人教版高中数学选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系 课件（共44张PPT）

(共44张PPT)
2．5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2．5.1　直线与圆的位置关系
[学习目标]　1.理解直线与圆的三种位置关系，掌握其判定方法和性质．　2.掌握相切时的切线方程和相交时的弦长问题．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
问题2　坐标法解决平面几何问题的步骤是什么？　　　
[预习自测]
1．直线x＝1和圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．无法确定
解析：圆心(0,0)，半径r＝1，圆心到直线的距离d＝1，∴d＝r，∴相切．
B
D
3．已知直线4x＋3y－35＝0与圆心在原点的圆C相切，则圆C的方程为______________．
x2＋y2＝49
4．直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＋2ay＋a2－2＝0有公共点，则实数a的取值范围是__________．
[－3,1]
直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系的两种方法
法一(代数法)：判断直线l的方程与圆C的方程组成的方程组是否有实数解．如果有实数解，那么直线l与圆C有公共点；如果没有实数解，那么直线l与圆C没有公共点．
当有两组不同的实数解时，直线l与圆C ；
当只有一组实数解时，直线l与圆C ；
当无实数解时，直线l与圆C ．
法二(几何法)：判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆C的半径r的大小．
如果 ，那么直线l与圆C相交；
如果 ，那么直线l与圆C相切；
如果 ，那么直线l与圆C相离．
相交
相切
相离
dd＝r
d>r
[例1]　已知直线l：2x＋y－4＝0和圆C：x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系．
分析：代数法，联立直线l与圆的方程，判断解的个数．
几何法，比较圆心C到直线的距离与半径r的大小关系．
　判断直线与圆位置关系的方法
通常优先选择用几何方法判断直线与圆的位置关系．
　1.直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是
(　　)
A．相切　　　　　 B．相交
C．相离 D．随a的变化而变化
解析：∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，
且点(0,1)在圆x2＋y2－2x－3＝0的内部，
∴直线与圆相交．
B
　圆的弦长问题
计算直线l被圆C截得的弦长|AB|的常用方法：
(1)代数法
①解直线l的方程与圆C的方程组成的方程组，得点A，B的坐标，再由__________________求弦长|AB|.
两点间的距离公式
特别地，当k＝0时，可直接利用|AB|＝ 计算，
当斜率不存在时，可直接利用|AB|＝ 计算．
|x1－x2|
|y1－y2|
[例2]　已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长．
分析：思路1：将判断直线l与圆C的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长．
　适当地利用已知图形的几何性质，有助于简化计算．
　2.直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则
|AB|＝__________.
解析：如图，取AB的中点C，连接OC，OA.
　圆的切线问题
过一点(x0，y0)的圆的切线方程
x＝x0
y＝y0
(2)点在圆外
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到切线的距离等于______，可求得k，则可得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，由 求出k，可得切线方程．
注意：切线斜率不存在的情况，不要漏解．
半径
Δ＝0
[例3]　过点P(2,1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程．
分析：如图，容易知道，点P(2,1)位于圆O：x2＋y2＝1外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为y－1＝k(x－2)，k为斜率．由直线与圆相切可求出k的值．
　过一点引圆的切线，其切线方程的求法如下：
已知P(x0，y0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
(1)若点P(x0，y0)在圆C上，过点P作圆的切线，只有一条，其切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)若点P(x0，y0)在圆C外，过点P作圆的切线，有两条切线，先设切线的斜率存在，利用圆心到切线的距离等于半径求解，如果求得两个斜率，可以直接写出切线方程，如果求得一个斜率，则另一条切线的斜率不存在．
　3.若直线l过点P(2,3)，且与圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．
　用坐标法解决平面几何问题
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为 ；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论．这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
代数问题
第一步：建立适当的 ，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
平面直角坐标系
[例4]　一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离．根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险．
[解析]　以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3)，轮船所在位置的坐标为(4,0)．
　解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．
(2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．
　4.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m)．
解析：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上．由题意，点P，B的坐标分别为(0,4)，(10,0)．设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
下面确定b和r的值．
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4)，(10,0)都满足方程x2＋(y－b)2＝r2.
1．知识清单：(1)直线与圆的位置关系．
(2)圆的弦长问题．
(3)圆的切线问题．
(4)用坐标法解决平面几何问题．
2．方法归纳：数形结合、分类讨论．
3．常见误区：容易忽略直线斜率不存在的情况．
课时作业 巩固提升