人教版高中数学选择性必修第一册2.5.2圆与圆的位置关系 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
2．5.2　圆与圆的位置关系
[学习目标]　1.能根据给定的方程判断圆与圆的位置关系．　2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想，学会用数形结合思想处理问题．
必备知识 自主探究
关键能力 互动探究
课时作业 巩固提升
问题1　圆与圆之间有怎样的位置关系，如何判定？
问题2　圆与圆相交时，半径、公共弦、圆心距之间有怎样的数量关系？　　　
[预习自测]
1．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，圆C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　)
A．相离　　　　　　　　 B．相交
C．外切 D．内切
C
2．已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为(　　)
A．6 cm或14 cm
B．10 cm
C．14 cm
D．无解
解析：当两圆外切时，d＝rA＋rB，即10＝4＋rB，∴rB＝6 cm；当两圆内切时，rB－rA＝10，则rB＝10＋4＝14(cm)．
A
3．若圆O1：(x－3)2＋(y－4)2＝25和圆O2：(x＋2)2＋(y＋8)2＝r2(58
4．若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是_________________________．
(－25，－9)∪(11，＋∞)
圆与圆位置关系
圆与圆的位置关系的判断
已知两圆的方程，则两圆的位置关系的判断有两种方法．
法一：代数法．由两圆的方程组成的方程组的实数解的组数确定．
步骤如下：
第一步：联立两圆的方程①②；
第二步：两圆的方程相减，得到关于x，y的二元一次方程③；
第三步：将③代入①或②消元，得到关于x或y的一元二次方程④；
第四步：利用方程④的判别式Δ判断两圆的位置关系.
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
法二：几何法．由圆心距与两圆半径的大小关系确定．
步骤如下：
第一步：将两圆的方程化为标准形式(若为标准形式可忽略)，得到两圆的圆心坐标和半径R，r；
第二步：计算两圆的圆心距d；
第三步：根据d与R，r之间的关系，判断两圆的位置关系.
d>R＋r
d＝R＋r
d＝|R－r|
d<|R－r|
相交
[例1]　已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系．
分析：思路1：圆C1与圆C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和r1＋r2或两半径的差的绝对值|r1－r2|的大小关系，判断两圆的位置关系．
方程④的根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，
所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．
法二：把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5.
　用代数法判断两圆的位置关系时，方程组只有一组解或无解时两圆的位置关系不能确定，还需根据其他条件进行判断．而用几何法判断结果是唯一的，因此一般用几何法．
　1.判断下列两圆的位置关系：
(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1与(x－2)2＋(y－5)2＝16；
(2)x2＋y2＋6x－7＝0与x2＋y2＋6y－27＝0.
解析：将两圆的方程化为标准方程，得(x＋3)2＋y2＝16，x2＋(y＋3)2＝36.
故两圆的半径分别为R＝4和r＝6，
两圆的圆心距
　轨迹问题
求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立平面直角坐标系，用有序数对(x，y)表示曲线任一点坐标．
(2)写出适合条件P的点M的集合：{M|P(M)}．
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0.
(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．
(5)写出方程，并标明定义域．
[解析]　如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB＝4，得A(－2,0)，B(2,0)．
　求轨迹方程的基本步骤
(1)建系、设点．(求谁设谁)
(2)条件坐标化．
(3)整理化简．
(4)检验说明．
　2.已知两个定点A(0,4)，B(0,1)，动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，求曲线E的方程．
　圆与圆的公共弦
1．圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦．
2．公共弦所在直线的方程
将两个相交圆的方程相减，消去x2项，y2项，所得的二元一次方程即为两圆的公共弦所在直线的方程．即由x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1－(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0得到公共弦所在直线方程为D1x＋E1y＋F1－(D2x＋E2y＋F2)＝0.简记为“两圆相减公共弦”．
3．公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，在圆的半径、半弦、弦心距构成的直角三角形中，根据勾股定理求出半弦长，进而求出弦长．
　1.若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
2．公共弦长的求法：
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线方程，利用圆的半径长、半弦长、弦心距满足勾股定理求解．
　3.圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10与圆C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝50交于A，B两点，则公共弦AB的长是__________．
　圆系方程
具有某种共同性质的圆的集合，称为圆系．
过两已知圆fi(x，y)＝x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，即f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0(λ≠－1，其中不含圆f2(x，y))，当λ＝－1时，方程变为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，表示过两圆 的直线(当两圆是同心圆时，此直线不存在)．当两圆相交时，此直线为 所在的直线；当两圆相切时，此直线为两圆的 ；当两圆相离时，此直线为与两圆圆心连线 的直线．
交点
公共弦
公切线
垂直
[例4]　求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．
分析：法一：两圆方程相减得公共弦方程，后与其中一圆方程联立．求两交点A，B的坐标，进而求以A，B为直径的圆的方程．
法二：利用圆系方程直接求解．
　用圆系方程求圆的方程时要注意根据条件设出恰当的圆系方程形式，但有些情况下也可从定义入手求解．
　4.求经过圆x2＋y2－2y－2＝0和圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点，且过点(0,0)的圆的方程．
1．知识清单：(1)判断圆与圆的位置关系．
(2)轨迹方程问题．
(3)圆与圆的公共弦问题．
(4)圆系方程．
2．方法归纳：数形结合、设而不求、待定系数法．
3．常见误区：圆与圆的位置关系考虑不全面．
课时作业 巩固提升