2022-2023年度（下）满市一中期中考试试题
高二数学（文科）
（考试时间100分钟，满分120分）
一．选择题（每题4分，共48分）
1.设复数，则（ ）
A． B． C．3 D．5
2.复数，若为纯虚数，则（ ）
A．-i B．7i C．-5i D．5i
3．命题，则命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
4.点极坐标为，则它的直角坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5．在直角坐标系中，点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
6. 在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后，变为，则曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
7.如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间（0，1）上单调递减
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
8.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9. 复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
10.已知，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值 D．有极小值3，无极大值
11.在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为
A． B．
C． D．
12．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二填空题（每题4分，共16分）
13.已知复数（i为虚数单位），则______
14. 在极坐标系中，点到圆上动点的距离的最大值为______．
15. 在极坐标系中，直线与圆交于 两点，则_____.
16.若函数对任意的，都有成立，则实数的取值范围是__________.
三．解答题（共56分）
17．（10分）已知函数.
(1)若的图象在处的切线方程是，求实数；
(2)若有两个极值点，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线
(1)求a的值.
(2)求函数的单调区间与极值；
19.（12分） 某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表：
土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5
管理时间（单位：月） 8 11 14 24 23
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表：
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 140 60
女性村民 40
(1)根据所给数据知，可用线性回归模型来拟合与的关系，求相关系数并用其加以说明；（值精确到0.01）
(2)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 140 60
女性村民 40
合计
参考公式：，其中.
参考数据：.
临界值表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20.（10分）若曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，求.
21.（12分）
在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1.
（1）求曲线C1和C2的公共点的个数；
（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形.1.设复数，则（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】A
【分析】求得后再求模长即可.
【详解】，故.
故选：A
2.复数，若为纯虚数，则（ ）
A．-i B．7i C．-5i D．5i
【答案】B
3． 命题，则命题的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
4.点极坐标为，则它的直角坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
5．在直角坐标系中，点．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6. 在同一平面直角坐标系中，曲线C经过伸缩变换后，变为，则曲线C的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，，
所以由可得，
所以，
所以曲线的渐近线方程为.
故选：A
7.如图是导函数的图象，则下列说法不正确的是（ B）
A．函数在区间上单调递减 B．函数在区间（0，1）上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值
8.已知函数，则“”是“在上单调递增”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
9. 复平面内复数满足，则的最小值为（ B）
A．1 B． C． D．3
10.已知，则（ ）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．有极大值，无极小值 D．有极小值3，无极大值
【答案】C
11在极坐标系中，直线的方程为，则点到直线的距离为
A． B．
C． D．
【答案】A
12．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
13.已知复数（i为虚数单位），则/2——
14. 函数在取得极值，则_0.5_____．
15. 在极坐标系中，点到圆上动点的距离的最大值为____+1__．
16. 在极坐标系中，直线与圆交于 两点，则_____.
三解答题
17．已知函数.
(1)若的图象在处的切线方程是，求实数；
(2)若有两个极值点，求实数的取值范围.
（1），，又，
在处的切线方程为：，即，
，解得：，.
（2）有两个极值点，，
在上有两个不等实根，
，解得：，即实数的取值范围为.
18．已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线
(1)求a的值.
(2)求函数的单调区间与极值；
（1）对求导得，
由在点处切线垂直于直线，
知解得；
（2）由（1）知，
则
令，解得或.
因不在的定义域内，故舍去.
当时，故在内为减函数；
当时，故在内为增函数；
所以函数在时取得极小值,没有极大值.
19. 某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表：
土地使用面积（单位：亩） 1 2 3 4 5
管理时间（单位：月） 8 11 14 24 23
并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表：
愿意参与管理 不愿意参与管理
男性村民 140 60
女性村民 40
(1)根据所给数据知，可用线性回归模型来拟合与的关系，求其相关系数并加以说明；（值精确到0.01）
(2)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 140 60
女性村民 40
合计
参考公式：，其中.
参考数据：.
临界值表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）依题意：，
，
又，
，
与的相关系数近似为0.95，与的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；
（2）完成的列联表如下：
愿意参与管理 不愿意参与管理 合计
男性村民 140 60 200
女性村民 40 60 100
合计 180 120 300
计算，
有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
综上，可以用线性回归模型拟合与的关系；有的把握认为参与管理的意愿与该村村民的性别有关.
20.在平面直角坐标系中，直线，曲线，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线，曲线的极坐标方程；
(2)射线分别交直线，曲线于两点点异于点，求的值.
（1）由，得
直线的极坐标方程为，
由曲线，化简得，
所以曲线的极坐标方程为.
（2）射线分别交直线，曲线于两点，
联立，
解得，
联立
解得，
所以.
21.在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1.
（1）求曲线C1和C2的公共点的个数；
（2）过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形.
（1）C1的直角坐标方程为（x＋1）2＋y2＝1，
它表示圆心为（－1，0），半径为1的圆，
C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，
所以曲线C2为直线，
由于圆心到直线的距离为d＝>1，
所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点.
（2）设Q（ρ0，θ0），P（ρ，θ），
则即①
因为点Q（ρ0，θ0）在曲线C2上，
所以ρ0cos＝1，②
将①代入②，得
即为点P的轨迹方程，
化为直角坐标方程为2＋2＝1，
因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.
