.
三、解答题
21.(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).试验结果如下:
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
(1)计算试验组的样本平均数;
(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表
对照组
试验组
(ⅱ)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?
附:,
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)试验组样本平均数:
(2)(i)依题意将40只小白鼠体重数据重新排列得:
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.2 15.5 16.5 18.0 18.8
18.8 19.2 19.8 20.2 20.2 21.3 21.6 22.5 22.8 23.2
23.6 23.9 25.1 25.8 26.5 27.5 28.2 30.1 32.3 32.6
34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 36.5 37.3 40.5 43.2
中位数
列联表为:
合计
对照组 6 14 20
试验组 14 6 20
合计 20 20 40
(ii)由(i)知,
能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异。
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【分析】(1)利用求平均数公式直接代入数据进行计算;
(2)(i)利用中位数定义将数据重新排列求m;
(ii)根据m值完成列联表代入计算,再根据附表数值进行得出结论。
22.(2023·全国甲卷)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用,将40只小鼠均分为两组,分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物).
(1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为,求的分布列和数学期望;
(2)测得40只小鼠体重如下(单位:g):(已按从小到大排好)
对照组:17.3 18.4 20.1 20.4 21.5 23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8 27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组:5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4 10.0 10.4 11.2
14.4 17.3 19.2 20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2 26.0
(i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下面2×2列联表:
m 合计
对照组
实验组
合计
(ii)根据2×2列联表,能否有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
参考数据:
0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)根据题意,X的可能分别是0,1,2.
,
,
∴的分布列为:
X 0 1 2
P
∴.
(2)(i)依题意得,从40只小鼠按小到大顺序排列中,体重位于中间两位的是23.2与23.6.
∴,
故列联表为:
m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
(ii)由图标代入公式可得
,
根据参考数据,
∵6.4>3.841
故能有的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用.
【知识点】独立性检验;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)依题意得列出X的可能性,结合简单求概率公式易得X分布列及数学期望;
(2)根据已知数据求出m的值,并统计得到 2×2列联表,由独立性检验计算结果并结合参考数据得出结论.
23.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,(),试验结果如下
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记,记,,…,的样本平均数为,样本方差为,
(1)求,;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高).
【答案】(1)∵,根据图表数值则分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12.
∴,
.
(2)由(1)得,,
∴
∴,
故认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据题意结合平均数与方差计算方法计算可得出答案;
(2)由(1)得出的结论代入 , 比较二者大小即可得出相关结论;
24.(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,.试验结果如下:
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记,记的样本平均数为,样本方差为.
(1)求,;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高)
【答案】(1)
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12
(2)由(1)知,,
,
甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。
【知识点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)先分析求出利用公式计算,;
(2)直接求解与比大小判断。
25.(2023·上海卷) 21世纪汽车博览会在上海2023年6月7日在上海举行,下表为某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 12 8
米色内饰 2 3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件为小明取到的模型为红色外观,事件B为取到模型有棕色内饰.
求,并据此判断事件和事件是否独立;
(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设:
假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色;
假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;
假设3:奖金额为一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元;
请你分析奖项对应的结果,设为奖金额,写出的分布列并求出的数学期望
【答案】(1)根据题意可知,模型总数为25个,含红色外观模型的有12+2=14(个),含综合内饰模型的有12+8=20(个),即含红色外观又含棕色内饰模型的有12个
∴,,,
又∵,故事件A与事件B不独立.
(2)由题意可知,X可能为600,300,150.
设拿到外观和内饰均为同色为事件C、拿到外观内饰都异色为事件D、拿到仅外观或仅内饰同色为事件E,
∴
∵,即
故X的分别列为
X 150 300 600
P
则
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差;条件概率与独立事件
【解析】【分析】(1)根据条件概率公式分别计算即可得出 , 为判断事件和事件是否独立只需判断 与是否相等;
(2)分别求出三种抽奖结果的概率并根据概率大小对应金额排序计算数学期望.
26.(2023·新高考Ⅱ卷) 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳形,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为;误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为.假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率时,求临近值c和误诊率;
(2)设函数,当时,求的解析式,并求在区间的最小值.
【答案】(1)由患病者的指标图象
其矩形面积=> ,
,解得,
(2)当时,
∵-0.008<0,
∴当c=100时,
当时,
∵0.01>0,
∴当c=100时,
,
在区间的最小值为.
【知识点】频率分布直方图
【解析】【分析】(1)分析患病者的图象求出,再分析未患病者图象求出指标大于等于的矩形面积即为;
(2)分别讨论和时的解析式并从函数角度分析其最值。
27.(2023·新高考Ⅰ卷)甲乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8,由抽签决定第一次投篮的人选,第一次投篮的人是甲,乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量服从两点分布, 且 ,则 , 记前 次 (即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为,求 .
【答案】(1)设第2次投篮的人是乙的概率为P,
第1次甲投篮未中,第2次乙投篮的概率:,
两次投篮都是乙的概率:,
故第二次投篮是乙的概率为.
(2)设第投篮的人是甲的概率为,
则,
,所以是首项为,公比为,,
所以
(3)由(2)得,由题意得甲第投篮次数服从两点分布,且,
∴,
∴,
检验当时也满足上式,
综上所述:
【知识点】数列的应用;概率的基本性质;分类加法计数原理
【解析】【分析】(1)结合分类加法计数原理及分步乘法计数原理得出答案;
(2)为求第i次投篮的概率,根据题意,需由i-1次计算,从而找出前一次与后一次的关系,求pi的关系即需利用数列关系构造法求其通项公式;
(3)根据题意Xi服从二项分布,为求 进一步分析即求pi前n项和.
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