甘肃省白银市2022-2023学年高二下学期开学检测数学试题（Word含解析）

高二开学检测
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第一册。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点到其准线的距离为
A．28 B．14 C．7 D．
2．在数列中，，，则
A．4 B．6 C．8 D．12
3．某中学举行歌唱比赛，要求甲、乙、丙三位参赛选手从《难却》《兰亭序》《许愿》等6首歌曲中任意选2首作为参赛歌曲，其中甲和乙都没有选《难却》，丙选了《兰亭序》，但他不会选《许愿》，则甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有
A．300种 B．360种 C．400种 D．500种
4．
A．84 B．120 C．126 D．210
5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，若的中点为，且的周长为，则的标准方程为
A． B． C． D．
6．设等差数列的前项和为，若，，则当取得最大值时，
A．8 B．9 C．10 D．11
7．设为坐标原点，，是双曲线的左、右焦点，已知双曲线的离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则
A． B．2 C． D．
8．将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有
A．1880种 B．2940种 C．3740种 D．5640种
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列直线与直线平行，且与它的距离为的是
A． B． C． D．
10．设为正整数，展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，若，则下列结论正确的有
A． B．
C．展开式中的常数项为15 D．展开式中的常数项为30
11．小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有
A．不同的摆放方法共有120种
B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种
C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种
D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种
12．若不是等比数列，但中存在互不相同的三项可以构成等比数列，则称是局部等比数列．下列数列中，是局部等比数列的是
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是________．
14．用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有________种．
15．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识．已知长度为4的线段，取的中点，以为直径作圆（如图①），该圆的面积为，在图①中取的中点，以为直径作圆（如图②），图②中所有圆的面积之和为，以此类推，则________．
16．抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则________，________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
经过点且与直线相切的圆的圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）直线与圆交于，两点，若，求．
18．（12分）
已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
19．（12分）
已知为正项等比数列，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（12分）
已知椭圆的离心率为，是上一点．
（1）求的方程；
（2）设，是上两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
21．（12分）
在数列中，，且．
（1）证明：，都是等比数列．
（2）求的通项公式．
（3）若，求数列的前项和．
22．（12分）
过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且．
（1）求双曲线的方程．
（2）已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由．
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数学参考答案
1．C 因为，所以，抛物线的焦点到其准线的距离为7．
2．B ．
3．C 依题意可知，甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有种．
4．D 因为，
所以．
5．A 因为的周长为，所以．又的中点为，所以的坐标为，则，由，解得，，所以椭圆的标准方程为．
6．C 因为为等差数列，所以，，所以，，故当取得最大值时，．
7．A 不妨设，，，则，．
由余弦定理可得，，，所以．
8．B 若将5名女老师按3，1，1分配到三个社区中，则不同的方法有种，再将男老师分入，则不同的方法有种；若将5名女老师按2，2，1分配到三个社区中，则不同的方法有种，再将男老师分入，则不同的方法有种．综上，不同的分配方法有2940种．
9．AD 设所求直线的方程为，由题意可得，解得或0．故所求直线的方程为或．
10．ABC 由题可知，，．因为，所以，解得，，展开式中的常数项为．故选ABC．
11．ACD 由题可知，不同的摆放方法共有种，A正确．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有种，C正确，B不正确．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有种，D正确．
12．ABD 若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
若，则，则是等比数列，所以不是局部等比数列．
若，则，，，由，得，，成等比数列，因为不是等比数列，所以是局部等比数列．
13．（或，，，只需填写一个答案即可） 圆心到直线的距离，由，得，所以整数的所有可能取值为，，，．
14．48 先涂区域1，有4种选择，再涂区域2，有3种选择，接着涂区域3，有2种选择，最后剩下的两个区域有2种选择．故不同的涂色方法有种．
15． 由题意可知，各圆的面积成以为首项，为公比的等比数列，
故，则．
16．； 由抛物线的光学性质知平分，又，所以，所以，由得，故，所以．
17．解：（1）设圆心，
则，
整理得，解得，
则圆心，半径，
故圆的方程为．
（2）因为，所以．
设点到的距离为，则，
则，
解得．
18．解：（1）令，则，即．
（2）令，则，
所以．
（3）令，则，
令，则，
故．
19．解：（1）因为，且为正项数列，所以．
设等比数列的公比为，则，解得．
故．
（2），
，
两式相减，可得．
故．
20．解：（1）由题可知，
解得，，，故的方程为．
（2）设，，则
则，即．
因为线段的中点坐标为，所以，，
则．
故直线的方程为，即．
21．（1）证明：因为，且，所以，．
因为，所以，，
则，都是公比为16的等比数列．
（2）解：因为，所以是首项为4，公比也为4的等比数列，
故．
（3）解：因为，
所以
．
22．解：（1）双曲线的渐近线方程为，双曲线上一点到渐近线距离之积为，
由题知，．
因为，所以，故双曲线的方程为．
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程组整理得，
则，，，，
直线的方程为，
令，则，得，同理得，
由，可得，所以，
所以
，
整理得．
当，即时，直线的方程为，过点，
与矛盾，舍去；
当时，直线的方程为，恒过点，
设的中点为，则，因为，所以，为定值．
故存在，使为定值．