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2.2 分数混合运算（二） 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：结合具体情境，会画图表示“增加几分之几”或“减少几分之几”的意义，会用分数混合运算解决实际问题，发展应用意识。在观察、比较等活动中，体会整数中的乘法运算律在分数运算中同样适用，并能应用运算律进行运算，感受借助运算律进行运算的合理性和简捷性。
2.学习内容分析：本节课在“分数混合运算 (一)”的基础上，继续探索解决有关分数混合运算的实际问题的策略。教科书通过“动物车展”中的汽车成交量的实际背景，安排了三个问题及试一试，帮助学生理解“增加几分之几”或“减少几分之几”的意义。问题1展现了学生读题、审题的思考过程，突出强调了对解题关键的理解，即“第二天的成交量比第一天增加了”。题2用不同的直观图表示数量关系。问题3要求学生列式解决问题。
3.学科核心素养分析：通过解决日常生活中的实际问题，构建数学模型，同时使学生感受到数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，激发学生热爱数学的情感。
二、教学重难点
1.重点：掌握比一个数多（少）几分之几是多少的应用题的解题方法。
2.难点：进一步掌握利用画图的策略解决实际问题。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 1.复习旧知。（1）算一算。25×35×4 81×42+81×58 102×31 （2）果园里有90棵桃树，梨树的棵数比桃树多，梨树比桃树多多少棵？2.导入新课师：这节课，我们继续学习分数混合运算（二）。板书课题：分数混合运算（二） 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识奠定基础。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
获取新知 任务一：交流思考方法师：你瞧，森林里的小动物正在举行第十届动物车展。课件出示：师：请同学们用数学的眼光看一看，你能找出哪些数学信息？学生独自观察，然后自由说说。师：根据获取的数学信息，你能提出什么问题？学生独自思考，然后回答：第二天的成交量是多少辆？师：第二天的成交量是多少辆呢？说说你是如何思考的。学生独自思考，然后回答：第二天的成交量是（50+）辆，可汽车的成交量怎么可能是辆呢？师：“增加了”你是怎样理解的 与同伴说说你的想法。同伴相互交流，师巡视指导。师：谁来说说你是怎么理解的？学生1：增加了，是指第二天增加的成交量是第一天的成交量的。学生2：我知道了，也就是把第一天的成交量看作单位“1”，平均分成5份，增加的部分相当于这其中的一份。…… 通过说一说，培养学生的审题意识和问题意识，为后面分析问题做准备。学生通过充分的交流，理解“增加了”表示的具体意义，提高了学生的分析问题的能力，同时为后面解决问题提供帮助。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的励与指导。
任务二：画图分析师：请大家闭上眼睛,静下心来，随着老师的描述，看看你的头脑里会形成一幅怎样的图画。师描述：第一天的成交量是65辆，第二天的成交量比第一天增加了，第二天的成交量是多少辆汽车？学生闭上眼睛想象。师：请大家睁开眼睛，在练习本上画出自己头脑中的图画。学生独自画图。师：谁来说说你是用什么方法来表示第二天和第一天成交的汽车辆数之间的关系的？学生：我用一个长条表示第一天的成交量，然后平均分成5份，其中的1份就是增加的部分。师：很清楚的表示出了第二天的成交量，真不错！如果画线段图，又应该怎么表示两个数量之间的关系呢？学生一边展示一边反馈：此题把第一天的成交量看做单位“1”，先画一条线段来表示第一天的成交量50辆，再画第二天和第一天同样多的部分。由于第二天的成交量比第一天增加了，就把第一天的平均分成5份，增加部分就相当于其中的这一份，求第二天的成交量是多少辆 让学生利用画图来分析题意，然后展示学生所作的图，并与学生一起交流作图的过程与方法，不仅帮助学生理解题意，还帮助学生有效地探索不同的算法。 通过学生的活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时的鼓励与指导。
任务三：列式解决问题师：请同学们根据线段图中找出等量关系。学生独自观察，然后回答：第一天的成交量+增加的辆数=第二天的成交量师：现在你能列出算式求第二天的成交量吗？ 学生尝试列式，师巡视指导。师：谁来说说你是怎么列式的？学生：先求第二天增加多少辆。 展示：增加的辆数：50×=10（辆）第二天的成交量：50+10=60（辆）师：把这两个算式列成综合算式是……？学生列出综合算式，然后展示反馈：50+50×=50+10=60（辆）答：第二天的成交量是60辆。师：观察线段图，看看你还发现了什么？引导学生观察得出：第二天成交量是第一天的（1+）。师：等量关系是……？学生：第二天的成交量=第一天的成交量×（1+）。师：列出算式并解答。学生列式，然后展示：50×（1+）=50×=60（辆）答：第二天的成交量是60辆。师：“求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的解题关键是找准单位“1”，解答此类问题常用以下两种方法： ①比一个数多(或少)几分之几的数＝单位“1”的量±单位“1”的量×几分之几。 ②比一个数多(或少)几分之几的数＝单位“1”的量×(1±几分之几)。师：观察这两个综合算式，你有什么发现？学生：运用了乘法分配律。 引导学生根据线段图写出数量关系，进而列出算式解答，让学生经历知识的发生与发展过程，有助于培养学生观察、分析、解决问题的能力。结合学生的解题过程，总结出解此类问题的方法，帮助学生建立解题的模型，提高解决问题的能力。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的励与指导。
试一试 任务四：结合男、女生人数解决有关整体和部分之间的问题课件出示：六（1）班有学生40人，其中女生人数占全班人数的，男生有多少人？师：读一读，说说已知什么？求什么？学生独自阅读，然后说一说。师：你能画图表示出男生和女生的人数关系吗？学生尝试画图，师巡视指导。师：谁来说说你是怎么画图的？学生：此题把全班人数看做单位“1”，平均分成5份，其中的2份就是女生的人数，剩余的就是男生的人数。师：列出算式并解答，并与同伴说说你的想法。学生尝试计算，师巡视指导。师：能说说你们是怎么想的吗？学生：先算女生有多少人。40－40×=40－16=24（人）师：还可以怎么做？学生：此题把全班人数看做单位“1”，可以先算男生占全班人数的几分之几。40×（1－）=40×=24（人）答：男生有24人。 借助学生已有的知识经验，通过画图分析问题、解决问题，让学生获得成功的体验，提高学生学习数学的积极性。 通过学生的观察、交流活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时的鼓励与指导。
任务五：整数运算律的应用师：算一算，说说你有什么发现。课件出示：学生独自计算，然后展示订正。师：观察这每一组的算式，你发现了什么？学生独自观察，然后自由说说。学生1：第一组运用了乘法结合律。学生2：第一组运用了乘法分配律。师：你能用一句话概括一下自己的发现。学生尝试说一说：整数乘法运算律在分数运算中同样适用。 通过计算、交流，让学生充分感受运算律在分数混合运算中的运用，进而感受知识之间的相互联系。 通过学生活动，检查学生掌握知识的情况，并给予及时的鼓励与指导。
迁移运用 任务六：课堂练习基础题：1.根据给出的信息，填写等量关系式。 （1）小华的体重比爸爸的体重轻。（2）男生人数比女生人数多。2.看图列式计算。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.一本书有120页，明明第一天看了全书的，第二天看了全书的，这本书还剩多少页？
拓展题：4.一台冰箱原价3200元，国庆节促销活动时，先降价后，又降价出售，现在一台冰箱售价多少元？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.怎样简便就怎样算。27×（+） 72×2.根据已知条件，把问题和算式用线连起来。养殖场有鸡3200只，第一周卖出，第二周卖出。选做题：1.看图列式。 2.长方形的长是21米，宽比长少 ，这个长方形的面积是多少平方米？【综合实践类作业】走进生活，找找生活中需要分数混合运算解决的问题。
板书设计 分数混合运算（二）50+50× 50×（1+）=50+10 =50×=60（辆） =60（辆）整数乘法运算律在分数运算中同样适用。
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分数混合运算（二）
北师大版六年级上册
教学目标
1.结合具体情境，会画图表示“增加几分之几”或“减少几分之几”的意义。
2.会用分数混合运算解决实际问题，发展应用意识。
3.体会整数中的乘法运算律在分数运算中同样适用，并能应用运算律进行运算。
新知导入
1.算一算。
25×35×4
81×42+81×58
102×31
=（25×4）×35
=100×35
=3500
=81×（42+58）
=81×100
=8100
=100×31+2×31
=3100×62
=3162
乘法交换律和结合律
乘法分配律
新知导入
2.果园里有90棵桃树，梨树的棵数比桃树多 ，梨树比桃树多多少棵？
1
5
桃树：
梨树：
多
1
5
多 棵
90× =
1
5
18（棵）
答：梨树比桃树多18棵。
新知讲解
第一天成交50辆。
第二天成交量比第一天增加了 。
1
5
你能提出什么问题？
第二天的成交量是多少辆？
思考：
第二天的成交量是多少辆呢？说说你是如何思考的。
新知讲解
可汽车的成交量怎么可能是 辆呢？
1
5
第二天的成交量是（50+ ）辆。
1
5
新知讲解
思考：
“增加了 ”你是怎样理解的 与同伴说说你的想法。
1
5
增加了
1
5
增加了 ，是指第二天增加的成交量是第一天的成交量的 。
1
5
1
5
新知讲解
我知道了。
把第一天的成交量看作单位“1”，平均分成5份，增加的部分相当于这其中的一份。
新知讲解
活动：
请大家闭上眼睛，静下心来，随着老师的描述，看看你的头脑里会形成一幅怎样的图画。
新知讲解
第二天的成交量是多少辆？
50辆
增加
1
5
？辆
新知讲解
第二天的成交量是多少辆？
第一天
50辆
第二天
辆
比第一天增加
1
5
根据线段图中找出等量关系。
第二天的成交量＝第一天的成交量＋增加的辆数
新知讲解
先求第二天增加多少辆。
增加的辆数：
第二天的成交量：
50×
1
5
=10( 辆）
50+10=60( 辆）
50+50×
1
5
=50+10
=60( 辆）
答：第二天的成交量是60辆。
新知讲解
50辆
第一天
第二天
辆
第二天成交量是第一天的（1+ ）。
1
5
第二天的成交量=第一天的成交量×（1+ ）
1
5
50×（1+ ）
1
5
=60( 辆）
=50 ×
6
5
答：第二天的成交量是60辆。
新知讲解
“求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的解题关键是找准单位“1”。
新知讲解
比一个数多(或少)几分之几的数＝单位“1”的量±单位“1”的量×几分之几
比一个数多(或少)几分之几的数＝单位“1”的量×(1±几分之几)。
乘法
分配律
新知讲解
六（1）班有学生40人，其中女生人数占全班人数的 ，男生有多少人？
2
5
读一读，说说已知什么？求什么？
学习任务：
画图表示出男生和女生的人数关系。
新知讲解
40人
男生？人
女生占
2
5
先算女生有多少人。
40－40×
2
5
=40－16
=24( 人）
六（1）班有学生40人，其中女生人数占全班人数的 ，男生有多少人？
2
5
答：男生有24人。
新知讲解
40人
男生？人
女生占
2
5
2
5
男生占全班人数的（1－ ）
六（1）班有学生40人，其中女生人数占全班人数的 ，男生有多少人？
2
5
先算男生占全班人数的几分之几。
40×（1－ ）
2
5
=24( 人）
=40 ×
3
5
答：男生有24人。
新知讲解
× ×
5
8
2
5
1
7
× ×
5
8
2
5
1
7
=
1
1
1
4
=
1
28
×（ × ）
5
8
2
5
1
7
=
1
7
×
1
4
=
1
28
算一算，说说你有什么发现。
运用了乘法结合律
新知讲解
算一算，说说你有什么发现。
5
6
1
6
×17+
×17
17
6
85
6
=
+
=17
×17
5
6
+
1
6
）
（
=1×17
=17
运用了乘法分配律
新知讲解
整数乘法运算律在分数运算中同样适用。
课堂练习
基础题：
1.根据给出的信息，填写等量关系式。
（1）小华的体重比爸爸的体重轻 。
（2）男生人数比女生人数多 。
1
7
1
9
小华的体重=爸爸的体重×（1－ ）
1
7
男生人数=女生人数×（1+ ）
1
9
168×（1+ ）
课堂练习
基础题：
2.看图列式计算。
2
7
=216( 吨）
=168×
9
7
课堂练习
提高题：
3.一本书有120页，明明第一天看了全书的 ，第二天看了全书的 ，这本书还剩多少页？
1
3
1
4
=50( 页）
=120×
5
12
120×（1－ － ）
1
3
1
4
答：这本书还剩50页。
课堂练习
拓展题：
4.一台冰箱原价3200元，国庆节促销活动时，先降价 后，又降价
出售，现在一台冰箱售价多少元？
1
8
1
7
3200×（1－ ）
1
8
=2800（元）
2800×（1－ ）
1
7
=2400（元）
答：现在一台冰箱售价2400元。
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道整数乘法运算律在分数运算中同样适用。
我还会解答“求比一个数多(或少)几分之几的数是多少”的问题了。
板书设计
分数混合运算（二）
50+50×
1
5
=50+10
=60( 辆）
50×（1+ ）
1
5
=60( 辆）
=50 ×
6
5
整数乘法运算律在分数运算中同样适用。
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.怎样简便就怎样算。
27×（
1
3
+
5
9
）
72×
70
71
=27×
1
3
+
27×
5
9
=9+15
=24
=（71+1）×
70
71
=71×
70
71
+
1×
70
71
=70
70
71
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.根据已知条件，把问题和算式用线连起来。
养殖场有鸡3200只，第一周卖出 ，第二周卖出 。
2
5
3
8
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.看图列式。
50×（1－ ）
2
5
=30（页）
40×（1+ ）
2
5
=56（人）
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.长方形的长是21米，宽比长少 ，这个长方形的面积是多少平方米？
2
7
21×（1－ ）
2
7
=15（米）
21×15=315（平方米）
答：这个长方形的面积是315平方米。
作业布置
走进生活，找找生活中需要分数混合运算解决的问题。
【综合实践类作业】
谢谢
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《分数混合运算》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《分数混合运算》单元是数与代数领域第三学段“数与运算”中的重要内容。《数学课程标准》要求：“结合具体情境理解整数除法与分数的关系，能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。”
（二）单元教材内容分析
本单元的内容是在学生已经掌握整数、小数混合运算和分数四则运算的基础上进行教学的。在解决实际问题的过程中应抓住教材特点，使学生掌握分数混合运算的方法，提高应用能力和计算能力。本单元学习的主要内容有：分数混合运算的运算顺序及运算律；应用分数混合运算解决实际问题；利用方程解决有关的分数混合运算问题。
单元学习内容的前后联系：
在传统教学中，分数的应用问题是高年级教学的“重头戏”。教学中，教师形成了一套方法：从带有分率的那个条件中判断谁是单位“1”，找准已知量和对应分率。如果单位“1”已知，就用乘法计算；如果求单位“1”，就用除法计算。但是遇到联系生活实际的问题学生往往束手无策。可见这种程式化的教学，对提高学生解决问题的能力不能起到积极的促进作用。如果让那些解此类应用题的套路在学生脑子里根深蒂固，势必会封闭学生创造意识的生长空间。
所以，本套教科书将分数的运算安排为两个阶段：五年级下册学生学习分数四则运算，本册教科书安排有关分数混合运算的问题。这样的安排，分散了教学难点，突出了经历探索和解决分数混合运算实际问题的过程，使学生会用画图的方法分析并解决问题，掌握分数混合运算的顺序，积累解决问题的经验。
（三）学生认知情况
学生已经学习了分数加、减、乘、除法的计算，也具备了解决简单分数实际问题的相关经验和分析相关问题的能力。对于四则混合运算，学生不仅掌握了整数、小数四则混合运算顺序及相关的运算律，还经历了将四则混合运算的相关知识迁移到小数四则混合运算的过程。为进一步将整数四则混合运算的相关知识迁移至分数混合四则运算打下基础。本单元内容是六年级教学的分数知识的综合、提高和总结，对掌握和应用分数知识有很大的影响。运用运算律或运算性质进行分数四则混合运算的简便计算，隐蔽性更强，而且易混淆，需要不断增强思维的灵活性。
二、单元目标拟定
1.经历探索和解决分数混合运算实际问题的过程，会用画图的方法分析并解决问题，积累解决问题的经验。
2.掌握分数混合运算的顺序，能够正确进行分数混合运算。
3.体会整数乘法的运算律在分数运算中同样适用，会应用运算律进行计算，发展运算能力。
4.在解决问题和交流减少错误的好方法的过程中，养成认真勤奋、独立思考、勇于质疑与合作交流的学习习惯。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.正确计算分数混合运算。
2.掌握分数应用题的基本数量关系。
3.能体会整数运算律在分数运算中同样适用，正确地运用运算律计算。
4.利用方程解决与分数运算有关的实际问题。
（二）教学重难点
1.掌握分数混合运算的计算方法和技巧。
2.运用方程解决有关的分数混合运算的实际问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。在本单元的数学学习过程中，应当注重发展学生的数感、几何直观、运算能力和应用意识、创新意识等。特别是发展几何直观，旨在培养学生利用图形描述和分析问题，把复杂的数学问题变得简明、形象。
组织本单元学习内容的思路如下：
学生已掌握整数、小数混合运算的运算顺序及运算律，分数加减、乘、除法的计算方法，能尝试用画图的方法解决相关的实际问题这些都为本单元知识的学习奠定了基础。
本单元教材的具体编排结构如下：
（一）在解决分数混合运算的相关问题中，鼓励学生主动思考和探究
由于六年级的学生已经具有一定的独立思考能力，因此教科书注重给学生更多思考和表达的机会。在本单元的各节内容中，第一个问题都是通过学生间的对话，展现读题、审题的一般思考过程，并尝试提出解决问题的基本思路。这样编写强调了让学生根据问题情境进行独立思考，经历探索性的数学学习的过程，加强了数学知识和学生生活经验的联系，使得学生的学习具有更大的开放性。
（二）在分数混合运算中注重发展学生对分数乘法和除法意义的理解
本单元有关分数混合运算是整数混合运算的拓展，不同之处在于对分数乘、除法意义的理解。教科书注重呈现直观图发展学生对分数乘.除法意义的理解，例如，“分数混合运算(一)”呈现的两个图示中的圆圈图：首先用圆圈图表示出12人的是4人，再表示4人的，使学生体会分数乘法的意义。
（三）用不同的直观图表示数量关系，有利于学生分析和解决问题
在“分数混合运算(一)”中教科书呈现了两种图示，第一种是圆片图，第二种是线段图：在“分数混合运算(二)”中教科书也呈现了两种图示，第一种是方格图，第二种是线段图。这样的呈现方式反映了从低到高的抽象程度，引导学生在解决问题中逐步发展数学抽象能力。教科书用直观图分析数量关系，有利于发展学生分析和解决问题的能力，有利于发展他们的数学思维。
（四）结合解决实际问题，帮助学生理解分数混合运算的运算顺序和运算律
本单元将解决实际问题与分数混合运算的学习结合起来。在分数混合运算 (一)、(二)、(三)中都安排了与之对应的实际问题，目的是让学生在解决实际问题的过程中逐步归纳计算方法，经历得出结论的过程。例如，在“分数混合运算(一)”中，教科书呈现了综合算式,从而引入了分数混合运算的方法，并得出分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的顺序相同的结论。又如在“分数混合运算(二)”中，教科书借助一个具体的问题情境，给出了两种解决问题的方法，让学生讨论这两种方法之间的联系，体会整数运算律在分数运算中也是同样适用的。通过学生独立尝试、观察对比，利用知识的迁移，达到对分数混合运算顺序及运算律的理解和掌握。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 □统计与概率 □综合与实践
单元数量 2
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与运算 分数混合运算 分数混合运算（一） 2
分数混合运算（二） 2
分数混合运算（三） 2
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 对应 演绎 归纳 □类比 转化 □数形结合 □极限 模型 方程 □函数 □统计 分析 综合 □比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
2.1《分数混合运算（一）》 目标： 会用画图的策略直观呈现数量关系；结合具体情境体会分数混合运算的顺序与整数混合运算一样，会正确计算分数混合运算。 任务一：交流思考方法 → 任务二：画图分析 → 任务三：列式解决问题 → 任务四：分数混合运算的顺序 → 1.借助已有知识和经验进行思考，用不同方法解决问题。 2.利用画图辅助，解答复杂问题。 3.结合几何直观，分析数量关系，利用运算意义理解并列式解答问题。 4.体会分数混合运算的顺序和整数是相同的。并能发现并修改例题中的错误。
2.2《分数混合运算（二）》 目标： 会画图表示“增加几分之几”或“减少几分之几”的意义，会用分数混合运算解决实际问题，体会整数中的乘法运算律在分数运算中同样适用。 任务一：交流思考方法 → 任务二：画图分析 → 任务三：列式解决问题 → 任务四：结合男、女生人数解决有关整体和部分之间的问题 → 任务五：整数运算律的应用 → 1.思考、交流例题，并能大声说出自己的思路和想法。 2.能利用不同的直观图去描述和分析问题。 3.在任务二的基础上，尝试用多种方法列式解决问题，知道整数乘法运算中的分配律在分数混合运算中仍然适用。 4.借助图示找出等量关系，并能用不同的方法解答，知道运算律在分数运算中同样适用。 5.通过对比计算，学会用运算律提高分数四则运算的计算效率。
2.3《分数混合运算（三）》 目标： 会用方程表达分数混合运算问题中的等量关系，并解决相应的实际问题，发展分析和解决问题的能力。 任务一：交流思考方法 → 任务二：画图分析 → 任务三：列式解决问题→ 任务四：运用知识解决问题 → 1.思考、交流九月和八月用水量之间的数量关系。 2.通过独立画图寻找问题中的等量关系，然后结合所画直观图，交流、解释其中体现的等量关系。 3.在任务三的基础上，直接根据等量关系列出方程并解答。求出方程后，对方程进行检验。 4.借助图示自主探索题目中的等量关系，并能正确的列方程求解、检验。
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